2023-2024学年云南省玉溪市通海一中、江川一中、易门一中三校高二（下）联考数学试卷（6月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年云南省玉溪市通海一中、江川一中、易门一中三校高二（下）联考数学试卷（6月份）（含答案），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2−x−6≤0}，B={x|2x−1≥1}，则A∩B=( )
A. {x|0≤x≤2}B. {x|1≤x≤2}C. {x|1≤x≤3}D. {x|2≤x≤3}
2.已知复数z满足(1+i)z=3−i，则复数|z−|=( )
A. 2B. 5C. 2 2D. 10
3.已知向量a，b满足|a|−|b|=a⋅b=2，|a−b|= 10，则cs〈a,b〉=( )
A. 25B. 12C. 23D. 45
4.已知直线y=kx+1与圆x2+y2=4相交于M，N两点，若|MN|= 14，则|k|=( )
A. 12B. 1C. 2D. 2
5.甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为34、第二局获胜的概率为23，第三局获胜的概率为23，则甲恰好连胜两局的概率为( )
A. 19B. 536C. 736D. 29
6.若函数f(x)的定义域为R且图象关于y轴对称，在[0,+∞)上是增函数，且f(−3)=0，则不等式f(x)<0的解是( )
A. (−∞,−3)B. (3,+∞)
C. (−3,3)D. (−∞,−3)∪(3,+∞)
7.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法⋅商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第n层有an个球，则数列{1an}的前30项和为( )
A. 6031
B. 382
C. 2031
D. 1931
8.已知a=ln( 2e),b=e+1e,c=ln55+1，则a，b，c的大关系为( )
A. c>a>bB. b>a>cC. a>b>cD. b>c>a
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(x+2x)7的展开式中，下列结论正确的是( )
A. 展开式共7项B. x项系数为280
C. 所有项的系数之和为2187D. 所有项的二项式系数之和为128
10.函数f(x)= 2sin(ωx+φ)(0<ω≤2,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是( )
A. f(x)的表达式可以写成f(x)= 2cs(2x+5π4)
B. f(x)的图象关于直线x=5π8对称
C. f(x)在区间[5π8,7π8]上单调递增
D. 若方程f(x)=1在(0,m)上有且只有6个根，则m∈(5π2,13π4]
11.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F且斜率为 3的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，若|AF|=8，则以下结论正确的是( )
A. p=4B. |AF|=2|BF|
C. 1|AF|+1|BF|=12D. S△AOB=16 33
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某批产品中，来自甲厂的占90%，来自乙厂的占10%，甲、乙两厂的优等品的概率分别为0.7、0.3，则这批产品为优等品的概率为______．
13.已知csα= 33，α∈(0,π2)，则tan2α= ______．
14.如图，过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F(−c,0)(c>0)引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，若|MO|−|MT|=2a−c，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsB−bcsA=b+c．
(1)求角A的值；
(2)若a=2 3,△ABC的面积为 3，求b，c．
16.(本小题15分)
某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金.为了解研发资金的投入额x(单位：千万元)对年收入的附加额y(单位：千万元)的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额x1和年收入的附加额y1进行研究，得到相关数据如下：
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)若年收入的附加额与投入额的比值大于0.1，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望．
参考数据：i=17xiyi=2976，i=17yi=42，i=17xi2=32800．
附：回归方程的斜率和极距的最小二乘估计公式分别为：b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nxy−i=1nxi2−nx−2，a​=y−−b​x−．
17.(本小题15分)
如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1，AB= 2AA1，D，E分别为棱A1B1，BC的中点．
(1)求证：A1B⊥平面AC1D；
(2)求二面角A−C1D−E的正弦值．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长等于2 3，离心率e=12．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：|PF||AB|为定值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax2+x−1ex，a∈R．
(Ⅰ)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(Ⅱ)当a>0时，求f(x)的单调区间；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若对于任意x∈[1,3]，不等式12≤f(x)≤1+1e2成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A={x|x2−x−6≤0}={x|−2≤x≤3}，B={x|2x−1≥1}={x|x−1≥0}={x|x≥1}，
∴A∩B={x|1≤x≤3}．
故选：C．
由题意首先解一元二次不等式、指数不等式，再由交集的概念即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：(1+i)z=3−i，
则z=3−i1+i=(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−2i，
所以z−=1+2i，
故|z−|=|1+2i|= 12+22= 5．
故选：B．
根据已知条件，结合复数模公式，共轭复数的概念，即可求解．
本题主要考查复数模公式，共轭复数的概念，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由题意，a⋅b=2，|a−b|= 10，
所以|a−b|2=|a|2+|b|2−2a⋅b=10，即|a|2+|b|2=14，
因为|a|−|b|=2，
所以(|a|−|b|)2=|a|2+|b|2−2|a||b|=4，
解得|a||b|=5，
∴cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=25．
故选：A．
利用向量的相关知识，计算出|a||b|=5，借助数量积公式计算即可．
本题考查平面向量数量积运算，考查夹角公式，属基础题．
4.【答案】B
【解析】解：设坐标原点O到直线kx−y+1=0的距离为d，则d=1 k2+1，
由|MN|= 14，得2 4−1k2+1= 14，解得|k|=1．
故选：B．
由题意得坐标原点O到直线kx−y+1=0的距离为d=1 k2+1，利用弦长结合勾股定理即可求解．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，设甲第i局胜，i=1，2，3，且P(A1)=14,P(A2)=13,P(A3)=13，
则甲恰好连胜两局的概率P=P(A1A2A3)+P(A−1A2A3)=14×13×(1−13)+(1−14)×13×13=536．
故选：B．
根据题意，根据题意，设甲第i局胜，i=1，2，3，根据独立事件的概率乘法公式即可分类求解，即可得答案．
本题相互独立事件和互斥事件的概率计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为f(x)在[0,+∞)上是增函数且f(−3)=0，所以f(3)=0，
故f(x)<0在[0,+∞)范围内的解为[0,3)．
因为函数f(x)在定义域R上图象关于y轴对称，所以f(x)<0在(−∞,0)内的解为(−3,0)，
所以不等式f(x)<0在R内的解为(−3,3)．
故选：C．
先分析不等式在[0,+∞)上的解，再根据对称性得出不等式在上(−∞,0)的解即可．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：根据已知条件有a1=1，
当n≥2时，a2−a1=2，a3−a2=3，a4−a3=4，⋯，an−an−1=n，
以上各式累加得：an−a1=2+3+4+⋯+n，
又a1=1，所以an=1+2+3+4+⋯+n=n(n+1)2(n≥2)，
经检验a1=1符合上式，
所以an=n(n+1)2(n∈N*)，
所以1an=2n(n+1)=2(1n−1n+1)．
设数列{1an}的前n项和为Sn，
则Sn=2[(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)]=2−2n+1，
所以S30=2−231=6031．
故选：A．
先根据题意，列出数列{an}的递推关系，用累加法求出数列的通项公式，再用裂项求和法求出数列{1an}的前n项和，可得结果．
本题考查数列的递推式和等差数列的求和公式、数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：a=ln( 2e)=ln212+lne=1+ln22，b=e+1e=1+1e，
设f(x)=lnxx，则f′(x)=1−lnxx2，
当00，f(x)在(0,e)上递增；
当x>e时，f′(x)<0，f(x)在(e,+∞)上递减，
因为e<4<5，所以1e>ln44=ln22>ln55，
所以1+1e>1+ln22>1+ln55，
即b>a>c．
故选：B．
根据a，b，c的特点，构造函数f(x)=lnxx，判断其单调性，得到1e>ln44=ln22>ln55，从而求出结果．
本题考查利用导数研究函数的单调性，属中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：选项A：因为n=7，所以展开式共有8项，故A错误，
选项B：展开式的一次项为C73x4(2x)3=35×8x=280x，故B正确，
选项C：令x=1，则所有项的系数和为(1+2)7=2187，故C正确，
选项D：所有项的二项式系数和为27=128，故D正确．
故选：BCD．
选项A：根据二项式定理的性质即可判断，选项B：根据二项式展开式的通项特征即可判断，选项C：令x=1即可判断，选项D：根据二项式系数和公式即可判断．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：依题意，f(0)= 2sinφ=−1，即sinφ=− 22，
又−π2<φ<π2，
则φ=−π4；
又f(x)的图象过点(π8,0)，
则f(π8)=sin(ωπ8−π4)=0，可得ωπ8−π4=kπ，k∈Z，
解得ω=8k+2，k∈Z；
又0<ω≤2，
所以ω=2．
所以f(x)= 2sin(2x−π4)．
因为f(x)= 2sin(2x−π4)= 2cs(2x+5π4)，
所以f(x)的表达式可以写成f(x)= 2cs(2x+5π4)，故A正确；
由于f(5π8)= 2cs(2×5π8+5π4)= 2cs5π2=0，
则f(x)的图象不关于直线x=5π8对称，故B错误；
当x∈[5π8,7π8]时，2x+5π4∈[5π2,3π]，由余弦函数单调性知，f(x)在x∈[5π8,7π8]单调递减，故C错误；
由f(x)=1，得cs(2x+5π4)= 22，解得x=π4+kπ或π2+kπ,k∈Z，
方程f(x)=1在(0,m)上有6个根，
从小到大依次为：π4,π2,5π4,3π2,9π4,5π2，
而第7个根为13π4，
所以5π2故选：AD．
先求出函数的解析式，再逐一判断各选项是否正确．
本题考查三角函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：选项A：过点A作x轴的垂线，垂足为H，则∠AFH=π3，
所以|FH|=|AF|cs∠AFH=4，所以xA=p2+4，
由抛物线定义可得，xA=8−p2，所以8−p2=p2+4，
解得p=4，故A正确；
选项B：由A得抛物线C的方程为y2=8x，F(2,0)，直线AB的方程为y= 3(x−2)，
联立直线方程与抛物线C的方程并化简，得3x2−20x+12=0，得x=6或x=23，
所以xB=23，故|BF|=23+2=83，故|AF|=3|BF|，故B错误；
选项C：由|AF|=8,|BF|=83，得1|AF|+1|BF|=12，故C正确；
选项D：由上知xA=6,xB=23，得yA=4 3,yB=−4 33，
故S△AOB=12|OF|(yA−yB)=4 3−(−4 33)=16 33，故D正确．
故选：ACD．
利用倾斜角和抛物线定义，分别求出点A的横坐标即可得p=4，可判断A；求出直线方程，联立抛物线方程求出点B横坐标，利用定义即可得|BF|，然后可判断B；根据点A的横坐标求出|AF|即可判断C；将A，B代入直线方程，求出纵坐标，然后由SAOB=12|OF|(yA−yB)可得面积，可判断D．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
12.【答案】0.66
【解析】解：由题意可知，这批产品为优等品的概率为：0.9×0.7+0.1×0.3=0.66．
故答案为：0.66．
利用全概率公式可求得结果．
本题主要考查概率的应用，属于基础题．
13.【答案】−2 2
【解析】解：因为csα= 33，α∈(0,π2)，
所以sinα= 1−cs2α= 63，tanα=sinαcsα= 2，
则tan2α=2tanα1−tan2α=2× 21−( 2)2=−2 2．
故答案为：−2 2．
由题意利用同角三角函数基本关系式可求sinα，tanα的值，进而利用二倍角的正切公式即可求解tan2α的值．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
14.【答案】53
【解析】解：设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F2(c,0)(c>0)，连接PF2，OM．
则△PF2F中，|FM|=|MP|，|FO|=|OF2|，
则|MO|=12|PF2|，
由直线FT与圆x2+y2=a2相切，
可得|FT|= |OF|2−|OT|2= c2−a2=b．
又双曲线x2a2−y2b2=1中，|PF|−|PF2|=2a，
则|MO|−|MT|=12|PF2|−(12|PF|−|FT|)=12(|PF2|−|PF|)+|FT|=b−a，
又|MO|−|MT|=2a−c，
则2a−c=b−a，
整理得3a−c=b，
两边平方整理得5a2−3ac=0，
则双曲线的离心率e=ca=53．
故答案为：53．
利用中位线结合双曲线的性质，解得|MO|−|MT|=b−a，解得2a−c=b−a，然后转化成5a2−3ac=0，求得离心率．
本题考查了双曲线的离心率，考查计算能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)∵acsB−bcsA=b+c，
由正弦定理可得：sinAcsB−sinBcsA=sinB+sinC，
∵sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
∴sinAcsB−sinBcsA=sinB+sinAcsB+csAsinB，
即−2sinBcsA=sinB，
∵sinB≠0，∴csA=−12，
∵A∈(0,π)，∴A=2π3．
(2)由题意，S△ABC=12bcsinA= 34bc= 3，
所以bc=4，
由a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2+bc，
得(b+c)2=a2+bc=16，
所以b+c=4，解得：b=c=2．
【解析】(1)由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；
(2)由三角形面积公式及余弦定理求解即可．
本题主要考查解三角形，属于中档题．
16.【答案】解：(1)x−=17(10+30+40+60+80+90+110)=60，y−=17i=17yi=6，
b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nxy−i=1nxi2−nx−2=0.06，
又因为a​=y−−b​x−，
所以a =y−−b x−=6−0.06×60=2.4，
所以年收入的附加额y与投入额x的线性回归方程为y=0.06x+2.4．
(2)7个投入额中，“优秀投资额”的个数为3个，故X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=C43C73=435，P(X=1)=C31C42C73=1835，P(X=2)=C32C41C73=1235，P(X=3)=C33C73=135，
则X的分布列为
E(X)=0×435+1×1835+2×1235+3×135=97．
【解析】(1)根据已知数据和参考公式，即可出y与投入额x的经验回归方程；
(2)求出X的所有可能取值和对应的概率，即可求出X的分布列，再由期望公式即可求出答案．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和方差，属于中档题．
17.【答案】(1)证明：如图，取AB中点F，由正三棱柱性质得，A1B1、DC1、DF互相垂直，
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设AA1=2则A1B1=2 2，
则A1(− 2,0,0)A(− 2,0,2)B( 2,0,2)，C1(0, 6,0)，E( 22, 62,2)，
A1B=(2 2,0,2)，DA=(− 2,0,2)，DC1=C1(0, 6,0)，
由A1B⋅DA=(2 2,0,2)⋅(−2,0,2)=−4+0+4=0，得A1B⊥AD，
由A1B⋅DC1=(2 2,0,2)⋅(0,6,0)=0+0+0=0，得A1B⊥DC1，
因为AD，DC⊂平面AC1D，AD∩DC1=D，
所以A1B⊥平面AC1D1；
(2)由(1)可知A1B=(2 2,0,2)为平面ACD的一个法向量，
设n=(x,y,z)为平面C1DE的法向量，
DC1=C1(0, 6,0)，DE=( 22, 62,2)，
则n⋅DE=0DC1⋅n=0，即 6y=0, 22x+ 62y+2z=0，令z=1，则n=(−2 2,0,1)，
设二面角A−C1D−E的平面角为θ，
则cs=A1B⋅n|A1B||n|=−8+2 12×3=− 33，
所以二面角A−C1D−E的正弦值sinθ= 63．
【解析】取AB中点F，由正三棱柱性质得，A1B1、DC1、DF互相垂直，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量与线面垂直的关系即可证明(1)中结论；再利用空间向量与空间角的关系即可求解(2)中结果．
本题考查了空间向量证明空间位置关系和求解空间角，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意可得2b=2 3，即b= 3，
又e=ca=12，即a=2c，
由a2−b2=c2，解得a=2，c=1，
则椭圆C的方程为x24+y23=1；
(2)证明：由F(1,0)，设直线l的方程为x=my+1，m≠0，
联立椭圆方程3x2+4y2=12，
化为(3m2+4)y2+6my−9=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，可得y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
设AB的中点为Q，则Q(x1+x22,y1+y22)，即(m(y1+y2)+22,y1+y22)，
即Q(43m2+4,−3m3m2+4)，
则AB的垂直平分线方程为y+3m3m2+4=−m(x−43m2+4)，
令y=0，可得x=13m2+4，
即P(13m2+4,0)，
所以|PF|=|13m2+4−1|=3m2+33m2+4，
又|AB|= 1+m2⋅|y1−y2|= 1+m2⋅ (y1+y2)2−4y1y2= 1+m2⋅ (−6m3m2+4)2+363m2+4=12(1+m2)3m2+4，
则|PF||AB|=3(1+m2)3m2+4⋅3m2+412(1+m2)=14；
若直线AB的斜率为0，则直线AB的方程为y=0，|AB|=2a=4，|PF|=|OF|=c，可得|PF||AB|=14，
则|PF||AB|为定值．
【解析】(1)由椭圆的短轴长和离心率、a，b，c的关系，解方程求得a，c，可得椭圆方程；
(2)设直线l的方程为x=my+1，m≠0，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理求解AB的中点Q，得到线段AB的垂直平分线方程，利用弦长公式，转化求解比值，最后讨论直线AB的斜率为0时，也为定值．
本题考查椭椭圆的方程及直线与椭圆相交的弦长问题，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)当a=0时，f(x)=x−1ex，
可得f′(x)=−x+2ex，
此时f′(0)=2，
又f(0)=−1，
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y−(−1)=2(x−0)，
即2x−y−1=0；
(Ⅱ)易知函数f(x)的定义域为R，
所以f′(x)=−ax2−2ax+x−2ex=−(ax+1)(x−2)ex，
因为a>0，
令f′(x)=0，
解得x1=−1a，x2=2，
此时−1a<0<2，
当x<−1a时，f′(x)<0；当−1a0；当x>2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
则f(x)的单调递减区间为(−∞,−1a)和(2,+∞)，单调递增区间为(−1a,2)；
(Ⅲ)由(Ⅱ)知函数f(x)在[1,2)上单调递增，在(2,3]上单调递减，
因为若对于任意x∈[1,3]，不等式12≤f(x)≤1+1e2成立，
所以f(1)≥12，f(3)≥12，f(2)≤1+1e2，
因为f(1)=ae≥12，
所以a≥e2，
因为f(3)=9a+2e3≥12，
所以a≥e3−418，
因为f(2)=4a+1e2≤1+1e2，
所以a≤e24，
又e2−e3−418=9e−e3+418>9e−e318>0，
则e2>e3−418．
故a的取值范围为[e2,e24]．
【解析】(Ⅰ)由题意，得到函数f(x)的解析式，对函数f(x)进行求导，利用导数的几何意义即可求解；
(Ⅱ)对函数f(x)进行求导，利用导数即可得到函数f(x)的单调性；
(Ⅲ)结合(Ⅱ)中信息得到函数f(x)在[1,3]上的单调性，根据题目所给信息列出等式进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
投入额x1
10
30
40
60
80
90
110
年收入的附加额y1
3.20
4.00
4.80
6.00
7.30
7.45
9.25
X
0
1
2
3
P
435
1835
1235
135