专题02向量三大定理及最值范围（原卷+解析）

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这是一份专题02向量三大定理及最值范围（原卷+解析），文件包含专题02向量三大定理及最值范围原卷版docx、专题02向量三大定理及最值范围解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页，欢迎下载使用。
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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc167452877" 一、等和线：系数全是1基础型 PAGEREF _Tc167452877 \h 1
\l "_Tc167452878" 二、等和线：系数不全是1基础型 PAGEREF _Tc167452878 \h 2
\l "_Tc167452879" 三、等和线：分数型 PAGEREF _Tc167452879 \h 3
\l "_Tc167452880" 四、等和线：系数差型 PAGEREF _Tc167452880 \h 4
\l "_Tc167452881" 五、等和线：系数积型 PAGEREF _Tc167452881 \h 6
\l "_Tc167452882" 六、等和线：比值型 PAGEREF _Tc167452882 \h 7
\l "_Tc167452883" 七、等和线：平方型 PAGEREF _Tc167452883 \h 8
\l "_Tc167452884" 八、等和线：分数超难型 PAGEREF _Tc167452884 \h 9
\l "_Tc167452885" 九、等和线：综合难题 PAGEREF _Tc167452885 \h 10
\l "_Tc167452886" 十、奔驰定理型 PAGEREF _Tc167452886 \h 11
\l "_Tc167452887" 十一、奔驰定理：面积比型 PAGEREF _Tc167452887 \h 12
\l "_Tc167452888" 十二、极化恒等式 PAGEREF _Tc167452888 \h 13
\l "_Tc167452889" 十三、极化恒等式求范围最值 PAGEREF _Tc167452889 \h 13
一、等和线：系数全是1基础型
1．（22-23高以·江苏连云港·阶段练习）平行四边形中，为的中点，点满足，若，则的值是（）
A．4B．2C．D．
2．（22-23高三·河南南阳）如图，在中，为线段上异于，的任意一点，为的中点，若，则( )
A．B．C．D．
3．（21-22高一下·江西上饶·期末）已知中，，，AD与BE交于点P，且，，则（）
A．B．C．D．
4．（2022·山东烟台期末）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（）
A．B．2C．D．1
5．（2022·全国·期末模拟）在△ABC中，，M为AD的中点，，则=（）
A．B．C．D．
二、等和线：系数不全是1基础型
1．（23-24高以·河北衡水·阶段练习）在中，为的中点，为上一点，且，若，则（）
A．0B．1C．D．
2．（21-22高一下·河南濮阳·期中）如图，在中，点分别在边上，且均为靠近的四等分点，与交于点，若，则（）
A．B．1C．D．

3．（21-22高一下·河南南阳·期中）已知点P为△ABC所在平面内一点，且满足，若，则（）
A．1B．2C．3D．4
4．（21-22高一·贵州·阶段练习）如图，在直角梯形ABCD中，，，AB=2AD=4CD=4，点E为AD的中点，设，则（）
A．3B．C．2D．
5．（2022·安徽淮北期末）在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（）
A．1B．2C．3D．4

三、等和线：分数型
1．（2022·安徽安庆·期末模拟）如图，在中，点在边上，且.过点的直线分别交射线、于不同的两点、.若，，则（）
A．有最小值B．有最小值
C．有最大值D．有最大值

2．（2022·福建宁德·期末）已知点E是的中线上的一点（不包括端点）．若，则的最小值为（）
A．4B．6C．8D．9
3．（21-22高一·湖南长沙·阶段练习）在平面四边形中，已知的面积是的面积的3倍.若存在正实数使得成立，则的值为（）
A．10B．9C．8D．7
4．（2022高一·全国·专题练习）过的中线的中点作直线分别交､于､两点，若，则（）
A．4B．C．3D．1
5．（2023·河北保定·期末训练）在中，若点满足，，则（）
A．B．
C．D．

四、等和线：系数差型
1．（21-22高一·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知点是所在平面内的一点，且，设，则（）
A．B．C．3D．
2．（22-23高一·河南·期中）如图所示，矩形的对角线相交于点，点在线段上且，若（，），则（）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·全国·课后作业）在中，点D在CB的延长线上，且，则等于（）
A．0B．C．D．3
4．（22-23高一下·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，.若，，则的最小值是（）
A．3B．
C．D．

5．（23-24高一下·安徽六安·阶段练习）如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是（）
A．B．C．D．
五、等和线：系数积型
1．（23-24高一下·山西太原·期中训练）平行四边形中，为边上的中点，连接交于点，若，则（）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一广东·阶段练习）已知梯形中，，且，则的值为（）
A．B．C．D．

3．（21-22高一下·吉林长春·阶段练习）如图所示，矩形的对角线相交于点，点在线段上且，若，则（）
A．B．C．1D．
4．（21-22高二下·湖南·阶段练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中分别是的中点，若，则（）
A．B．C．D．
5．（22-23高二下·广东汕尾·期末）如图所示，为平行四边形对角线上一点，，若，则（）
A．B．C．D．

六、等和线：比值型
1．（22-23高一下·江西赣州·期中）已知，点满足且，则等于（）
A．B．1C．D．
2．（23-24高二上·北京大兴·开学考试）如图，在平行四边形中，分别为边的中点，连接，交于点.若（），则（）
A．1B．2
C．D．

3．（22-23高二下·云南曲靖·）在△ABC中，点D在线段BC上，且，若，则（）
A．B．4C．D．3
4．（21-22高一下·四川德阳·阶段练习）已知、满足，点C在内，且，设.若，则( )
A．B．4C．D．
5．（21-22高一下·北京丰台·期中）如图，在直角梯形中，是的中点，，，，，若，则（）
A．B．C．D．2
七、等和线：平方型
1．（22-23高一下·河南平顶山·期末）在中，，，平分交于点，若，则（）
A．B．C．D．

2．（22-23高二上·浙江台州·开学考试）如图所示，，是两个不共线的向量（为锐角），为线段的中点，为线段上靠近点的三等分点，点在上，且，则的最小值为（）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·重庆北碚·阶段练习）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（）
A．B．C．D．1
4.（2022·全国·高三专题练习）已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为
A．8B．4C．2D．1
5.（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨德强学校校考）已知是的外心，,,则的最小值为．

八、等和线：分数超难型
1.（2024·全国·模拟预测）如图所示，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点．设，，则的最小值为（）
A．B．C．3D．6
2.（21-22高一下·四川南充·阶段练习）已知三点A，B，C共线，不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若，则的最小值为（）
A．不存在最小值B．C．4D．
3.（23-24高三上·陕西商洛·阶段练习）在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，，则的最小值是（）
A．6B．7C．8D．9
4.（23-24高三上·湖北·期中）在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（）
A．3B．1C．2D．4

九、等和线：综合难题
1.（23-24高一下·河南·阶段练习）在中，为线段上距A最近的一个四等分点，则的值为（）
A．B．C．D．
2.（22-23高一上·辽宁葫芦岛·期末）直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点、在过点的直线上，若，，，则下列结论错误的是（）
A．为常数B．的最小值为
C．的最小值为D．、的值可以为，
3.（2023·江西新余·模拟预测）如图，在三角形中，M、N分别是边、的中点，点R在直线上，且（x，），则代数式的最小值为（）
A．B．C．D．
4.如图，在边长为的正方形中，，分别是边，上的两个动点，且，为的中点，，则的最大值是______．
十、奔驰定理型
1.（2023秋·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为、、，则有，设O是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的是（）．
A．若，则O为的重心
B．若，则
C．若O为（不为直角三角形）的垂心，则
D．若，，，则
2.（2023春·安徽·高一安徽省宿松中学校联考期中）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中正确的有（）
A．若是等边三角形，为内任意一点，且点到三边的距离分别是，则有
B．若为内一点，且，则是的内心
C．若为内一点，且，则
D．若的垂心在内，是的三条高，则
3.（2023·全国·高三专题练习）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（）
A．若是的重心，则有
B．若，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，且，则
十一、奔驰定理：面积比型
1.（22-23高一下·浙江宁波·期中）若点是所在平面内一点，且满足：.则与的面积之比为（）
A．B．C．D．
2.（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为，则（）
A．B．C．D．
3.（22-23高一广东深圳·阶段练习）已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（）
A．B．C．D．
4.（21-22高一下·河南商丘·阶段练习）已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（）
A．B．C．D．
5.（21-22高一下·湖北十堰·阶段练习）在中，为三角形所在平面内一点，且，则（）
A．B．C．D．
十二、极化恒等式
1.（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）如图，已知的半径为2，，则（）

A．1B．-2C．2D．
2.（2023·广东深圳·统考模拟预测）若等边的边长为2，平面内一点满足，则（）
A．B．C．D．
3.（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（）
A．B．C．D．
4.（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，已知，向量在向量上的投影向量为，点是边上靠近的三等分点，则（）
A．3B．6C．7D．9
5.（天津·高考真题）已知ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为
A．B．C．D．
十三、极化恒等式求范围最值
1.（2022·湖北省仙桃中学阶段练习）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，，，则的取值范围为 ________________ .
2.（2022·山东师范大学附中阶段练习）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________.
3.（2023·全国·统考高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（）
A．B．
C．D．
4.（福建·高考真题）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为
A．2B．3C．6D．8