[数学]北京市朝阳区2022-2023学年高一下学期期末质量检测试题（解析版）

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1. 计算（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】.
故选：C.
2. 已知，，若，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以是线段的中点，
所以点的坐标为，即，故点的坐标为.
故选：A.
3. 在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接，
在正方体中，因为，
所以四边形为平行四边形，所以，
又在正方形中，所以，
则异面直线与所成角的大小为.
故选：B.
4. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，则下列事件是对立事件的是（ ）
A. “都是白球”与“至少有一个白球”B. “恰有一个白球”与“都是红球”
C. “都是白球”与“都是红球”D. “至少有一个白球”与“都是红球”
【答案】D
【解析】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，
抽取小球的情况分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，
选项A， “至少有一个白球”包括（红，白），（白，白），故既不互斥也不对立，A错误；
选项B：“恰有一个白球”表示的是（红，白），与“都是红球”互斥但不对立，故B错误；
选项C：“都是白球”与“都是红球”互斥但不对立，故C错误；
选项D：“至少有一个白球”包括（红，白），（白，白），与“都红球”是对立事件，
故D正确.
故选：D．
5. 已知a，b是两条不重合的直线，为一个平面，且a⊥，则“b⊥”是“a//b”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当b⊥时，结合a⊥，可得a//b，充分性满足；
当a//b时，结合a⊥a，可得b⊥a，必要性满足.
故选：C.
6. 甲、乙两人射击，甲的命中率为0.6．乙的命中率为0.5，如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的概率为（ ）
A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.6
【答案】C
【解析】设“甲命中目标”为事件，“乙命中目标”为事件，
由题意可得，，且甲乙相互独立，
甲、乙两人中恰好有一人击中目标即为事件：，
.
故选：C.
7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】由图可知，函数的最小正周期为，
因为，则，所以，，
因为，可得，
因为，则，故，
因此，.
故选：B.
8. 已知数据、、、、的平均数为，方差为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，方差为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由已知可得，
，
加入新数据后，，
，
所以ABC错误，D正确.
故选：D.
9. 堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．则图2中的阳马与图1中的长方体的体积比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设阳马的体积为，长方体的体积为，
由图2可知，阳马是底面为矩形，高为的四棱锥，则，
长方体的体积为，因此，.
故选：B.
10. 设为平面四边形所在平面内的一点，，，，．若且，则平面四边形一定是（ ）
A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 梯形
【答案】C
【解析】因为，则，即，
即，所以，平面四边形为平行四边形，
因为，则，即，
因为，所以，，即，
即，即，即平行四边形的两条对角线长相等，
故平面四边形一定是矩形.
故选：C.
二、填空题. 共6小题，每小题5分，共30分．
11. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，复数对应的点为，则________．
【答案】
【解析】由题意可知.
故答案为：.
12. 某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人．教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为150，那么在高中生中抽取了________人．
【答案】30
【解析】高中生中抽取了人.
故答案为：30.
13. 在中，，，，则________；________．
【答案】
【解析】在中，，，，
由余弦定理可得，
因为，则，故.
故答案为： .
14. 把函数图象上的所有点向右平行移动个单位长度得到函数的图象，则的一个对称中心坐标为________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意可得，
令，，解得，，
所以的对称中心的横坐标为，，
所以的一个对称中心坐标为.
故答案为：（答案不唯一）.
15. 如图，在中，设，，的平分线和交于点，点在线段上，且满足，设，则______；当______时，.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
所以，所以，
在中，由正弦定理可得，可得，
在中，由正弦定理可得，可得，
因为为的角平分线，可知，
所以，
可得，所以，又，，
所以，
在中，，所以，所以，解得.
故答案为： .
16. 如图1，四棱锥是一个水平放置装有一定量水的密闭容器（容器材料厚度不计），底面为平行四边形，现将容器以棱为轴向左侧倾斜到图2的位置，这时水面恰好经过，其中、分别为棱、的中点，在倾斜过程中，给出以下四个结论：
①没有水的部分始终呈棱锥形；
②有水的部分始终呈棱柱形；
③棱始终与水面所在平面平行；
④水的体积与四棱锥体积之比为.
其中所有正确结论序号为________．
【答案】①③④
【解析】对于①，由棱锥的定义可知，在倾斜的过程中，没有水的部分始终呈棱锥形，①对；
对于②，由棱柱的定义可知，在倾斜的过程中，有水的部分的几何体不是棱柱，②错；
对于③，倾斜前，在图1中，棱与水面所在平面平行，
在倾斜的过程中，容器以棱为轴向左侧倾斜到图2的位置的过程中，
棱始终与水面所在平面平行，③对；
对于④，连接、、，设三棱锥的体积为，
则三棱锥的体积也为，
因为为的中点，则，所以，，
因为、分别为、的中点，所以，且，
所以，，所以，，
所以，没有水的部分的几何体的体积为，
所以，有水的部分的几何体的体积为，
因此，水的体积与四棱锥体积之比为，④对.
故答案为：①③④.
三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
解：（1）因为
，
所以，函数的最小正周期为.
（2）当时，，
故当时，函数取最大值，即，
当时，函数取最小值，即.
18. 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如图所示．两种养殖方法的箱产量相互独立．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）用频率估计概率，从运用新、旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两个网箱的箱产量都不低于的概率；
（3）假定新、旧网箱养殖方法的网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适？（直接写出结果）
解：（1）由，
所以.
（2）设事件分别表示：从运用旧、新网箱养殖方法的水产品中随机抽取一个网箱，
其箱产量不低于55kg，
用频率估计概率，则，
，
因为相互独立，所以，
所以估计两个网箱的箱产量都不低于的概率为.
（3）新养殖法.
旧养殖法的平均值估计为
，
新养殖法的平均值估计为
，
又，
所以该养殖场下一年应采用新养殖法更合适.
19. 在中，已知，．
（1）求证：；
（2）在①；②；③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值和的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：（1）由，根据正弦定理可得，
又因为，由余弦定理得：，
可得，即.
（2）若选①，
由，且，所以，解得，
所以，，
所以.
若选②，
根据，所以，，
因为，所以，解得，
所以.
若选③，
由（1）可得，，则，与，矛盾，
故不存在.
20. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，平面平面，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）设棱与平面交于点，求的值．
解：（1）平面平面，且两平面的交线为，
由于，，所以，平面，
故平面.
（2）证明：取中点，连，
，是的中点，
，，
由于平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
，平面，
平面平面，
平面，直线平面.
（3）作点满足，则，，，四点共面，
作的中点，则，所以，
所以四边形是平行四边形，则，又，
所以，即，，，四点共面，平面平面，
则与平面的交点必定在上，
所以与的交点即为与平面的交点，
所以，所以.
21. 设，已知由自然数组成的集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定义数表：，其中，设，令是，，…，中的最大值．
（1）若，，且，求，，及；
（2）若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求的最小值；
（3）若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3．
解：（1）根据和可得
，
故，.
（2）设，使得，
则，所以，
所以至少有3个元素个数相同的非空子集，
当时，，其非空子集只有自身，不符题意；
当时，，其非空子集只有，不符题意；
当时，，元素个数为1的非空子集有，
元素个数为2的非空子集有，
当时，，不符题意；
当时，，不符题意，
当时，，令，
则，，
所以的最小值为.
（3）由题可知，，记为集合中的元素个数，
则为数表第列之和，
因为是数表第行之和，
所以，
因为，所以，
所以，
当，
时，
，
，所以的最小值为.