江苏省苏州市草桥中学2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

这是一份江苏省苏州市草桥中学2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣6），则k的值为（ ）
A．﹣12B．12C．﹣3D．3
2．（3分）在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝2：3，AE＝4，则EC等于（ ）
A．10B．8C．9D．6
3．（3分）反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是（ ）
A．1B．2C．4D．
4．（3分）已知A（﹣1，y1）、B（2，y2）两点在双曲线y＝上，且y1＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0B．m＞0C．m＞D．m＜﹣
5．（3分）已知反比例函数y＝﹣的图象上有点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＞x2＞0＞x3，则关于y1，y2，y3大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y1＞y2
6．（3分）在同一坐标系中，函数y＝和y＝kx+1（k＞0）的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC上，连结DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015．若h1＝1，则h2015的值为（ ）
A．B．C．1﹣D．2﹣
二、填空题（每题3分）
9．（3分）如果，那么＝ ．
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA＝3：4，EF＝3，则CD的长为 ．
11．（3分）一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其余两边之和为 ．
12．（3分）反比例函数和一次函数y＝ax+b的图象的两个交点分别是A（﹣1，﹣4），B（2，m），则a+2b＝ ．
13．（3分）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC＝8，BC＝6，则AD＝ ．
14．（3分）已知矩形ABCD中，AD＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AB＝ ．
15．（3分）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是 ．
16．（3分）如图，在直角坐标系中有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于点D，双曲线y＝（x＞0）经过点D，交BC的延长线于点E，且OB•AC＝160，则点E的坐标为 ．
17．（3分）如图，在正方形ABCD和直角△CEF中，B、C、F三点共线，∠ECF＝90°，EC＝3，FC＝4，连接AE，AF，若∠EAF＝45°，则AB＝ ．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O．给出下列命题：
①∠AEB＝∠AEH；②DH＝2EH；③HO＝AE；④BC﹣BF＝EH
其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号）．
三、解答题
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长度．
20．（5分）如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠B，若AC＝2，AD＝1．
（1）求DB的长；
（2）求△ACD与△ABC的面积的比．
21．（7分）如图，正比例函数y＝﹣3x与反比例函数的图象交于A、B（1，m）两点，C点在x轴负半轴上，∠ACO＝45°．
（1）m＝ ，k＝ ，点C的坐标为 ；
（2）直接写出不等式的解集 ；
（3）点P在x轴上，若以B、O、P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．
22．（5分）如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝5．
（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
（2）连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（7分）为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．
（1）求证：＝．
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
25．（10分）如图所示，矩形ABCD，AB＝3cm，BC＝5cm，E为边AD上一点，ED＝1cm．点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，以P、Q、B为顶点的三角形和△ABE相似；
（2）设五边形PEDCQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）连接CE，取CE中点F，连接DF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ∥DF？若存在，请直接给出t的值（不必提供求解过程）；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分）
1．（3分）若反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣6），则k的值为（ ）
A．﹣12B．12C．﹣3D．3
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣6），
∴k的值为：2×（﹣6）＝﹣12．
故选：A．
2．（3分）在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝2：3，AE＝4，则EC等于（ ）
A．10B．8C．9D．6
【解答】解：∵DE∥BC，AD：DB＝2：3，
∴＝＝，
∵AE＝4，
∴＝，
解得：EC＝6，
故选：D．
3．（3分）反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是（ ）
A．1B．2C．4D．
【解答】解：由于点M是反比例函数y＝（k＞0）图象上一点，
则S△MOP＝|k|＝1，
又由于k＞0，则k＝2．
故选：B．
4．（3分）已知A（﹣1，y1）、B（2，y2）两点在双曲线y＝上，且y1＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0B．m＞0C．m＞D．m＜﹣
【解答】解：∵A（﹣1，y1）、B（2，y2）两点在双曲线y＝上，且y1＜y2，
∴2+3m＞0，解得m＞﹣．
故选：C．
5．（3分）已知反比例函数y＝﹣的图象上有点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＞x2＞0＞x3，则关于y1，y2，y3大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y1＞y2
【解答】解：如图：y3＞y1＞y2，
故选D．
6．（3分）在同一坐标系中，函数y＝和y＝kx+1（k＞0）的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：当k＞0时，函数y＝的图象在第一、三象限，函数y＝kx+1在第一、二、三象限，故选项C错误，选项A正确，
当k＜0时，函数y＝的图象在第二、四象限，函数y＝kx+1在第一、二、四象限，故选项D、B错误．
故选：A．
7．（3分）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC上，连结DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：作DH⊥BC于H，
在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AB＝，
∵将△ADE沿DE翻折得△DEF，
∴AD＝DF，∠A＝∠DFE，
∵FD平分∠EFB，
∴∠DFE＝∠DFH，
∴∠DFH＝∠A，
设DH＝3x，
在Rt△DHF中，sin∠DFH＝sin∠A＝，
∴DF＝5x，
∴BD＝5﹣5x，
∵△BDH∽△BAC，
∴，
∴，
∴x＝，
∴AD＝5x＝．
故选：D．
8．（3分）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015．若h1＝1，则h2015的值为（ ）
A．B．C．1﹣D．2﹣
【解答】解：连接AA1，
由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA＝DA1，
又∵D是AB中点，
∴DA＝DB，
∴DB＝DA1，
∴∠BA1D＝∠B，
∴∠ADA1＝2∠B，
又∵∠ADA1＝2∠ADE，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴AA1⊥BC，
∴AA1＝2，
∴h1＝2﹣1＝1，
同理，h2＝2﹣，h3＝2﹣＝2﹣，
…
∴经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn＝2﹣，
∴h2015＝2﹣，
故选：D．
二、填空题（每题3分）
9．（3分）如果，那么＝ ．
【解答】解：∵＝，
∴设x＝2k，y＝5k，
则＝＝＝．
故答案为：．
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA＝3：4，EF＝3，则CD的长为 7 ．
【解答】解：∵DE：EA＝3：4，
∴DE：DA＝3：7
∵EF∥AB，
∴，
∵EF＝3，
∴，
解得：AB＝7，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝7．
故答案为：7．
11．（3分）一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其余两边之和为 24 ．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，
∴相似比为7：21＝1：3，
∴设另外一个三角形的周长为x，则（3+5+7）：x＝1：3，
解得x＝45，
∴其余两边之和为45﹣21＝24．
故答案为24．
12．（3分）反比例函数和一次函数y＝ax+b的图象的两个交点分别是A（﹣1，﹣4），B（2，m），则a+2b＝ ﹣2 ．
【解答】解：把带A代入反比例函数得k＝4，
把点B代入反比例函数中得m＝2，
即点B为（2，2），
再把A，B代入一次函数中得2a+b＝2（1），
﹣a+b＝﹣4（2），
（1）+（2）得a+2b＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13．（3分）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC＝8，BC＝6，则AD＝ 6.4 ．
【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，
又∵在Rt△ABC中，AB＝＝＝10，
∴＝，AD＝6.4．
14．（3分）已知矩形ABCD中，AD＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AB＝ ．
【解答】解：由折叠的性质可知，AB＝AF，
∵矩形EFDC与矩形ABCD相似，
∴＝，即＝，
整理得，AF2+AF﹣1＝0，
∴AF＝，
由题意得，AB＝AF＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是 ．
【解答】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
∵△ABC的面积是6，
∴BC•AH＝6，
∴AH＝＝3，
设正方形DEFG的边长为x，则GF＝x，MH＝x，AM＝3﹣x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴＝，即＝，解得x＝，
即正方形DEFG的边长为．
故答案为．
16．（3分）如图，在直角坐标系中有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于点D，双曲线y＝（x＞0）经过点D，交BC的延长线于点E，且OB•AC＝160，则点E的坐标为 （4，8） ．
【解答】解：过点C作CF⊥x轴于点F，
∵OB•AC＝160，A点的坐标为（10，0），
∴OA•CF＝OB•AC＝×160＝80，菱形OABC的边长为10，
∴CF＝8，
在Rt△OCF中，
∵OC＝10，CF＝8，
∴OF＝＝＝6，
∴C（6，8），
∵点D是线段AC的中点，
∴D点坐标为（，），即（8，4），
∵双曲线y＝（x＞0）经过D点，
∴4＝，即k＝32，
∴双曲线的解析式为：y＝（x＞0），
∵CF＝8，
∴直线CB的解析式为y＝8，
∴，
解得：，
∴E点坐标为（4，8），
故答案为（4，8）．
17．（3分）如图，在正方形ABCD和直角△CEF中，B、C、F三点共线，∠ECF＝90°，EC＝3，FC＝4，连接AE，AF，若∠EAF＝45°，则AB＝ ．
【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB，∠ACD＝45°＝∠ACB，∠BCD＝90°，
∵∠ECF＝90°，∠BCD＝90°＝∠DCF，
∴∠BCE＝90°，
∴∠BCD+∠BCE＝180°，
∴点D，点C，点E三点共线，
∵∠ACD＝∠CAE+∠AEC＝45°，∠ACB＝∠CAF+∠AFC＝45°，∠EAF＝∠CAF+∠CAE＝45°，
∴∠CAF＝∠AEC，∠CAE＝∠AFC，
∴△ACF∽△EAC，
∴，
∴AC2＝EC•CF＝12，
∴AC＝2，
∴AB＝，
故答案为：．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O．给出下列命题：
①∠AEB＝∠AEH；②DH＝2EH；③HO＝AE；④BC﹣BF＝EH
其中正确命题的序号是 ①③ （填上所有正确命题的序号）．
【解答】解：在矩形ABCD中，AD＝BC＝AB＝CD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∵AH⊥DE，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AD＝AB，
∴AH＝AB＝CD，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE＝CD，
∴AD＝DE，
∴∠AED＝67.5°，
∴∠AEB＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠AEB，
故①正确；
设DH＝1，
则AH＝DH＝1，AD＝DE＝，
∴HE＝，
∴2HE＝≠1，
故②错误；
∵∠AEH＝67.5°，
∴∠EAH＝22.5°，
∵DH＝CD，∠EDC＝45°，
∴∠DHC＝67.5°，
∴∠OHA＝22.5°，
∴∠OAH＝∠OHA，
∴OA＝OH，
∴∠AEH＝∠OHE＝67.5°，
∴OH＝OE，
∴OH＝AE，
故③正确；
∵AH＝DH，CD＝CE，
在△AFH与△EHC中，
，
∴△AFH≌△EHC，
∴AF＝EH，
在△ABE与△AHE中，
，
∴△ABE≌△AHE，
∴BE＝EH，
∴BC﹣BF＝（BE+CE）﹣（AB﹣AF）＝（CD+EH）﹣（CD﹣EH）＝2EH，
故④错误，
故答案为：①③．
三、解答题
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长度．
【解答】证明：（1）∵∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，
∴∠C＝∠AED＝90°，
∴∠DEB＝∠C＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC；
（2）由勾股定理得，AB＝10．
由折叠的性质知，AE＝AC＝6，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°．
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
DE2+BE2＝BD2，
即CD2+42＝（8﹣CD）2，
解得：CD＝3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2＝AD2，
即32+62＝AD2，
解得：AD＝．
20．（5分）如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠B，若AC＝2，AD＝1．
（1）求DB的长；
（2）求△ACD与△ABC的面积的比．
【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
又∵AC＝2，AD＝1，
∴AB＝4，
∴DB＝AB﹣AD＝3；
（2）∵△ACD∽△ABC且＝，
∴△ACD与△ABC的面积的比为1：4．
21．（7分）如图，正比例函数y＝﹣3x与反比例函数的图象交于A、B（1，m）两点，C点在x轴负半轴上，∠ACO＝45°．
（1）m＝ ﹣3 ，k＝ ﹣3 ，点C的坐标为 （﹣4，0） ；
（2）直接写出不等式的解集 x＜﹣1或0＜x＜1 ；
（3）点P在x轴上，若以B、O、P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝﹣3x＝﹣3＝m，即点B（1，﹣3），
将点B的坐标代入反比例函数的表达式得：k＝﹣3×1＝﹣3，
即反比例函数的表达式为：y＝﹣，
根据正比例函数的对称性，点A（﹣1，3），
由点O、A的坐标得，OA＝，过点A作AH⊥x轴于点H，
由直线AB的表达式知，tan∠AOH＝3，
而∠ACO＝45°，
设AH＝3x＝CH，则OH＝x，则AO＝x＝，则x＝1，
则AH＝CH＝3，OH＝1，
则CO＝CH+OH＝4，
则点C的坐标为：（﹣4，0），
故答案为：﹣3，﹣3，（﹣4，0）；
（2）∵A（﹣1，3），B（1，﹣3），
∴的解集为：x＜﹣1或0＜x＜1；
故答案为：x＜﹣1或0＜x＜1；
（3）当点P在x轴的负半轴时，
∵∠BOP＞90°＞∠AOC，
又∵∠BOP＞∠ACO，∠BOP＞∠CAO，
∴△BOP和△AOC不可能相似；
当点P在x轴的正半轴时，∠AOC＝∠BOP，
若△AOC∽△BOP，则，
则OP＝OC＝4，
即点P（4，0）；
若△AOC∽△POB，则，
即，
解得：OP＝2.5，
即点P（2.5，0），
综上，点P的坐标为：（4，0）或（2.5，0）．
22．（5分）如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝5．
（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
（2）连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴A（1，6），B（6，1），
设反比例函数解析式为y＝，
将A（1，6）代入得：k＝6，
则反比例解析式为y＝；
（2）存在，
设E（x，0），则DE＝x﹣1，CE＝6﹣x，
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∴∠ADE＝∠BCE＝90°，
连接AE，BE，
则S△ABE＝S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE
＝（BC+AD）•DC﹣DE•AD﹣CE•BC
＝×（1+6）×5﹣（x﹣1）×6﹣（6﹣x）×1
＝﹣x＝5，
解得：x＝5，
则E（5，0）．
23．（7分）为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
【解答】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）为6＝8k1
∴k1＝
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为（k2＞0）代入（8，6）为6＝
∴k2＝48
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为（x＞8）
（2）结合实际，令中y≤1.6得x≥30
即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室．
（3）把y＝3代入，得：x＝4
把y＝3代入，得：x＝16
∵16﹣4＝12，12＞10，
所以这次消毒是有效的．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．
（1）求证：＝．
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠DEB，
∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠DEB，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴△BDE∽△CEF；
（2）∵△BDE∽△CEF，
∴＝，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴＝，
∵∠DEF＝∠B＝∠C，
∴△DEF∽△ECF，
∴∠DFE＝∠CFE，
∴FE平分∠DFC．
25．（10分）如图所示，矩形ABCD，AB＝3cm，BC＝5cm，E为边AD上一点，ED＝1cm．点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，以P、Q、B为顶点的三角形和△ABE相似；
（2）设五边形PEDCQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）连接CE，取CE中点F，连接DF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ∥DF？若存在，请直接给出t的值（不必提供求解过程）；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，AB＝CD＝3，AE＝4，BC＝5，DE＝1，∠AEB＝∠PBQ，
由勾股定理得，BE＝＝5，
∵BP＝t，QC＝t，
∴PE＝5﹣t，BQ＝5﹣t，
当∠BPQ＝90°时，
cs∠PBQ＝，
解得t＝，
当∠PBQ＝90°时，
cs∠PBQ＝，
解得t＝，
综上所述，当t＝或时，以P、Q、B为顶点的三角形和△ABE相似；
（2）S五边形PEDCQ＝S梯形BCDE﹣S△BPQ，
如图，作PH⊥BC于H，
则PH＝BP•sin∠PBQ＝t×，
BH＝BP，
∴，
S梯形BCDE＝，
∴S＝9﹣（﹣）＝；
（3）存在某一时刻，使得PQ∥DF，
如图，作PM⊥BC于M，
则PM＝，QM＝，
∵PM∥CD，PQ∥DF，
∴∠QPM＝∠CDF，
∵DF为Rt△DEC的中线，
∴DF＝FC，
∴∠CDF＝∠FCD，
∴tan∠QPM＝，
∴，
即＝，
∴t＝，
即存在某一时刻t，使PQ∥DF，t的值为．