四川省眉山市仁寿县第一中学北校区2024届高三下学期模拟预测数学（文）试题（Word版附解析）

这是一份四川省眉山市仁寿县第一中学北校区2024届高三下学期模拟预测数学（文）试题（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了已知集合，则，已知，则的虚部为，已知动直线与圆，已知函数，关于有下面四个说法等内容，欢迎下载使用。

选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则的虚部为（ ）
A．2B．4C．D．
3．秦九昭是我国南宋时期的数学家，普州（现在四川安岳人），他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九昭算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序给出了利用秦九昭算法求多项式值的一个实例.如输入的值分别是，则输出的的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．已知等差数列的公差为，前项和为，且，则的值为（ ）
A．1B．C．D．-1
6．在不等式组表示的平面区域内任取一点，则满足的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为，则鼎湖峰的山高PQ为（ ）米
A．B．C．D．
8．已知动直线与圆（圆心为）交于点，则弦最短时，的面积为（ ）
A．3B．6C．D．
9．已知函数，关于有下面四个说法：
的图象可由函数的图象向右平行移动个单位长度得到；
在区间上单调递增； 当时，的取值范围为；
在区间上有个零点．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．在平行四边形中，，，，沿将折起，则三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在直三棱柱中，，，为线段的中点，为线段（包括端点）上一点，则的面积的取值范围为（ ）
B．C．D．
12．已知双曲线左、右焦点分别为，过的直线与的渐近线及右支分别交于两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．的展开式的第四项为 .
14．已知不等式组表示的平面区域不包含点，则实数的取值范围是 ．
15．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是 .
16．已知函数，对，不等式恒成立，则整数的最大值是
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．已知等差数列和等比数列均单调递增，前n项和分别为和，且满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前n项和．
18．红铃虫（Pectinphra gssypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型 ①，，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到如下值：
表中；；；；
（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？
（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程．
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
19．如图所示，四棱锥中，底面与交于点且，点为线段上靠近的三等分点.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
20. 已知函数
(1)讨论的单调性;
(2) 当 时,证明:
21. 已知椭圆经过点 ,其右顶点为。
(1)求椭圆 C 的方程;
(2) 若点 P,Q 在椭圆 C 上,且满足直线 AP 与 AQ 的斜率之积为 . 求 △APQ 面积的最大值。
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线交于，两点，点的极坐标为，求的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）若a，b均为正实数，且满足.
(1)求的最大值；
(2)求证：25
2.9
646
168
422688
50.4
70308
2021级高三下学期高考模拟试题
文科数学参考答案
1．B 2．A 3．B 4．C 5．A 6．C
【详解】解：如图，
不等式组表示的平面区域为及其内部，其中，
所以，
设直线与直线分别交于点，
所以满足的平面区域为四边形及其内部，
，
所以满足的概率为．
故选：C．
7．B
【详解】在中，则，
因为，
且，
则，
在中，则．
故选：B．
8．D
【详解】根据题意，圆可化为，其圆心为，半径，
动直线，即，恒过点.设，又由，则点在圆的内部，
动直线与圆（圆心为）交于点，当为的中点，即与垂直时，弦最短，
此时，弦的长度为，
此时的面积，
故选：D.
9．B
【详解】因为，
即.
对于，函数的图象向右平行移动个单位长度，
得到，所以正确；
对于，，则，
先减后增，所以错误；
对于，当，则，
当且仅当时，即时，，
当且仅当时，即，，
所以的取值范围为，所以正确；
对于，由，则，
则当时，，
所以在上有个零点，所以错误.
故选：B.
10．C
【详解】在中，，则，
所以，则
由题可知，当平面平面时，三棱锥的体积最大.
如图，可将三棱锥补全为正方体，则三棱锥外接球的半径为，
故其外接球的表面积为.
故选：C
11．B
【详解】如图，连接，过作，垂足为．
在直三棱柱中，平面，平面，
所以，，异面直线间垂线段最短
故．
过作于点，连接，易得平面，
则，又，所以．
因为，，，，
所以，则．
当与重合时，，；
当与重合时，由，，,得平面，
所以，所以，．
所以的面积的取值范围为，
故选：B
12．C
【详解】因为，可知为的中点，

且为的中点，可知∥，
又因为，可知，则，
则点到直线的距离，
可得，
由可得，
整理得，则，整理得，
所以的离心率为.
故选：C.
二、填空题
13．
【详解】，，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故答案为：
14．
【详解】若不等式组表示的平面区域包含点，
则点满足不等式组，即，解得，
∴若不等式组表示的平面区域不包含点，
实数的取值范围是.
故答案为：.
15．等腰三角形或直角三角形.
【详解】由得，
则，
所以，所以，
所以或，
因为，，所以或，
所以的形状为等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰三角形或直角三角形.
16．1
【详解】通过观察
可得恒成立；
整数满足恒成立则一定满足恒成立；
注意到时，，取特殊值，得到，
可验证当时，若取大于的整数，都有使得.
下面验证满足恒成立：
令，，
，，
由零点存在定理得：存在使得.
且当，，单调递减；
，，单调递增；
满足.
，当且仅当取等，,可得恒成立，
即恒成立，恒成立.
综上，可知满足题意的最大整数为.
故答案为：1
三、解答题
17．(1)
(2)
【详解】（1）设数列公差为，数列的公比为，
，则，
因为①，
所以，
故②.
由①②结合递增，解得，
则，（舍）.
又因为，
所以，
即.
（2）由（1）可知，
则①，
②，
①-②得：
．
故.
18、【答案】 ①
【详解】第一空：应该选择模型①.
由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适.
第二空：令，与温度可以用线性回归方程来拟合，则.
，，
则关于的线性回归方程为，即，
产卵数关于温度的回归方程为.
故答案为：①；
19．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，由于，所以，且，
所以，又点为线段上靠近的三等分点，
所以，所以.
又平面平面，
所以平面.
（2）由题知且，，得，
，又，
所以由余弦定理得：，
所以，所以，所以.
面，所以面，
因为面，所以.
又知，设到面的距离为，
所以，即，
解得，即点到平面的距离为.
20、【解答】解: (1) 由题意得, f'x=ex+m ,
当 m≥0 时, f'x=ex+m>0 ,函数 fx 在 R 上单调递增;
当 m<0 时,由 f'x=ex+m>0 得, x>ln−m ,故函数 fx 在 ln−m,+∞ 上单调递增,由 f'x=ex+m<0 得 x证明: (2)要证 fx>xlnx−m+1sinx ,即证
即证 ex+m+1x+sinx−x−1−xlnx>0,x∈0,+∞ ,………………………..5分
设 kx=x+sinx,k'x=1+csx≥0 ,
故 kx 在 0,+∞ 上单调递增,所以 kx>k0=0 ,
又因为 m+1>1 ,所以 m+1x+sinx>x+sinx ,
所以 ex+m+1x+sinx−x−1−xlnx>ex+sinx−1−xlnx ,
① 当 00,xlnx≤0 ,所以 ex+sinx−1−xlnx>0 ………分
② 当 x>1 时, ex+sinx−1−xlnx≥ex−xlnx−2 ,
令 gx=ex−xlnx−2 ,则 g'x=ex−lnx−1 ,
设 ℎx=g'x ,则 ℎ'x=ex−1x ,
因为 x>1 时, ℎ'x 单调递增,所以 ℎ'x>ℎ'1=e−1>0 ,
所以 ℎx 即 g'x 在 1,+∞ 上单调递增,………………………9分
所以 g'x>g'1=e−1>0 ,所以 gx 在 1,+∞ 上单调递增,
所以 gx>g1=e−2>0 ,所以 ex+sinx−1−xlnx≥ex−xlnx−2>0 。………分
综上可知,当 m>0 时, ex+m+1x+sinx−x−1−xlnx>ex+sinx−1−xlnx ,
即 fx>xlnx−m+1sinx 。……………………12分
21、【解答】解: (1)依题可得 a=23a2+14b2=1a2=b2+c2 ,解得 a=2b=1c=3 ,所以椭圆 C 的方程为 x24+y2=1 …..4分
(2)易知直线 AP 与 AQ 的斜率同号,所以直线 PQ 不垂直于 x 轴,
故可设 PQ:y=kx+m,Px1,y1,Qx2,y2 ,
由 x24+y2=1y=kx+m ,可得 1+4k2x2+8mkx+4m2−4=0 ,
所以 x1+x2=−8mk1+4k2, x1x2=4m2−41+4k2, Δ=164k2+1−m2>0 ,………………….6分
而 kAP⋅kAQ=120 ,即 y1x1−2⋅y2x2−2=120 ,化简可得 20kx1+mkx2+m=x1−2x2−2 ①
因为 1+4k2x2+8mkx+4m2−4=1+4k2x−x1x−x2 ,
令 x=2 可得 x1−2x2−2=16k2+16mk+4m21+4k2 ②,
令 x=−mk 可得 20kx1+mkx2+m=20k2x1+mkx2+mk=20k2⋅m2k2−41+4k2=20m2−80k21+4k2 ③,
把②③代入①得 16k2+16mk+4m2=20m2−80k2 ,化简得 6k2+mk−m2=0 ,
所以 m=−2k 或 m=3k ,所以直线 PQ:y=kx−2 或 y=kx+3
因为直线 PQ 不经过点 A ,所以直线 PQ 经过定点 −3,0 …………………8分
设定点 B−3,0 ,所以 S△APQ=S△ABP−S△ABQ=12×AB×y1−y2=52kx1−x2
=5k2⋅164k2+1−m21+4k2=101−5k2k21+4k2,……………………10分
因为 1−5k2>0 ,所以 0所以 S△APQ=52−5t2+14t−9t2=52−91t−792+49≤53 ,……………….11分
当且仅当 t=97 即 k2=114 时取等号,即 △APQ 面积的最大值为 53 。……………………12分
22．(1)直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为.
(2)
【详解】（1）将代入，得，
所以直线的普通方程为．
将，，代入曲线的极坐标方程，
得，
故曲线的直角坐标方程为．
（2）因为点的直角坐标为，所以点在直线上，
所以直线的参数方程为（为参数），
代入，得，
设点，对应的参数分别为，，
所以，．
从而.
23．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由柯西不等式得：，
即，故，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最大值为.
（2）要证：，
只需证：，
只需证：，
即证：，
由a，b均为正实数，且满足可得，
当且仅当时等号成立，即，
设，则设，
在上单调递增，在上单调递减，
又，，
即.