高中物理重难点96讲专题46简谐运动(原卷版+解析)

这是一份高中物理重难点96讲专题46简谐运动(原卷版+解析)，共25页。

考点二 简谐运动的周期性与对称性
考点三 简谐运动的表达式和图像的理解和应用
考点四 单摆及其周期公式
考点五 受迫振动和共振
1．简谐运动概念：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线，这样的振动是简谐运动。
2．分析简谐运动问题紧抓住两个模型——弹簧振子和单摆，结合两种模型的振动情景分析求解．
考点一 简谐运动物理量的分析
1.简谐运动的物理量
1）位移：振动质点在某一时刻的位移指的是质点在该时刻相对平衡位置的位移．
2）回复力：F=-kx；回复力是使物体返回到平衡位置的力，回复力的方向时刻指向平衡位置。
3）振幅：振动质点离开平衡位置的最大距离；振幅越大，简谐运动能量越大。
4）周期：振动物体完成一次全振动所需要的时间。
5）频率：振动物体完成全振动的次数与所用时间之比。
6）相位：物理学中把(ωt＋φ)叫作相位，它代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态。
2.靠近平衡位置时，物体的a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
1.(2021·高考河北卷)如图，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，2 s后第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，2 s内经过的路程为0.4 m。该弹簧振子的周期为________s，振幅为________m。
2．把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，平衡位置为O，小球在A、B间振动，如图所示．下列结论正确的是( )
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球在O位置时系统的总能量大于小球在B位置时系统的总能量
3．(多选)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知水平轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的
B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供的
C．物体A与滑块B(整体看成一个振子)的回复力大小跟位移大小之比为k
D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为μ（M+m）gk
考点二 简谐运动的周期性与对称性
1.周期性：做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为eq \f(T,2)
2.对称性：(1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等
(2)物体由P到O所用的时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′
(3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO
(4)从平衡位置和最大位移之外的任意一点开始计时，经过半个周期，质点一定运动到关于平衡位置的对称点且运动方向相反.
3.对于周期性和对称性问题可以通过画运动过程示意图来辅助分析，也可以利用振动图象解决．
4．(多选)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点．t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则( )
A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为eq \f(2,3) s
B．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为eq \f(4,5) s
C．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
5．一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3 s质点第一次经过M点，如图所示，再继续运动，又经过4 s第二次经过M点，则再经过多长时间第三次经过M点( )
A．7 s B．14 s C．16 s D．103 s
6．下列说法中正确的是( )
A．若t1、t2两时刻振动物体在同一位置，则t2－t1＝T
B．若t1、t2两时刻振动物体在同一位置，且运动情况相同，则t2－t1＝T
C．若t1、t2两时刻振动物体的振动反向，则t2－t1＝eq \f(T,2)
D．若t2－t1＝eq \f(T,2)，则在t1、t2时刻振动物体的振动反向
7．如图所示，质量为m的物体放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的最大压力是物重的1.5倍，则物体对弹簧的最小压力是________．要使物体在振动中不离开弹簧，振幅不能超过________．(重力加速度为g)
考点三 简谐运动的表达式和图像的理解和应用
1．简谐运动的表达式
x＝Asin_(ωt＋φ0)，ωt＋φ0为相位，φ0为初相位，ω为圆频率，ω＝eq \f(2π,T).
2．简谐运动的振动图像表示做简谐运动的物体的位移随时间变化的规律，是一条正弦曲线．
甲：x＝Asin eq \f(2π,T)t
乙：x＝Asin (eq \f(2π,T)t＋eq \f(π,2))．
3.从图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)．
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移．
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定．
(4)某时刻质点的回复力方向：回复力总是指向平衡位置，回复力方向和位移方向相反．
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．
4．路程与振幅的关系
(1)振动物体在一个周期内的路程为四个振幅．
(2)振动物体在半个周期内的路程为两个振幅．
(3)振动物体在eq \f(1,4)个周期内的路程不一定等于一个振幅．
8.一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知( )
A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm B．质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C．0～3 s内，质点通过的路程为6 cm D．t＝3 s时，质点的振幅为零
9.(2022·北京西城区统测)用小球和轻弹簧组成弹簧振子，使其沿水平方向振动，振动图像如图所示，下列描述正确的是( )
A．1～2 s内，小球的速度逐渐减小，加速度逐渐增大
B．2～3 s内，弹簧的势能逐渐减小，弹簧弹力逐渐增大
C．t ＝4 s时，小球的动能达到最大值，弹簧的势能达到最小值
D．t ＝5 s时，弹簧弹力为正的最大值，小球的加速度为负的最大值
10．(多选)如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10πt＋\f(π,2))) cm。下列说法正确的是( )
A．M、N间距离为5 cm
B．振子的运动周期是0.2 s
C．t＝0时，振子位于N点
D．t＝0.05 s时，振子具有最大加速度
11.(2021·高考广东卷)如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T。经eq \f(T,8)时间，小球从最低点向上运动的距离________(选填“大于”“小于”或“等于”)eq \f(A,2)；在eq \f(T,4)时刻，小球的动能________(选填“最大”或“最小”)。
12.(2022·太原3月模拟)一质点沿x轴做简谐运动，其运动学方程为x＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)t＋φ)) cm。t＝0时，质点的位移为－10 cm；t＝0.5 s时，质点的位移为 5eq \r(2) cm。则质点振动的初相值为________，最大周期值为________。
13.如图所示，光滑直杆上弹簧连接的小球以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。以O点为原点，选择由O指向B为正方向，建立Ox坐标轴。小球经过B点时开始计时，经过0.5 s首次到达A点。则小球在第一个周期内的振动图像为 ( )
14．如图所示是某一质点做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是（ ）
A．质点振动的周期为
B．末质点受到的回复力改变方向
C．时与时质点速度相同
D．质点振动方程为
15．有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过eq \f(1,4)个周期振子有负向最大位移．
(1)求振子的振幅和周期；
(2)作出该振子的位移—时间图象；
(3)写出振子的振动方程．
16．一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程．
考点四 单摆及其周期公式
1．单摆模型
(1)单摆回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力。
(2)单摆的运动规律：摆角很小时，单摆的振动可近似视为简谐运动。
2．单摆的周期公式：T＝2πeq \r(\f(L,g))。
17.(2022·烟台5月适应性模拟)如图甲所示，细线下端悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。将摆线拉开一较小幅度，当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向以速度v匀速拖动木板，得到喷在木板上的墨汁图样如图乙所示。若测得木板长度为L，墨汁图样与木板边缘交点P、Q恰好是振动最大位置处，已知重力加速度为g，则该单摆的等效摆长为( )

A.eq \f(gv3,25π2L2) B.eq \f(gL2,25π2v2) C.eq \f(25gL2,16π2v2) D.eq \f(25gv2,16π2L2)
18.(多选)如图所示为同一地点的两个单摆甲、乙的振动图像，下列说法正确的是( )
A.甲、乙两单摆的摆长相等
B.甲摆的振幅比乙摆的大
C.甲摆的机械能比乙摆的大
D.在t＝0.5 s时有正向最大加速度的是乙摆
19.(2019·全国卷Ⅱ)如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方eq \f(3,4)l的O′处有一固定细铁钉．将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时．当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡．设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正．下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x－t关系的是( )
20.(2020·全国卷Ⅱ)用一个摆长为80.0 cm的单摆做实验，要求摆动的最大角度小于5°，则开始时将摆球拉离平衡位置的距离应不超过________cm(保留1位小数)。(提示：单摆被拉开小角度的情况下，所求的距离约等于摆球沿圆弧移动的路程。)
某同学想设计一个新单摆，要求新单摆摆动10个周期的时间与原单摆摆动11个周期的时间相等。新单摆的摆长应该取为________cm。
考点五 受迫振动和共振
1.受迫振动
系统在驱动力作用下的振动。做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)无关。做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
2.共振
(1)条件：驱动力的频率等于系统的固有频率。
(2)特征：振幅最大。
(3)共振曲线如下图
3.简谐运动、受迫振动、共振的比较
21.(多选)下列关于机械振动的有关说法正确的是( )
A.简谐运动的回复力是按效果命名的力
B.振动图像描述的是振动质点的轨迹
C.受迫振动的频率等于驱动力的频率
D.当驱动力的频率等于受迫振动系统的固有频率时，振幅最大
22.(2022·北京丰台区二模)如图所示，在一根张紧的水平绳上挂a、b、c、d四个摆，其中摆长关系为lcA．稳定后四个摆的周期大小TcB．稳定后四个摆的振幅一样大
C．稳定后a摆的振幅最大
D．d摆摆动过程中振幅保持不变
23.(多选)关于某物体受迫振动的共振曲线，下列判断正确的是( )
A.物体的固有频率等于f0
B.物体做受迫振动时的频率等于f0
C.物体做受迫振动时振幅相同则频率必相同
D.为避免共振发生应该让驱动力的频率远离f0
简谐运动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或
频率
由系统本身性质决定，即固有周期
T固或固有频率f固
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T固或f驱＝f固
振动能量
振动系统的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
专题46 简谐运动
考点一 简谐运动物理量的分析
考点二 简谐运动的周期性与对称性
考点三 简谐运动的表达式和图像的理解和应用
考点四 单摆及其周期公式
考点五 受迫振动和共振
1．简谐运动概念：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线，这样的振动是简谐运动。
2．分析简谐运动问题紧抓住两个模型——弹簧振子和单摆，结合两种模型的振动情景分析求解．
考点一 简谐运动物理量的分析
1.简谐运动的物理量
1）位移：振动质点在某一时刻的位移指的是质点在该时刻相对平衡位置的位移．
2）回复力：F=-kx；回复力是使物体返回到平衡位置的力，回复力的方向时刻指向平衡位置。
3）振幅：振动质点离开平衡位置的最大距离；振幅越大，简谐运动能量越大。
4）周期：振动物体完成一次全振动所需要的时间。
5）频率：振动物体完成全振动的次数与所用时间之比。
6）相位：物理学中把(ωt＋φ)叫作相位，它代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态。
2.靠近平衡位置时，物体的a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
1.(2021·高考河北卷)如图，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，2 s后第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，2 s内经过的路程为0.4 m。该弹簧振子的周期为________s，振幅为________m。
【答案】 4 0.2
【解析】根据简谐运动对称性可知，振子零时刻向右经过A点，2 s后第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，则A、B两点关于平衡位置对称，而振动经过了半个周期的运动，则周期为T＝2t＝4 s，从A到B经过了半个周期的振动，路程为s＝0.4 m，而一个完整的周期路程为0.8 m，为4个振幅的路程，有4A＝0.8 m，解得振幅为A＝0.2 m。
2．把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，平衡位置为O，小球在A、B间振动，如图所示．下列结论正确的是( )
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球在O位置时系统的总能量大于小球在B位置时系统的总能量
【答案】A
【解析】小球在平衡位置时动能最大，加速度为零，A正确；小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大，B错误；小球靠近平衡位置时，回复力做正功，远离平衡位置时，回复力做负功，C错误；在小球振动过程中系统的总能量不变，D错误．
3．(多选)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知水平轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的
B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供的
C．物体A与滑块B(整体看成一个振子)的回复力大小跟位移大小之比为k
D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为μ（M+m）gk
【答案】ACD
【解析】物体A做简谐运动时，回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的，故A正确；滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供的，故B错误；物体A与滑块B(整体看成一个振子)的回复力满足F＝－kx，则回复力大小跟位移大小之比为k，故C正确；当A、B之间的摩擦力达到最大静摩擦力时，其振幅最大，设为A，以整体为研究对象有：kA＝(M＋m)a，以物体A为研究对象，由牛顿第二定律得：μmg＝ma，联立解得A＝μ（M+m）gk，故D正确．
考点二 简谐运动的周期性与对称性
1.周期性：做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为eq \f(T,2)
2.对称性：(1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等
(2)物体由P到O所用的时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′
(3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO
(4)从平衡位置和最大位移之外的任意一点开始计时，经过半个周期，质点一定运动到关于平衡位置的对称点且运动方向相反.
3.对于周期性和对称性问题可以通过画运动过程示意图来辅助分析，也可以利用振动图象解决．
4．(多选)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点．t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则( )
A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为eq \f(2,3) s
B．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为eq \f(4,5) s
C．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
【答案】AD
【解析】若振幅为0.1 m， 则t＝eq \f(T,2)＋nT(n＝0,1,2，…)．
当n＝0时，T＝2 s；n＝1时，T＝eq \f(2,3) s；n＝2时， T＝eq \f(2,5) s. 故选项A正确，选项B错误．
若振幅为0.2 m，振动分两种情况讨论：
①振子振动如图甲所示，则振子由C点振动到D点用时至少为eq \f(T,2)，周期最大为2 s.
②振子振动如图乙中实线所示．
由x＝Asin(ωt＋φ)知 t＝0时，－eq \f(A,2)＝Asin φ，φ＝－eq \f(π,6)，即振子由C点振动到O点用时至少为eq \f(T,12)，由简谐运动的对称性可知，振子由C点振动到D点用时至少为eq \f(T,6)，则T最大为6 s；若由C点振动到O点用时1eq \f(1,12)T，振子由C点振动到D点用时eq \f(7,6)T，则T为eq \f(6,7) s.
若振子振动如图乙中虚线所示，振子由C点振动到D点用时至少为eq \f(T,2)，周期最大为2 s.
综上所述，选项C错误，D正确．
5．一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3 s质点第一次经过M点，如图所示，再继续运动，又经过4 s第二次经过M点，则再经过多长时间第三次经过M点( )
A．7 s B．14 s C．16 s D．103 s
【答案】C
【解析】由题意可知质点第一次经过M点的运动方向向右，简谐运动的周期T＝4×(3＋2) s＝20 s，则第三次经过M点的时间为t＝(20－4) s＝16 s，故C选项正确．
6．下列说法中正确的是( )
A．若t1、t2两时刻振动物体在同一位置，则t2－t1＝T
B．若t1、t2两时刻振动物体在同一位置，且运动情况相同，则t2－t1＝T
C．若t1、t2两时刻振动物体的振动反向，则t2－t1＝eq \f(T,2)
D．若t2－t1＝eq \f(T,2)，则在t1、t2时刻振动物体的振动反向
【答案】D
【解析】若t1、t2如图甲所示，则t2－t1≠T，故A错误；
如图乙所示，与t1时刻在同一位置且运动情况相同的时刻有t2、t2′…….故t2－t1＝nT(n＝1、2、3……)，故B错误；同理可判断C错误，D正确．
7．如图所示，质量为m的物体放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的最大压力是物重的1.5倍，则物体对弹簧的最小压力是________．要使物体在振动中不离开弹簧，振幅不能超过________．(重力加速度为g)
【答案】 eq \f(1,2)mg 2A
【解析】解析 由简谐运动的对称性知：
物体在最低点时：
F回＝1.5mg－mg＝ma①
在最高点：
F回＝mg－FN＝ma②
由①②两式联立解得FN＝eq \f(1,2)mg.
由以上可以得出振幅为A时最大回复力为0.5mg，所以有kA＝0.5mg③
欲使物体在振动中不离开弹簧，则最大回复力可为mg，所以有kA′＝mg④
由③④两式联立解得A′＝2A.
考点三 简谐运动的表达式和图像的理解和应用
1．简谐运动的表达式
x＝Asin_(ωt＋φ0)，ωt＋φ0为相位，φ0为初相位，ω为圆频率，ω＝eq \f(2π,T).
2．简谐运动的振动图像表示做简谐运动的物体的位移随时间变化的规律，是一条正弦曲线．
甲：x＝Asin eq \f(2π,T)t
乙：x＝Asin (eq \f(2π,T)t＋eq \f(π,2))．
3.从图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)．
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移．
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定．
(4)某时刻质点的回复力方向：回复力总是指向平衡位置，回复力方向和位移方向相反．
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．
4．路程与振幅的关系
(1)振动物体在一个周期内的路程为四个振幅．
(2)振动物体在半个周期内的路程为两个振幅．
(3)振动物体在eq \f(1,4)个周期内的路程不一定等于一个振幅．
8.一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知( )
A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm B．质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C．0～3 s内，质点通过的路程为6 cm D．t＝3 s时，质点的振幅为零
【答案】 C
【解析】由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，故A错误；质点在1 s即eq \f(1,4)个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，故B错误；t＝0时质点在正向最大位移处，0～3 s为eq \f(3,4)T，则质点通过的路程为3A＝6 cm，故C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，故D错误．
9.(2022·北京西城区统测)用小球和轻弹簧组成弹簧振子，使其沿水平方向振动，振动图像如图所示，下列描述正确的是( )
A．1～2 s内，小球的速度逐渐减小，加速度逐渐增大
B．2～3 s内，弹簧的势能逐渐减小，弹簧弹力逐渐增大
C．t ＝4 s时，小球的动能达到最大值，弹簧的势能达到最小值
D．t ＝5 s时，弹簧弹力为正的最大值，小球的加速度为负的最大值
【答案】 C
【解析】由题图可知，1～2 s内小球的位移减小，说明弹性势能转化为动能即速度增大，由a＝－eq \f(kx,m)可知，加速度减小，故A错误；由题图可知，2～3 s内小球的位移增大，说明动能转化为弹性势能即弹性势能增大，弹簧弹力逐渐增大，故B错误；由题图可知，t＝4 s时，小球位于平衡位置，此时动能最大，由能量守恒定律可知，弹簧的势能达到最小值，故C正确；t ＝5 s时，小球的位移正向最大，则弹簧弹力为负的最大值，小球的加速度为负的最大值，故D错误。
10．(多选)如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10πt＋\f(π,2))) cm。下列说法正确的是( )
A．M、N间距离为5 cm
B．振子的运动周期是0.2 s
C．t＝0时，振子位于N点
D．t＝0.05 s时，振子具有最大加速度
【答案】 BC
【解析】M、N间距离为2A＝10 cm，A错误；因ω＝10π rad/s 可知振子的运动周期是T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,10π) s＝0.2 s，B正确；由x＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10πt＋\f(π,2))) cm可知，t＝0时x＝5 cm，即振子位于N点，C正确；由x＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10πt＋\f(π,2))) cm可知，t＝0.05 s时x＝0，此时振子在O点，振子加速度为零，D错误。
11.(2021·高考广东卷)如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T。经eq \f(T,8)时间，小球从最低点向上运动的距离________(选填“大于”“小于”或“等于”)eq \f(A,2)；在eq \f(T,4)时刻，小球的动能________(选填“最大”或“最小”)。
【答案】 小于 最大
【解析】根据简谐振动的位移公式y＝－Acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)t))
则t＝eq \f(T,8)时有y＝－Acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)×\f(T,8)))＝－eq \f(\r(2),2)A，所以小球从最低点向上运动的距离为Δy＝A－eq \f(\r(2),2)A＝eq \f(2－\r(2),2)A在t＝eq \f(T,4)时，小球回到平衡位置，具有最大的振动速度，所以小球的动能最大。
12.(2022·太原3月模拟)一质点沿x轴做简谐运动，其运动学方程为x＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)t＋φ)) cm。t＝0时，质点的位移为－10 cm；t＝0.5 s时，质点的位移为 5eq \r(2) cm。则质点振动的初相值为________，最大周期值为________。
【答案】－eq \f(π,2) eq \f(4,3) s或eq \f(4,5) s
【解析】由质点的运动学方程x＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)t＋φ)) cm，代入t＝0时的位移为－10 cm，有－10＝10sin φ，解得初相为φ＝－eq \f(π,2)；由t＝0.5 s时质点的位移为5eq \r(2) cm，代入运动学方程有5eq \r(2)＝10sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)×0.5＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))))
解得eq \f(π,T)－eq \f(π,2)＝2kπ＋eq \f(π,4)或eq \f(π,T)－eq \f(π,2)＝2kπ＋eq \f(3π,4)(k＝0，1，2，3…)
当k＝0时，周期取最大，有Tmax＝eq \f(4,3) s或Tmax＝eq \f(4,5) s。综上，最大周期值为eq \f(4,3) s或eq \f(4,5) s。
13.如图所示，光滑直杆上弹簧连接的小球以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。以O点为原点，选择由O指向B为正方向，建立Ox坐标轴。小球经过B点时开始计时，经过0.5 s首次到达A点。则小球在第一个周期内的振动图像为 ( )
【答案】A
【解析】小球经过B点时开始计时，即t＝0时小球的位移为正向最大，经过0.5 s首次到达A点，位移为负向最大，且周期为T＝1 s。故A项图像正确。
14．如图所示是某一质点做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是（ ）
A．质点振动的周期为
B．末质点受到的回复力改变方向
C．时与时质点速度相同
D．质点振动方程为
【答案】D
【解析】
A．由图可知，质点振动的周期为，故A错误；
B．末前后质点受到的回复力都沿轴负方向，故B错误；
C．由 图象斜率表示速度可知，时与时质点速度大小相同，方向相反，故C错误；
D．由A选项可得 设质点振动方程为
时 代入数据解得 可得 故D正确。
15．有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过eq \f(1,4)个周期振子有负向最大位移．
(1)求振子的振幅和周期；
(2)作出该振子的位移—时间图象；
(3)写出振子的振动方程．
【答案】(1)A＝10 cm，T＝0.2 s.
(2)如图所示．
(3)x＝10sin (10πt＋π) cm.
【解析】(1)xBC＝20 cm，t＝2 s，n＝10，由题意可知：A＝eq \f(xBC,2)＝eq \f(20,2) cm＝10 cm，T＝eq \f(t,n)＝eq \f(2 s,10)＝0.2 s.
(2)由振子经过平衡位置开始计时经过eq \f(1,4)个周期振子有负向最大位移，可知位移－时间图象如图所示．
(3)由A＝10 cm，T＝0.2 s，ω＝eq \f(2π,T)＝10π rad/s，故振子的振动方程为x＝10sin (10πt＋π) cm.
16．一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程．
【答案】x＝0.08sin (πt＋eq \f(5π,6)) m
【解析】简谐运动振动方程的一般表达式为x＝Asin (ωt＋φ)．
根据题给条件有：A＝0.08 m，ω＝2πf＝π rad/s.所以x＝0.08sin (πt＋φ) m．将初始条件t＝0，x＝0.04 m代入解得初相φ＝eq \f(π,6)或φ＝eq \f(5π,6).
因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，所以取φ＝eq \f(5π,6).所求的振动方程为x＝0.08sin (πt＋eq \f(5π,6)) m．
考点四 单摆及其周期公式
1．单摆模型
(1)单摆回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力。
(2)单摆的运动规律：摆角很小时，单摆的振动可近似视为简谐运动。
2．单摆的周期公式：T＝2πeq \r(\f(L,g))。
17.(2022·烟台5月适应性模拟)如图甲所示，细线下端悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。将摆线拉开一较小幅度，当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向以速度v匀速拖动木板，得到喷在木板上的墨汁图样如图乙所示。若测得木板长度为L，墨汁图样与木板边缘交点P、Q恰好是振动最大位置处，已知重力加速度为g，则该单摆的等效摆长为( )

A.eq \f(gv3,25π2L2) B.eq \f(gL2,25π2v2) C.eq \f(25gL2,16π2v2) D.eq \f(25gv2,16π2L2)
【答案】B
【解析】由题图乙可知，该单摆恰好摆动了2.5个周期，故满足eq \f(5,2)T＝eq \f(L,v)，单摆周期公式为T＝2π eq \r(\f(L0,g))，联立解得该单摆的等效摆长为L0＝eq \f(gL2,25π2v2)，B正确。
18.(多选)如图所示为同一地点的两个单摆甲、乙的振动图像，下列说法正确的是( )
A.甲、乙两单摆的摆长相等
B.甲摆的振幅比乙摆的大
C.甲摆的机械能比乙摆的大
D.在t＝0.5 s时有正向最大加速度的是乙摆
【答案】ABD
【解析】由题图可知，两单摆的周期相同，同一地点重力加速度g相同，由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))得知，甲、乙两单摆的摆长相等，选项A正确；甲摆的振幅为10 cm，乙摆的振幅为7 cm，则甲摆的振幅比乙摆大，选项B正确；尽管甲摆的振幅比乙摆大，两摆的摆长相等，但由于两摆的质量未知，故无法比较机械能的大小，选项C错误；在t＝0.5 s时，甲摆经过平衡位置，振动的加速度为零，而乙摆的位移为负的最大，则乙摆具有正向最大加速度，选项D正确。
19.(2019·全国卷Ⅱ)如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方eq \f(3,4)l的O′处有一固定细铁钉．将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时．当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡．设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正．下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x－t关系的是( )
【答案】A
【解析】由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，小球在钉子右侧时的振动周期为在钉子左侧时振动周期的2倍，故B、D项错误；由机械能守恒定律可知，小球在左、右最大位移处距离最低点的高度相同，但由于摆长不同，所以小球在左、右两侧摆动时相对平衡位置的最大水平位移不同，当小球在钉子右侧摆动时，最大水平位移较大，故A项正确，C项错误．
20.(2020·全国卷Ⅱ)用一个摆长为80.0 cm的单摆做实验，要求摆动的最大角度小于5°，则开始时将摆球拉离平衡位置的距离应不超过________cm(保留1位小数)。(提示：单摆被拉开小角度的情况下，所求的距离约等于摆球沿圆弧移动的路程。)
某同学想设计一个新单摆，要求新单摆摆动10个周期的时间与原单摆摆动11个周期的时间相等。新单摆的摆长应该取为________cm。
【答案】6.9 96.8
【解析】由弧长公式可知l＝θR，又结合题意所求的距离近似等于弧长，则d＝eq \f(5°,360°)×2π×80.0 cm＝6.98 cm，结合题中保留1位小数和摆动最大角度小于5°可知不能填7.0，应填6.9；由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，单摆的周期与摆长的平方根成正比，即T∝eq \r(l)，又由题意可知旧单摆周期与新单摆周期的比为10∶11，则eq \f(10,11)＝eq \r(\f(80.0 cm,l′))，解得l′＝96.8 cm。
考点五 受迫振动和共振
1.受迫振动
系统在驱动力作用下的振动。做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)无关。做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
2.共振
(1)条件：驱动力的频率等于系统的固有频率。
(2)特征：振幅最大。
(3)共振曲线如下图
3.简谐运动、受迫振动、共振的比较
21.(多选)下列关于机械振动的有关说法正确的是( )
A.简谐运动的回复力是按效果命名的力
B.振动图像描述的是振动质点的轨迹
C.受迫振动的频率等于驱动力的频率
D.当驱动力的频率等于受迫振动系统的固有频率时，振幅最大
【答案】ACD
【解析】做简谐运动的物体所受到的回复力是按力的作用效果命名的，故选项A正确；振动图像描述的是振动质点在不同时刻的位移，而不是其实际的运动轨迹，故选项B错误；物体在周期性驱动力作用下做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，与固有频率无关，当驱动力的频率等于受迫振动系统的固有频率时，发生共振，振幅达到最大，故选项C、D正确。
22.(2022·北京丰台区二模)如图所示，在一根张紧的水平绳上挂a、b、c、d四个摆，其中摆长关系为lcA．稳定后四个摆的周期大小TcB．稳定后四个摆的振幅一样大
C．稳定后a摆的振幅最大
D．d摆摆动过程中振幅保持不变
【答案】C
【解析】让d先摆动起来后，其他各摆随后也跟着摆动起来做受迫振动，稳定后四个摆的周期均等于d摆的振动周期，A错误；由于a摆的摆长与d摆的摆长相等，二者的固有频率相同，二者发生共振，则稳定后a摆的振幅最大，B错误，C正确；d摆摆动过程中，有阻力做负功，由能量守恒定律可知，d摆的振幅变小，D错误。
23.(多选)关于某物体受迫振动的共振曲线，下列判断正确的是( )
A.物体的固有频率等于f0
B.物体做受迫振动时的频率等于f0
C.物体做受迫振动时振幅相同则频率必相同
D.为避免共振发生应该让驱动力的频率远离f0
【答案】AD
【解析】由图可知，物体的固有频率等于f0，选项A正确；物体做受迫振动时，只有当发生共振时频率才是f0，即物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率不一定等于f0，选项B错误；物体做受迫振动时振幅相同，频率不一定相同，选项C错误；根据产生共振的条件可知，为避免共振发生应该让驱动力的频率远离f0，选项D正确。简谐运动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或
频率
由系统本身性质决定，即固有周期
T固或固有频率f固
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T固或f驱＝f固
振动能量
振动系统的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大