2023-2024学年江苏省常州一中高二（下）段考数学试卷（6月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年江苏省常州一中高二（下）段考数学试卷（6月份）（含答案），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={−1,0,1}，B={x|lg(x+2)>0}，则A∩B=( )
A. {−1,0,1}B. {0,1}C. {1}D. (−1,+∞)
2.已知a=(1,2,−y)，b=(x,1,2)，且2b//(a−b)，则( )
A. x=13，y=1B. x=12，y=−4C. x=2，y=−14D. x=1，y=−1
3.设a>0，b>0，且a+2b=1，则lg2a+lg2b的( )
A. 最小值为−3B. 最小值为3C. 最大值为−3D. 最大值为3
4.函数y=3x−3−xcsx在区间−π2,π2的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.设随机变量ξ～N(μ,4)，函数f(x)=x2+2x−ξ没有零点的概率是0.5，则P(1<ξ≤3)=( )
附：随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9545．
A. 0.1587B. 0.1359C. 0.2718D. 0.3413
6.若过点(1,b)可以作曲线y=ln(x+1)的两条切线，则( )
A. ln2ln2C. 01
7.泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为P(X=k)=λkk!e−λ(k=0,1,2,…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ(λ>0)的泊松分布．若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为( )
A. 2e4B. 4e4C. 6e4D. 8e4
8.已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)+f(3−x)=4，f(x)的导函数为g(x)，函数y=g(1+3x)−1为奇函数，则f(32)+g(2024)=( )
A. −3B. 3C. −1D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. “x>2”是“1x<12”的充分不必要条件
B. 命题“∃x>1，x2−2ax−1<0”的否定是∀x≤1，x2−2ax−1≥0
C. 已知幂函数f(x)=k⋅xα的图象过点(12, 22)，则k+α=32
D. 已知随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=0.6，P(X=1)=0.4，令Y=3X−2，则P(Y=−2)=0.6
10.如图，已知斜三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=π2，∠BAA1=2π3，∠CAA1=π3，AB=AC=1，AA1=2，点O是B1C与BC1的交点．下列选项中正确的有( )
A. AO=12(AB+AC+AA1)B. |AO|=32
C. 直线AO与BC所成的角的余弦值 33D. 平面ABC与平面B1BCC1不垂直
11.在一个有限样本空间中，假设P(A)=P(B)=P(C)=13，且A与B相互独立，A与C互斥，则( )
A. P(A∪B)=23
B. P(C−|A)=2P(A|C−)
C. P(C−|(AB))=1
D. 若P(C|B)+P(C|B−)=12，则P(BC)=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30.如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是______．
13.若不等式a+|x2−1x|≥2|lg2x|在x∈(12,2)上恒成立，则实数a的取值范围为______．
14.如图，已知点A是圆台O1O的上底面圆O1上的动点，B，C在下底面圆O上，AO1=1,OO1=2,BO=3,BC=2 5，则直线AO与平面O1BC所成角的正弦值的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|1≤x≤4}，B={x|x2−2mx+m2−1≤0}．
(1)命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
(2)函数y=lg2(ax2−2x+2)的定义域为C，若A∩C≠⌀，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
设函数f(x)=−2x+a2x+1+b(a>0,b>0)．
(1)若函数f(x)是奇函数，求a与b的值；
(2)在(1)的条件下，判断并证明函数f(x)的单调性，并求不等式f(x)>−16的解集．
17.(本小题15分)
如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，∠A1AC=60°，AC⊥BC，A1C⊥AB，AC=1，AA1=2．
(1)求证：A1C⊥平面ABC；
(2)若直线BA1与平面BCC1B1所成角的正弦值为 34，求二面角A1−BB1−C的余弦值．
18.(本小题17分)
在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节.每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为α(0<α<1)，1−α；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为β(0<β<1)，1−β.假设每次信号的传输相互独立．
(1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为f(α)，求f(α)的最小值；
(2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为x1，x2，x3，x4，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X(x1,x2,x3,x4中任意相邻的数字均不相同时，令X=1)，若β=23，求X的分布列和数学期望．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=(x3−6x2+3x+t)ex，t∈R．
(1)若函数y=f(x)依次在x=a，x=b，x=c(a①求t的取值范围；
②若a+c=2b2，求t的值．
(2)若存在实数t∈[0,2]，使对任意的x∈[1,m]，不等式f(x)≤x恒成立．求正整数m的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
先由对数函数的性质求出集合B，再利用集合间的交集运算求解即可．
本题主要考查了集合间的基本运算，属于基础题．
【解答】
解：由lg(x+2)>0，可得x+2>1，∴x>−1，
∴B={x|x>−1}，
∴A∩B={0,1}，
故选B．
2.【答案】B
【解析】解：a=(1,2,−y)，b=(x,1,2)，且2b//(a−b)，
则2b=(2x,2,4)，a−b=(1−x,1,−y−2)，
∵2b//(a−b)，
∴2b=λ(a−b)，即2x=λ(1−x)2=λ4=λ(−y−2)，解得x=12y=−4λ=2．
故选：B．
根据已知条件，结合空间向量平行的性质，即可求解．
本题主要考查空间向量平行的性质，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意可得a+2b=1≥2 2ab，当且仅当a=2b时等号成立，
此时ab≤18，
所以lg2a+lg2b=lg2ab≤lg218=−3，即lg2a+lg2b的最大值为−3．
故选：C．
由a+2b=1以及基本不等式求出ab的最大值，由此求出lg2a+lg2b的最大值，即可求解．
本题考查了对数的运算性质，涉及到基本不等式的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=(3x−3−x)csx，
f(−x)=(3−x−3x)cs(−x)=−(3x−3−x)csx=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除B，D；
当x∈[0,π2]时，f(x)≥0，排除C．
故选：A．
由函数的奇偶性及函数值的大小进行排除即可求得结论．
本题主要考查函数的图象的判断，考查函数的性质，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由f(x)=x2+2x−ξ没有零点的概率是0.5，
由f(x)无零点得Δ=4+4ξ<0，得ξ<−1，
可知P(ξ<−1)=0.5，故μ=−1，结合σ=2，
P(1<ξ≤3)=P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)−P(μ−σ<ξ<μ+σ)2=0.1359．
故选：B．
先根据f(x)=x2+2x−ξ没有零点的概率是0.5，求出均值，然后再根据σ，2σ，3σ的性质求解．
本题考查了正态分布的性质和应用，以及函数的零点的性质，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：在曲线y=ln(x+1)上任取一点Q(t,ln(t+1))，
又由y=ln(x+1)，可得y′=1x+1，
则曲线y=ln(x+1)在点Q处的切线方程为y−ln(t+1)=1t+1(x−t)．
将点(1,b)代入切线方程可得b=1−tt+1+ln(t+1)，
令函数f(t)=1−tt+1+ln(t+1)，t∈(−1,+∞)，
则f′(t)=−2(t+1)2+1t+1=t−1(t+1)2．
当t<1时，f′(t)<0，此时f(t)单调递减，
当t>1时，f′(t)>0，此时f(t)单调递增，
所以f(t)min=f(1)=ln2．
由题意可知，直线y=b与f(t)的图象有两个交点，则b>ln2．
故选：B．
在曲线y=ln(x+1)上任取一点Q(t,ln(t+1))，求得切线方程，代入点(1,b)，可得b=1−tt+1+ln(t+1)，令函数f(t)=1−tt+1+ln(t+1)，t∈(−1,+∞)，求得函数f(t)的单调性和最值，由此可得b的范围．
本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：由题意可得，P(X=1)=P(X=2)，即λeλ=λ22eλ，解得λ=2，
故P(X=k)=2kk!e−2，
P(X=0)=200!e−2=1e2，P(X=1)=211!e−2=2e2，P(X=2)=222!e−2=2e2，
故两周销售2件的概率P=C21⋅1e2⋅2e2+C22(2e2)2=8e4．
故选：D．
根据已知条件，解方程可得，λ=2，即可求解对应的概率．
本题主要考查概率的求解，考查转化能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意，f(x)满足f(x)+f(3−x)=4，令x=32可得：f(32)+f(3−32)=f(32)+f(32)=4，则有f(32)=2；
又由f(x)+f(3−x)=4，两边同时求导可得：f′(x)−f′(3−x)=0，即g(x)=g(3−x)①，
又由函数y=g(1+3x)−1为奇函数，即g(x)的图象关于点(1,−1)对称，则有g(x)+g(2−x)=−2②，且g(1)=−1，
联立①②可得：g(3−x)+g(2−x)=−2，变形可得g(x)+g(x+1)=−2，
则有g(x+1)+g(x+2)=−2，
综合可得：g(x+2)=g(x)，即函数g(x)是周期为2的周期函数，
g(2024)=g(2)=−g(1)=1．
故f(32)+g(2024)=2+1=3．
故选：B．
根据题意，利用赋值法分析f(32)的值，对f(x)+f(3−x)=4求导，结合g(x)的对称性分析g(x)的周期，分析求出g(2024)的值，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性和对称性，涉及导数的计算，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：当x>2时，能推出1x<12，充分性成立，
当x<0时，满足1x<12，但x>2不成立，故必要性不成立，故A正确；
“∃x>1，x2−2ax−1<0”的否定是∀x>1，x2−2ax−1≥0，故B错误；
幂函数f(x)=k⋅xα的图象过点(12, 22)，
则k=1，(12)α= 22，解得α=12，
故k+α=32，故C正确；
P(X=0)=0.6，令Y=3X−2，
则P(Y=−2)=P(X=0)=0.6，故D正确．
故选：ACD．
对于A，结合特殊值法，判断充分性、必要性，即可求解；
对于B，结合命题否定的定义，即可求解；
对于C，结合否函数的定义，即可求解；
对于D，根据P(Y=−2)=P(X=0)，即可求解．
本题主要考查概率与统计的知识，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A，AO=AB+BO=AB+12(BC+CC1)=AB+12(AC−AB+AA1)=12(AC+AB+AA1)，故A正确；
对于B，∵AO=12(AB+AC+AA1)，
∴|AO|2=14|AB+AC+AA1|2=14(|AB|2+|AC|2+|AA1|2+2|AB|⋅|AC|⋅cs∠BAC+2|AB|⋅|AA1|⋅cs∠BAA1+2|AC|⋅|AA1|
=14(1+1+4+2×1×2×(−12)+2×1×2×12)=32，
∴|AO|= 62，故B错误；
对于C，AO⋅BC=12(AB+AC+AA1)⋅(AC−AB)=12(AB⋅AC+|AC|2+AA1⋅AC−|AB|2−AC⋅AB−AA1⋅AB)
=12(2×12+2×12)=1，
|BC|= 2，cs〈AO,BC〉=AO⋅BC|AC|⋅|BC|=1 62× 2= 33，故C正确；
对于D，取BC的中点E，连接AE，
∵AB=AC，∴AE⊥BC，且AE=12(AB+AC)，
又AE⋅BB1=12(AB+AC)⋅AA1=0，∴AE⊥BB1，
∵BC∩BB1=B，BC，BB1⊂平面BB1C1C，∴AE⊥平面BB1C1C，
又AE⊂平面ABC，∴平面ABC与平面B1BCC1垂直，故D错误．
故选：AC．
对于A，根据AO=AB+BO=AB+12(BC+CC1)依次改写即可；
对于B，根据|AO|2=14|AB+AC+AA1|2计算即可；
对于C，根据cs〈AO,BC〉=AO⋅BC|AC|⋅|BC|计算即可；
对于D，取BC的中点E，连接AE，证AE⊥BC，AE⊥BB1即可．
本题考查向量线性运算法则、向量数量积公式、向量夹角余弦公式、异面直线所成角、线面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=13×13=19，
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=13+13−19=59，A错误；
对于B，因为A与C互斥，所以A⊆ C−．
所以P(C−|A)=P(C−A)P(A)=3P(C−A)，P(A|C−)=P(CA)P(C)=P(C−A)P(C−)=P(C−A)1−13=32P(C−A)，
所以P(C−|A)=2P(A|C−)，B正确；
对于C,P(C−|AB)=P(C−AB)P(AB)，因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，
所以P(C−A)=P(A)，所以P(C−|AB)=P(C−AB)P(AB)=P(AB)P(AB)=1，C正确；
对于D，显然P(C)=P(BC)+P(B−C)=13，即P(B−C)=13−P(BC)，
由P(C|B)+P(C|B−)=12，得P(CB)P(B)+P(CB−)P(B−)=3P(BC)+32[13−P(BC)]=12，
解得P(BC)=0，D正确．
故选：BCD．
A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)，又因为P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)可判断A选项；由条件概率的运算P(B|A)=P(BA)P(A)判断B选项；因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，故P(CA)=P(A)可判断C选项；P(BC)=0，即B与C互斥判断D．
本题主要考查条件概率，独立事件和互斥事件，属于中档题．
12.【答案】0.175
【解析】解：一个被保险人在一年内出事故的概率为0.2×0.05+0.5×0.15+0.3×0.3=0.175．
故答案为：0.175．
利用相互独立事件概率乘法公式求解．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
13.【答案】a≥1
【解析】解：不等式即为a≥−|x2−1x|+2|lg2x|，在x∈(12,2)上恒成立．
而函数f(x)=−|x2−1x|+2|lg2x|=x 12所以f(x)在(12,2)上的最大值为1，所以a≥1．
故答案为：a≥1
先分离常数，然后构造函数，因为构造的函数中含有绝对值，所以要对给定的区间分段去掉绝对值变成分段函数，根据图象可求出最大值，这样就可以求出参数的取值范围．
本题主要考查了函数恒成立问题，方法是分离常数之后构造函数，转化为函数求最值问题，本题中含绝对值，所以考虑先取绝对值．
14.【答案】3 1010
【解析】解：连接OC，过C作CH垂直于BO的延长线于点H，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：
在三角形OBC中，因为OB=3，OC=3，BC=2 5，
故csB=OB2+BC2−OC22OB⋅BC=9+20−92×3×2 5= 53，
则BH=BC⋅csB=2 5× 53=103，
则CH= BC2−BH2= 20−1009=4 53，
OH=BH−OB=13，
故点C(−13,4 53,0)，又B(3,0,0)，O(0,0,0)，O1(0,0,2)，
设点A(m,n,2)，m，n∈[−1,1]，由O1A=1，
则可得m2+n2=1，
BC=(−103,4 53,0)，BO1=(−3,0,2)，
设平面O1BC的法向量m=(x,y,z)，
则m⋅BC=0m⋅BO1=0，即−103x+4 53y=0−3x+2z=0，
取y= 5，则x=2，z=3，
故平面O1BC的法向量m=(2, 5,3)，
又OA=(m,n,2)，
设直线AO与平面O1BC所成角为θ,θ∈[0,π2]′
则sinθ=|cs〈OA,m〉|=|m||OA||m||OA|=|2m+ 5n+6|3 2× m2+n2+4=|2m+ 5n+6|3 10，
因为m，n∈[−1,1]，且m2+n2=1，
故令m=csα，n=sinα，α∈0，2π)，
则2m+ 5n+6= 5sinα+2csα+6=3sin(α+φ)+6，tanφ=2 55，φ∈(−π2,π2)，
又α∈0，2π)，所以sin(α+φ)∈[−1,1]，
故3sin(α+φ)+6∈[3,9]，
也即2m+ 5n+6∈[3,9]，
所以sinθ的最大值为93 10=3 1010．
故答案为：3 1010．
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，设出未知点的坐标，利用向量法求线面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可．
本题考查线面角的计算利用三角函数最值的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由x2−2mx+m2−1≤0得[x−(m+1)][x−(m−1)]≤0，
得m−1≤x≤m+1，即B=[m−1,m+1]，
若p是q的必要非充分条件，则B⊆A，
则m+1≤4m−1≥1，解得2≤m≤3，即实数m的取值范围是[2,3]．
(2)因为函数y=lg2(ax2−2x+2)的定义域为C，
若A∩C≠⌀，则ax2−2x+2>0在[1,4]内有有解，
所以a>−2x2+2x在[1,4]内有有解，
令t=1x，t∈[14,1]，
则y=−2x2+2x=−2t2+2t，
根据二次函数的性质可知，当t=1或14时，函数取得最小值0，
故a>0，
所以a的范围为{a|a>0}．
【解析】(1)先求出集合B，然后结合充分必要性与集合包含关系的转化即可求解；
(2)若A∩C≠⌀，则ax2−2x+2>0在[1,4]内有解，即a>−2x2+2x在[1,4]内有解，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解．
本题主要考查了充分必要性与集合包含关系的转化，还考查了存在性问题与最值关系的转化，属于中档题．
16.【答案】解：(1)由函数f(x)是奇函数，得f(−x)=−f(x)，
即−2−x+a2−x+1+b=−−2x+a2x+1+b对定义域内任意实数x都成立，
整理得(2a−b)⋅22x+(2ab−4)⋅2x+(2a−b)=0对定义域内任意实数x都成立，
∴2a−b=02ab−4=0，
解得a=−1b=−2或a=1b=2，
经检验a=1b=2符合题意．
(2)由(1)可知f(x)=−2x+12x+1+2=12(−1+22x+1)，
易判断f(x)为R上的减函数，
证明：∵2x+1在定义域R上单调递增且2x+1>0，
∴22x+1在定义域R上单调递减，且22x+1>0，
∴f(x)=−2x+12x+1+2=12(−1+22x+1)在R上单调递减．
由f(1)=−16，不等式f(x)>−16，
等价为f(x)>f(1)，
由f(x)在R上的减函数可得x<1．
另解：由f(x)>−16得，即12(−1+22x+1)>−16，
解得2x<2，∴x<1．
即不等式的解集为(−∞,1)．
【解析】(1)根据奇函数的性质建立方程即可求a与b的值；
(2)根据函数单调性的定义或性质证明函数f(x)的单调性，并利用单调性的性质解不等式f(x)>−16．
本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的证明和应用，考查函数性质的综合应用．
17.【答案】(1)证明：因为∠A1AC=60°，AC=1，AA1=2，由余弦定理得A1C= 12+22−2⋅1⋅2⋅cs60°= 3，
所以A1A2=A1C2+AC2，所以A1C⊥AC，又因为A1C⊥AB，
又因为AC∩AB=A，所以A1C⊥平面ABC．
(2)解：由已知和(1)得，CA、CB、CA两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
A(1,0,0)，C(0,0,0)，B(0,t,0)，A1(0,0, 3)，C1(−1,0, 3)，B1(−1,t, 3)，
BC=(0,−t,0)，BB1=(−1,0, 3)，BA1=(0,−t, 3)，
设平面BCC1B1和平面A1BB1的法向量分别为m=(x,y,z)，n=(u,v,w,)，
BC⋅m=−ty=0BB1⋅m=−x+ 3z=0，令z=1，m=( 3,0,1)，
BA1⋅n=−tv+ 3w=0BB1⋅n=−u+ 3w=0，令w=t，n=( 3t, 3,t)，
直线BA1与平面BCC1B1所成角的正弦值为|BA1⋅m||BA1|⋅|m|= 3 t2+3⋅2= 34，解得t=1，
m=( 3,0,1)，n=( 3, 3,1)，
所以二面角A1−BB1−C的余弦值为|m⋅n||m|⋅|n|=42⋅ 7=2 77．
【解析】(1)根据直线与平面垂直的判定定理证明；(2)用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值和二面角的余弦值．
本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线成平面成角和二面角的计算问题，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题可知f(α)=α3+(1−α)3=3α2−3α+1=3(α−12)2+14，
因为0<α<1，所以当α=12时，f(α)的最小值为14；
(2)由题设知，X的可能取值为1，2，3，4，
①当X=1时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010，
所以P(X=1)=23×13×23×13+13×23×13×23=881，
②当X=2时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011，
所以P(X=2)=(23)2×13×23×2+(13)2×23×13×2+(13)2×(23)2×4=3681=49，
③当X=3时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000，
所以P(X=3)=(13)3×23×2+13×(23)3×2=2081，
④当X=4时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111，
所以P(X=4)=(13)4+(23)4=1781，
所以X的分布列为：
期望E(X)=1×881+2×38+3×2081+4×1781=20881．
【解析】(1)由独立乘法、互斥加法得函数f(α)表达式，进一步即可求解最小值；
(2)X的可能取值为1，2，3，4，由独立乘法、互斥加法公式求出对应的概率，进而得分布列以及数学期望．
本题考查了概率的求解以及离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
19.【答案】解：(1)①f′(x)=(3x2−12x+3)ex+(x3−6x2+3x+t)ex=(x3−3x2−9x+t+3)ex
∵f(x)有3个极值点，
∴x3−3x2−9x+t+3=0有3个根a，b，c．
令g(x)=x3−3x2−9x+t+3，g′(x)=3x2−6x−9=3(x+1)(x−3)，
g(x)在(−∞,−1)，(3,+∞)上递增，(−1,3)上递减．
∵g(x)有3个零点∴g(−1)>0g(3)<0∴−8②∵a，b，c是f(x)的三个极值点，
∴x3−3x2−9x+t+3=(x−a)(x−b)(x−c)=x3−(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)x−abc
∴a+b+c=3ab+ac+bc=−9t+3=−abc
∴b=1或−32(舍∵b∈(−1,3))
∴a=1−2 3b=1c=1+2 3∴t=8
(2)不等式f(x)≤x，即(x3−6x2+3x+t)ex≤x，即t≤xe−x−x3+6x2−3x．
转化为存在实数t∈[0,2]，使对任意的x∈[1,m]，
不等式t≤xe−x−x3+6x2−3x恒成立．
即不等式0≤xe−x−x3+6x2−3x在x∈[1,m]上恒成立．
即不等式0≤e−x−x2+6x−3在x∈[1,m]上恒成立．
设φ(x)=e−x−x2+6x−3，则φ′(x)=−e−x−2x+6．
设r(x)=φ′(x)=−e−x−2x+6，则r′(x)=e−x−2，因为1≤x≤m，有r′(x)<0．
故r(x)在区间[1,m]上是减函数．
又r(1)=4−e−1>0，r(2)=2−e−2>0，r(3)=−e−3<0
故存在x0∈(2,3)，使得r(x0)=φ′(x0)=0．
当1≤x0，当x>x0时，有φ′(x)<0．
从而y=φ(x)在区间[1,x0]上递增，在区间[x0,+∞)上递减．
又φ(1)=e−1+4>0，φ(2)=e−2+5>0，φ(3)=e−3+6>0，φ(4)=e−4+5>0，φ(5)=e−5+2>0，φ(6)=e−6−3<0．
所以当1≤x≤5时，恒有φ(x)>0；
当x≥6时，恒有φ(x)<0；
故使命题成立的正整数m的最大值为5．
【解析】(1)①根据极值点是导函数的根，据方程的根是相应函数的零点，结合函数的单调性写出满足的不等式解出t的范围，②将三个极值点代入导函数得到方程，左右两边各项的对应系数相等，列出方程组，解出t值．
(2)先将存在实数t∈[0,2]，使不等式f(x)≤x恒成立转化为将t看成自变量，f(x)的最小值)≤x；再构造函数，通过导数求函数的单调性，求函数的最值，求出m的范围．
本题考查利用导数求函数的极值、极值点是导函数的根、解决不等式恒成立常用的方法是构造函数利用导数求函数的最值．X
1
2
3
4
P
881
49
2081
1781