中考数学二轮复习二次函数压轴题核心考点突破专题07 等腰三角形存在性问题（2份打包，原卷版+教师版）

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等腰三角形存在性问题
【问题描述】
如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．
【几何法】“两圆一线”得坐标
（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；
（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．
【注意】若有三点共线的情况，则需排除．
作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．
SKIPIF 1 < 0 同理可求，下求 SKIPIF 1 < 0 ．
显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：
而对于本题的 SKIPIF 1 < 0 ，或许代数法更好用一些．
【代数法】表示线段构相等
（1）表示点：设点 SKIPIF 1 < 0 坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），
（2）表示线段： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（3）分类讨论：根据 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ，
（4）求解得答案：解得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
【小结】
几何法：（1）“两圆一线”作出点；
（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．
代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；
（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；
（3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；
（4）列出方程求解．
问题总结：
（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；
（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；
（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．
二、典例精析
如图，在平面直角坐标系中，二次函数 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 轴上有一点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线在 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴上方的一个动点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 SKIPIF 1 < 0 点的坐标，若不存在请说明理由．

【分析】
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）可用铅垂法，当点D坐标为 SKIPIF 1 < 0 时，△ADE面积最大，最大值为14；
（3）这个问题只涉及到A、E两点及直线x=-1（对称轴）
①当AE=AP时，以A为圆心，AE为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点．
∵AE= SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又AH=3，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
②当EA=EP时，以E点为圆心，EA为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点．
过点E作EM垂直对称轴于M点，则EM=1， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
③当PA=PE时，作AE的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P点．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得：m=1．
故 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，P点坐标为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．
三、中考真题演练
1．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
2．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求此二次函数的解析式；
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由（请在图 SKIPIF 1 < 0 中探索）．
3．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 、点 SKIPIF 1 < 0 ，交y轴于点C．

(1)求b，c的值．
(2)点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线上的动点
②过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴，交 SKIPIF 1 < 0 于点E，再过点P作 SKIPIF 1 < 0 轴，交抛物线于点F，连接 SKIPIF 1 < 0 ，问：是否存在点P，使 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴是直线 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
(2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形时，求出此三角形的边长；
5．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为抛物线上一动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)直接写出抛物线和直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)如图2，连接 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形时，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
6．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线交于B，C两点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
7．（2023·四川凉山·中考真题）如图，已知抛物线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．直线 SKIPIF 1 < 0 过抛物线的顶点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时，求 SKIPIF 1 < 0 的值和 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
②当 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形时，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
8．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 下方抛物线上一动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值及此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，点 SKIPIF 1 < 0 为点 SKIPIF 1 < 0 的对应点，平移后的抛物线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以 SKIPIF 1 < 0 为腰的 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形的点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，并把求其中一个点 SKIPIF 1 < 0 的坐标的过程写出来．
9．（2022·山东东营·中考真题）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
10．（2022·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
(1)求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
(3)若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．