2024玉溪通海一中、江川一中、易门一中三校高二下学期6月联考试题数学含解析

这是一份2024玉溪通海一中、江川一中、易门一中三校高二下学期6月联考试题数学含解析，共22页。试卷主要包含了 已知复数满足，则复数， 已知，则的大关系为， 的展开式中，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

高二年级数学试卷
一.选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则复数（ ）
A. B. C. D.
3 已知向量，满足，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线与圆相交于两点，若，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
5. 甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立. 设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且 ，则不等式的解是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第层有个球，则数列的前30项和为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，则的大关系为（ ）
A B.
C. D.
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A. 展开式共7项B. 项系数为280
C. 所有项的系数之和为2187D. 所有项的二项式系数之和为128
10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）

A. 的表达式可以写成
B. 图象关于直线对称
C. 在区间上单调递增
D. 若方程在上有且只有6个根，则
11. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 某批产品中，来自甲厂的占90%，来自乙厂的占10%，甲、乙两厂的优等品的概率分别为0.7、0.3，则这批产品为优等品的概率为______．
13. 已知，，则__________．
14. 如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为________.

四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 的内角的对边分别为，已知.
（1）求角的值；
（2）若面积为，求.
16. 某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为
了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望．
参考数据：，，．
附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
17. 如图，已知正三棱柱分别为棱的中点．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
18. 已知椭圆：的短轴长等于，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值．
19. 已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求的单调区间；
（3）在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围．年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
投入额
10
30
40
60
80
90
110
年收入的附加额
7．30
玉溪市通海一中、江川一中、易门一中三校
2023—2024学年下学期六月联考
高二年级数学试卷
一.选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意首先解一元二次不等式、指数不等式，再由交集的概念即可求解.
【详解】，，
∴．
故选：C.
2. 已知复数满足，则复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得.
【详解】因为，则，
因此，.
故选：B.
3. 已知向量，满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的相关知识，计算出，借助数量积公式计算即可.
【详解】结合题意：，，
，，
．
故选：A.
4. 已知直线与圆相交于两点，若，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先计算直线到圆心的距离，然后根据勾股定理得到，从而代入条件即可解出，从而得到.
【详解】如图所示：

设坐标原点到直线的距离为，则.
设线段的中点为，则，根据勾股定理，有.
由，得，故，解得，故.
故选：B.
5. 甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立. 设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据独立事件的概率乘法公式即可分类求解.
【详解】设甲第局胜，，2，3，且，
则甲恰好连胜两局的概率，
故选：B．
6. 若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且 ，则不等式的解是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先分析不等式在上的解，再根据对称性得出不等式在上的解即可.
【详解】因为在上是增函数且，所以在范围内的解为.
因为函数在定义域上图象关于轴对称，所以在内解为，所以不等式在R内的解为.
故选：C
7. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第层有个球，则数列的前30项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据题意，列出数列的递推关系，用累加法求出数列的通项公式，再用裂项求和法求出数列的前想和，可得结果.
【详解】根据已知条件有，
当时，，
以上各式累加得：，
又，所以，
经检验符合上式，所以，所以.
设数列的前项和为，
则，
所以.
故选：A
8. 已知，则的大关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据的特点，构造函数，判断其单调性，得到，故有，再运用作差法比较即得.
【详解】设，则，
当时，，在上递增；
当时，，在上递减,
故.
则，即；
由可知，故.
故选：B.
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 展开式中，下列结论正确的是（ ）
A. 展开式共7项B. 项系数为280
C. 所有项的系数之和为2187D. 所有项的二项式系数之和为128
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A：根据二项式定理的性质即可判断，选项B：根据二项式展开式的通项特征即可判断，选项C：令即可判断，选项D：根据二项式系数和公式即可判断．
【详解】选项A：因为，所以展开式共有8项，故A错误，
选项B：展开式的常数项为，故B正确，
选项C：令，则所有项的系数和为，故C正确，
选项D：所有项的二项式系数和为，故D正确，
故选：BCD．
10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）

A. 的表达式可以写成
B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递增
D. 若方程在上有且只有6个根，则
【答案】AD
【解析】
【分析】先求出函数的解析式，再逐一判断各选项是否正确.
【详解】根据图象：由，得，即，又；
又的图象过点，则，即，即得，；
又，所以.
所以.
对A：因为，故A正确；
对B，，故B错误；
对C，当时，则，由余弦函数单调性知，在单调递减，故C错误；
对于D，由，得，解得或，方程在上有6个根，
从小到大依次为：，而第7个根为，
所以，故D正确.
故选：AD
11. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用倾斜角和抛物线定义，分别求出点的横坐标即可得，可判断A；求出直线方程，联立抛物线方程求出点横坐标，利用定义即可得，然后可判断B；根据点的横坐标求出即可判断C；将代入直线方程，求出纵坐标，然后由可得面积，可判断D.
【详解】选项A：过点作轴的垂线，垂足为，则，
所以，所以，
由抛物线定义可得，，所以，
解得，故A正确．

选项B：由A得抛物线的方程为，，直线的方程为，
联立直线方程与抛物线的方程并化简，得，得或，
所以，故，故，B错误．
选项C：由，，得，故C正确．
选项D：由上知，得，
故，故D正确．
故选：ACD
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 某批产品中，来自甲厂的占90%，来自乙厂的占10%，甲、乙两厂的优等品的概率分别为0.7、0.3，则这批产品为优等品的概率为______．
【答案】0.66
【解析】
【分析】利用全概率公式，可得答案.
【详解】由题意可知，这批产品为优等品的概率为.
故答案为：.
13. 已知，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同角三角函数关系式求出，，再利用二倍角正切公式求解.
【详解】由，，，
，
.
故答案为：.
14. 如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为________.

【答案】
【解析】
【分析】利用中位线结合双曲线的性质, 解得，解得，然后转化成，求得离心率.
【详解】设双曲线的右焦点，连接，.
则中，，，
则，
由直线与圆相切，
可得.
又双曲线中，，
则，
又，
则，
整理得，
两边平方整理得，
则双曲线的离心率，
故答案为：.
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 的内角的对边分别为，已知.
（1）求角的值；
（2）若的面积为，求.
【答案】（1）
（2）2，2
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；
（2）由三角形面积公式及余弦定理求解即可.
【小问1详解】
，
由正弦定理可得：，
，
，
即，
，，
，.
【小问2详解】
由题意，，
所以，
由，
得，
所以，解得：.
16. 某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为
了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望．
参考数据：，，．
附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据最小二乘法即可求解，
（2）根据超级几何概率公式求解概率，即可由期望公式求解.
【小问1详解】
依题意，，
，
，
，
所以y关于x的线性回归方程为.
【小问2详解】
由题意，7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个，
所以X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
X分布列如下：
所以X的期望是.
17. 如图，已知正三棱柱分别为棱的中点．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】利用线面垂直判定定理来证明；用向量法计算两平面夹角的余弦值，再求夹角的正弦值；
【小问1详解】
取中点，由正三棱柱性质得，互相垂直，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设，则，
则．
证明：，
由，得，
由，得，
因为平面，所以平面．
【小问2详解】

由（1）可知为平面的一个法向量，设平面的法向量，
则,故，
令，得面的一个法向量为，
设二面角的值为，
则，所以，二面角的正弦值为．
18. 已知椭圆：的短轴长等于，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值．
【答案】（1）
（2）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出的方程组，求得的值，即可求得椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组得到，进而求得，得出中垂线的方程，求得，再由弦长公式求得，即可求解.
【小问1详解】
椭圆：的短轴长等于，离心率可得，
，解得，所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由椭圆的方程，可得右焦点，
当直线斜率不存在时被轴垂直平分，不符合题意；
当直线斜率为0时，；
直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，，中点为，
联立方程组，整理得，
可得，
所以，则，
即，则中垂线的方程为，
令，可得，所以，
又由
，
所以（定值）；
综上所述，为定值.
19. 已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求的单调区间；
（3）在（2）条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）单调递减区间为和，单调递增区间为；
（3）．
【解析】
【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再把代入原函数求出，最后由点斜式写出直线方程即可；
（2）求导后令导数为零，解出两个根，再由导数的正负确定单调区间即可；
（3）含参数的函数不等式恒成立问题，先由单调性得到，，，解不等式得到参数的范围，再比较参数大小，确定范围即可.
小问1详解】
因为，所以．
所以．
所以，．
所以曲线在点处的切线方程为，即．
【小问2详解】
因为，定义域为，
所以．
因为，令，即，
解得，，所以．
当x变化时，，的变化情况如下表所示．
所以的单调递减区间为和，单调递增区间为．
【小问3详解】
在（2）的条件下，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
因为对于任意，不等式成立，
所以，，．
所以，得，，得；
，得．
因为，
所以．
所以a的取值范围是．年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
投入额
10
30
40
60
80
90
110
年收入的附加额
7．30
X
0
1
2
3
P
x
2
0
0
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减