2023-2024学年云南省祥华教育集团高一（下）联考数学试卷（5月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年云南省祥华教育集团高一（下）联考数学试卷（5月份）（含答案），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足i⋅z=4−2i，则|z|=( )
A. 2 3B. 2 5C. 4D. 5
2.已知集合A={y|y=1−x2}，B={x|x2−2x≤0}，则A∩B=( )
A. (−∞,0]B. (−∞,2]C. [−2,1]D. [0,1]
3.设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，下列结论：
①若l⊥α，l⊥β，则α/​/β；
②若m⊥β，α⊥β，则m/​/α；
③若l/​/β，l⊂α，则β/​/α；
④若α⋂β=l，m/​/l，则m至少与α，β中一个平行．
则下列说法正确的是( )
A. ①②B. ①③C. ①④D. ②③
4.已知偶函数f(x)，当x>0时，f(x)=x2+x，则当x<0时，f(x)=( )
A. −x2+xB. −x2−xC. x2+xD. x2−x
5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，−π<φ<π)的部分图象如图所示，则ω和φ的值分别为( )
A. ω=1，φ=−π3
B. ω=1，φ=−π6
C. ω=2，φ=−π3
D. ω=2，φ=−π6
6.有一组样本数据如下：
56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98
则其25%分位数、中位数与75%分位数分别为( )
A. 65，76，82B. 66，74，82C. 66，76，79D. 66，76，82
7.已知各棱长均相等的正四棱锥P−ABCD各顶点都在同一球面上，若该球表面积为8π，则正四棱锥P−ABCD的体积为( )
A. 4 23B. 16 23C. 4 2D. 16 2
8.已知x0是函数f(x)=ex+x−2的零点，则( )
A. x0>1B. ln(2−x0)=x0C. x0−e−x0>0D. e2−x0−e<0
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. 用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为16π
B. 圆柱形容器底半径为5cm，两直径为5cm的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为53cm
C. 正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为28 23
D. 已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为4π5，则该圆锥的体积为32 213π
10.已知f(x)是定义在R上不恒为0的函数，f(x−1)的图象关于直线x=1对称，且函数y=1x−2的图象的对称中心也是f(x)图象的一个对称中心，则( )
A. 点(−2,0)是f(x)的图象的一个对称中心
B. f(x)为周期函数，且4是f(x)的一个周期
C. f(4−x)为偶函数
D. f(31)+f(35)=2
11.已知函数f(x)=cs(ωx+π4)(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有3个对称中心，则下列正确的是( )
A. ω的值可能是3B. f(x)的最小正周期可能是2π3
C. f(x)在区间[0,π16]上单调递减D. f(x)图象的对称轴可能是x=3π8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(2,3),b=(−1,2)，若ma+4b与a−b共线，则m的值为______．
13.已知一组数据x1，x2，…，x10的方差为4，若数据a+bx1，a+bx2，…，a+bx10(a,b∈R)的方差为36，则b的值为______．
14.△ABC中，∠C=150°，D为线段AB上一点，CD=1，且DC⋅AC=0，则△ABC面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=a+(7−a)i，z2=5+(3a+1)i(a∈R)．
(1)若z2的实部与z1的模相等，求a的值；
(2)若复数z1+z2在复平面上的对应点在第四象限，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在AB上，且OM//AC．
(1)求证：平面MOE//平面PAC；
(2)求证：BC⊥平面PAC；
(3)求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．
17.(本小题15分)
设函数f(x)=sinxcsx+cs2x，x∈R．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f(A)=1，1+sinAsinC=sin2A+cs2B+sin2C，且a=2，求b的值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2x−12x+1．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断函数f(x)的单调性并证明；
(3)若f(m⋅3x)+f(3x−9x+2)<0对任意的x≥1恒成立，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
将某市20到80岁的居民按年龄分组为[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，并制作频率分布直方图如下：
(1)根据频率分布直方图，估计该市20到80岁居民年龄的第80百分位数；
(2)为了解该市居民参与“健步走”活动的实际情况，从该市20到80岁的居民中随机抽取若干人作问卷调查．我们把年龄段I的居民参与“健步走”活动的人数与该年龄段居民数之比称为年龄段I的居民“健步走”活动参与指数(简称健参指数)，用KI表示．被调查居民各年龄段的健参指数如下：
若该市20到80岁的常住居民有100万人，利用样本估计总体的思想，解决下面的问题：
(i)估算该市20到80岁的居民中“健步走”活动的参与人数；
(ii)据权威部门对全国“健步走”活动参与人群调查发现，如果排除20岁以下和80岁以上的居民，60岁以下的人比60岁及以上的人更喜爱“健步走”活动．通过计算K20,60与K60,80的值，判断本次调查所得结果是否与权威部门给出的结论相符？若不相符，请你从统计学的角度分析产生差异的原因(结论开放，写出其中一条原因即可)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：z=4−2ii=−2−4i，
所以|z|= (−2)2+(−4)2=2 5．
故选：B．
根据复数的运算律和复数的模的公式可得．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为集合A={y|y=1−x2}={y|y≤1}，B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，
所以A∩B={x|0≤x≤1}．
故选：D．
先利用函数的值域和一元二次不等式的解法求出集合A，B，再利用集合交集的定义求解即可．
本题考查了函数的值域和一元二次不等式的解法，集合交集的定义，考查了运算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：对于①，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以①正确；
对于②，若m⊥β，α⊥β，则m⊂α或m/​/α，所以②错误；
对于③，由l/​/β，得β/​/α或β与α相交，故③错误；
对于④，α⋂β=l，m/​/l，则m至少与α，β中一个平行，故④正确．
故选：C．
根据空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可．
本题考查空间中直线与平面的位置关系的判断，属基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由偶函数f(x)，当x>0时，f(x)=x2+x，当x<0时，则−x>0，
所以f(−x)=(−x)2+(−x)=x2−x，
所以f(x)=f(−x)=x2−x，
故选：D．
设x<0，可得−x>0，由题意可得f(−x)的解析式，再由偶函数的性质可得f(x)的解析式．
本题考查偶函数的性质的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由图象知A=2，
函数的周期T满足T2=π3−(−π6)=π2，则T=π，即2πω=π，
得ω=2，
∵−π<φ<π，
∴由五点对应法得2×π3+φ=π2，得φ=π2−2π3=−π6，
故选：D．
利用三角函数的图象和性质先求出A，然后结合周期，以及利用五点对应法进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用周期公式，以及五点对应法是解决本题的关键，比较基础．
6.【答案】D
【解析】解：因为25%×22=5.5，所以样本数据的25%分位数为第六个数据即66；
中位数为：76+762=76，
因为75%×22=16.5，所以样本数据的75%分位数为第十七个数据即82．
故选：D．
由百分位数和中位数的定义求解即可．
本题考查百分位数和中位数的定义，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：如图所示，设四棱锥的棱长为a，P在底面ABCD的射影为H，则PH⊥平面ABCD，
且H为AC，BD的交点，且AH= 22a,PH= a2−( 22a)2= 22a，
由正四棱锥的对称性可知O在直线PH上，
设外接球的半径为R，则其表面积为4πR2=8π，所以R= 2，
则OH=| 22a− 2|，所以R2=( 22a− 2)2+( 22a)2=2，解得a=2或a=0(舍)，
所以正四棱锥P−ABCD的体积为V=13×PH×a2=4 23．
故选：A．
求棱锥的高，利用球的表面积公式求得半径R，再由R2=OH2+AH2求得a，即可求出棱锥的体积．
本题考查了棱锥的结构特征与应用问题，也考查了空间想象能力与运算求解能力，是中档题．
8.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=ex+x−2为R上的增函数，
且f(0)=−1<0，f(1)=e−1>0，
则x0∈(0,1)，故A错误；
∵x0是函数f(x)=ex+x−2的零点，
∴ex0=2−x0，可得ln(2−x0)=x0，故B正确；
∵1ex0=12−x0，∴x0−e−x0=x0−12−x0=−x02+2x0−12−x0=−(x0−1)22−x0，
又x0∈(0,1)，∴x0−e−x0=−(x0−1)22−x0<0，故C错误；
∵x0∈(0,1)，∴e2−x0>e，则e2−x0−e>0，故D错误．
故选：B．
由函数零点的判定定理可得x0的范围，然后逐一分析四个选项得答案．
本题考查函数零点的判定及应用，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A，截面小圆半径为1，则球半径R= 12+12= 2，该球的表面积为4πR2=8π，A错误；
对于B，设容器内水面下降的高度为h，则52π⋅h=2×4π3×(52)3，解得h=53，B正确；
对于C，正四棱台的高h′= 22−(2 2− 2)2= 2，体积为13(22+ 22×42+42)× 2=28 23，C正确；
对于D，圆锥底面圆半径r，则2πr=10×4π5，解得r=4，圆锥的高h0= 102−42=2 21，
体积为13π×42×2 21=32 213π，D正确．
故选：BCD．
利用球的截面小圆性质计算判断A；利用球及圆柱的体积公式计算判断B；利用棱台的体积公式计算判断C；求出圆锥的体积判断D．
本题考查几何体的体积与表面积的计算，属于中档题．
10.【答案】AC
【解析】解：因为函数f(x−1)的图象关于直线x=1对称，
所以f(x)的图象关于y轴对称，即f(x)为偶函数，
因为y=1x的图象的对称中心为原点O(0,0)，y=1x−2由y=1x的图象向右平移2个单位，
故y=1x−2的图象的对称中心为(2,0)，
所以f(2+x)+f(2−x)=0，
对于A，由f(x)为偶函数，知f(−2+x)+f(−2−x)=f(2−x)+f(2+x)=0，
所以点(−2,0)是f(x)图象的一个对称中心，A正确；
对于B，由f(2+x)+f(2−x)=0，得f(4+x)+f(−x)=0，
所以f(4+x)+f(x)=0，则f(x)=−f(x+4)=f(x+8)，
所以f(x)为周期函数，且8是该函数的一个周期，B错误；
对于C，由f(2+x)+f(2−x)=0，得f(4−x)+f(x)=0，即f(4−x)=−f(x)，
因为f(x)为偶函数，所以f(4−x)为偶函数，C正确；
对于D，由f(2+x)+f(2−x)=0，得f(3)+f(1)=0，
所以f(31)+f(35)=f(8×4−1)+f(8×4+3)=f(−1)+f(3)=f(3)+f(1)=0，D错误．
故选：AC．
由已知结合函数的奇偶性及对称性，周期性检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的对称性，奇偶性及周期性的判断及应用，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：因为函数f(x)=cs(ωx+π4)(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有3个对称中心，
且当0≤x≤π时，π4≤ωx+π4≤πω+π4，
所以，5π2≤πω+π4<7π2，解得94≤ω<134，A对；
因为94≤ω<134，则函数f(x)的最小正周期为T=2πω∈(8π13,8π9],
且2π3∈(8π13,8π9],B对；
当0≤x≤π16时，π4≤ωx+π4≤π16ω+π4，
因为94≤ω<134，则25π64≤π16ω+π4<2964π，
所以，函数f(x)在区间[0,π16]上单调递减，C对；
35π32≤3πω8+π4<47π32，所以，f(x)图象的对称轴不可能是x=3π8，D错．
故选：ABC．
利用辅助角公式化简函数f(x)的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AD选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的周期公式可判断B选项．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
12.【答案】−4
【解析】解：向量a=(2,3),b=(−1,2)，则ma+4b=m(2,3)+4(−1,2)=(2m−4,3m+8)，
a−b=(2,3)−(−1,2)=(3,1)，由向量ma+4b与a−b共线，得2m−4=3(3m+8)，解得m=−4，
所以m的值为−4．
故答案为：−4．
计算出两向量ma+4b与a−b的坐标，再利用共线向量的坐标表示，求出m的值．
本题主要考查向量共线的性质，是基础题．
13.【答案】3或−3
【解析】解：设x1，x2，…，x10的平均数为c，则a+bx1，a+bx2，…，a+bx10(a,b∈R)的平均数为a+bc．
根据方差的定义，得110[(x1−c)2+(x2−c)2+⋯+(x10−c)2]=4，
因此，数据a+bx1，a+bx2，…，a+bx10(a,b∈R)的方差为36，
即110{[(a+bx1)−(a+bc)]2+[(a+bx2)−(a+bc)]2+⋯+[(a+bx10)−(a+bc)]2]=36,
即110[(bx1−bc)2+(bx1−bc)2+⋯+(bx1−bc)2]=36，整理得b210[(x1−c)2+(x2−c)2+⋯+(x10−c)2]=36，
所以4b2=36，b2=9，解得b=±3．
故答案为：3或−3．
根据题意，列出第二组数据的方差的等式，结合第一组数据的方差为4进行化简整理，得到关于b的方程，解之可求出b的值．
本题主要考查平均数与方差的公式及其性质，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】2 3
【解析】解：△ABC中，∠C=150°，D为线段AB上一点，CD=1，且DC⋅AC=0，
故DC⊥AC，
令AC=b，BC=a，则S△ABC=12absin150°=ab4.①
又S△ABC=S△ACD+S△BCD=12b×1sin90°+12a×1sin(150°−90°)=12b+ 34a，②
设t=S△ABC，t>0．
则ab=4t，
t=12b+ 34a≥2 3ab8=2 32t，
整理得：t2≥2 3t，解得t≥2 3(当且仅当12b= 34a，即b= 32a时取等号)．
即△ABC面积的最小值为2 3．
故答案为：2 3．
令AC=b，BC=a，由t=S△ABC=S△ACD+S△BCD，可得t=12b+ 34a≥2 3ab8=2 32t，解之可得答案．
本题考查平面向量数量积的性质及其运算，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为z2的实部与z1的模相等，所以5= a2+(7−a)2，解得a=3或4．
(2)复数z1+z2=a+5+(8+2a)i在复平面上的对应点在第四象限，则a+5>0，8+2a<0，解得−5【解析】(1)z2的实部与z1的模相等，5= a2+(7−a)2，解得即可．
(2)复数z1+z2在复平面上的对应点在第四象限，z1+z2=a+5+(8+2a)i，则a+5>0，8+2a<0，求解即可．
本题考查复数的性质与基本运算，属于中档题．
16.【答案】(1)证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE/​/PA …(1分)
因为PA⊂平面PAC，OE⊄平面PAC，所以OE/​/平面PAC.…(2分)
因为OM//AC，因为AC⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，所以OM/​/平面PAC.…(3分)
因为OE∩OM=O，所以平面MOE//平面PAC …(5分)
(2)证明：因为点C在以AB为直径的⊙O上，所以∠ACB=90°，即BC⊥AC，
因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.…(7分)
因为PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC；…(9分)
(3)解：由(2)知BC⊥面PAC，∴∠BPC为直线PB与平面PAC所成的角．…(10分)
在Rt△PAC中，PC= PA2+AC2= 5，
在Rt△ABC中，BC= AB2−AC2= 3，
在Rt△PBC中，P= PC2+BC2=2 2…(12分)
∴sin∠BPC=BCPB= 32 2= 64．
∴直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为 64…(14分)
【解析】(1)先证明OE/​/平面PAC、OM/​/平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面MOE//平面PAC；
(2)利用线线垂直证明线面垂直；
(3)由(2)知BC⊥面PAC，可得∠BPC为直线PB与平面PAC所成的角，求出BC、PB的值可得结论．
本题考查面面平行，考查线面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面平行、线面垂直的判定方法，属于中档题．
17.【答案】解：(1)f(x)=sinxcsx+cs2x=12sin2x+12cs2x+12= 22sin(2x+π4)+12，
令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−3π8≤x≤kπ+π8，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8]，k∈Z．
(2)f(A)= 22sin(2A+π4)+12=1，即sin(2A+π4)= 22，
因为A∈(0,π)，所以2A+π4∈(π4,9π4)，则可得A=π4，
因为1+sinAsinC=sin2A+cs2B+sin2C，所以sin2B+cs2B+sinAsinC=sin2A+cs2B+sin2C，即sinAsinC=sin2A+sin2C−sin2B，
由正弦定理可得ac=a2+c2−b2，
由余弦定理可得csB=a2+c2−b22ac=12，由B∈(0,π)，所以B=π3，
由正弦定理asinA=bsinB，可得b=asinA⋅sinB=2 22× 32= 6．
【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦型函数的单调性，正余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
(1)先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用正弦函数的单调性即可求出；
(2)先由f(A)=1解得A=π4，再由正弦定理化角为边，由余弦定理求得B，再由正弦定理即可求得b．
18.【答案】解：(1)f(x)为奇函数，理由如下：
函数f(x)的定义域为R，
f(−x)=2−x−12−x+1=1−2x2x+1=−f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(2)f(x)在R上单调递增，证明如下：
设x1，x2∈(0,+∞)，且0f(x1)−f(x2)=2x1−12x1+1−2x2−12x2+1=(2x1−1)(2x2+1)(2x1+1)(2x2+1)−(2x2−1)(2x1+1)(2x2+1)(2x1+1)=2(2x1−2x2)(2x2+1)(2x1+1)，
因为00，2x2+1>0，
所以f(x1)又因为f(x)为R上的奇函数，所以函数f(x)在R上单调递增．
(3)由(1)知f(x)为奇函数，且f(m⋅3x)+f(3x−9x+2)<0对x≥1恒成立，
即f(m⋅3x)<−f(3x−9x+2)=f(−3x+9x−2)对x≥1恒成立，
由(2)知f(x)为增函数，所以m⋅3x<−3x+9x−2对x≥1恒成立，
所以m<(−1+3x−23x)min，令t(x)=−1+3x−23x，x∈[1,+∞)，
因为t(x)在[1,+∞)上单调递增，t(x)min=t(1)=43，m<43，
所以实数m的取值范围为{m|m<43}．
【解析】(1)先求函数定义域，再根据f(−x)与f(x)的关系判断奇偶性；
(2)在区间(0,+∞)上取x1，x2，且x1(3)利用奇偶性和单调性将原式转化为m⋅3x<−3x+9x−2对x≥1恒成立，独立m，求t(x)=−1+3x−23x在[1,+∞)上的最小值，得m的取值范围．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，还考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)∵前3组的频率和为：10×(0.010+0.018+0.025)=0.53<0.8，
前4组的频率和为：10×(0.010+0.018+0.025+0.030)=0.83>0.8，
∴第80百分位数在第4组，设为x，则0.53+0.030×(x−50)=0.8，
解得x=59．
∴估计该市20到80岁居民年龄的第80百分位数为59．
(2)(i)由频率分布直方图得：
年龄在[20,30)的人数为100×10×0.010=10万人，
年龄在[30,40)的人数为100×10×0.018=18万人，
年龄在[40,50)的人数为100×10×0.025=25万人，
年龄在[50,60)的人数为100×10×0.030=30万人，
年龄在[60,70)的人数为100×10×0.012=12万人，
年龄在[70,80]的人数为100×10×0.005=5万人，
∴[20,30)参与“健步走”活动的人数为10×0.4=4万人，
[30,40)参与“健步走”活动的人数为18×0.5=9万人，
[40,50)参与“健步走”活动的人数为25×0.6=15万人，
[50,60)参与“健步走”活动的人数为30×0.7=21万人，
[60,70)参与“健步走”活动的人数为12×0.75=9万人，
[70,80]参与“健步走”活动的人数为5×0.4=2万人，
∴该市20到80岁的居民中“健步走”活动的参与人数为：
4+9+15+21+9+2=60万人．
(ii)K[20,60)=4+9+15+2110+18+25+30=4983≈0.59,
K[60,80]=9+212+5=1117≈0.65，
∵K[20,60)∴由调查结果可知60岁以上的人比60岁以下的人更喜爱“健步走”活动，
∴本次调查所得结果与权威部门给出的结论不相符，
产生差异的主要原因是调查的样本不一定具有代表性，或一次取样不能客观反映总体或样本容量过小．
【解析】本题考查百分位数、频率分布直方图，用样本估计总体的分布，是中档题．
(1)根据百分位数的定义求解即可．
(2)(i)根据频率分布直方图求出各年龄段的人数，再求出各年龄段参与“健步走”活动的人数，能求出结果．
(ii)通过(i)计算的数据，计算K20,60与K60,80的值，进行比较．年龄段I
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80]
KI
0.4
0.5
0.6
0.7
0.75
0.4