高中物理重难点96讲专题06追击相遇问题(原卷版+解析)

这是一份高中物理重难点96讲专题06追击相遇问题(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了抓住一个条件、两个关系，解题思路，最常用的位移关系，8 s D，现有一辆摩托车先由静止开始以2，甲、乙两个小朋友玩跑步游戏等内容，欢迎下载使用。

1.抓住一个条件、两个关系
(1)一个临界条件：速度相等．速度相等往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．
2.解题思路：
(1)确定物体的初始位置关系、运动的时间关系，分析物体的运动过程如物体做什么运动。
(2)画运动示意图，标出已知量待求量。
(3)找两物体位移关系，列位移方程。
(4)解出结果,必要时要进行讨论。
3.要关注题目中的关键词，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，这时往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。
4.最常用的位移关系：如图假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，A追上B或恰好不相撞时，必有xA－xB＝x0.
考点一 求解两者的最大（小）距离
通过速度关系判断两物体间的距离变化：
(1)v后(2)v后＝v前，两物体间距离Δx不变(最大或最小)；
(3)v后>v前，两物体间距离Δx减小．
速度相等往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，当两物体速度相等时距离出现极值。
1.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以v＝6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
1.【答案】2 s 6 m
【解析】
解法一 分析法 汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t1，两车间的距离为Δx，则有v自＝at1
所以t1＝eq \f(v自,a)＝2 s；Δx＝v自t1－eq \f(1,2)ateq \\al(2,1)＝6 m
解法二 极值法 设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车相距最远，则Δx＝v自t1－eq \f(1,2)ateq \\al(2,1)；代入已知数据得Δx＝6t1－eq \f(3,2)teq \\al(2,1)
由二次函数求极值的条件知：t1＝2 s时，Δx有最大值6 m。
所以经过t1＝2 s后，两车相距最远，为Δx＝6 m。
解法三 图象法 自行车和汽车的v－t图象如图所示。由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有
t1＝eq \f(v1,a)＝eq \f(6,3) s＝2 s；Δx＝eq \f(v1t1,2)＝eq \f(6×2,2) m＝6 m。
考点二 被追赶的物体做匀减速直线运动
1.若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动。
2.追上前该物体是否已经停止运动的判断方法：分析该物体停止运动时两者的位移关系，根据位移关系得到结果。
2.如图所示，在某次车模比赛中，可看成质点的甲、乙两汽车模型在同一直线上运动，相距s=8 m，车模甲以v甲=5 m/s的速度向右匀速运动，已关闭电源的车模乙此时的速度v乙=12 m/s，向右做匀减速运动，加速度a=-2 m/s2，那么车模甲追上车模乙所用的时间为（ ）
A. B. 8 s C. 8.8 s D.
3.汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，在其前方相距x0＝7 m处以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始刹车做匀减速直线运动，加速度大小a＝2 m/s2。从此刻开始计时。求：
(1)A追上B前，A、B间的最远距离是多少？
(2)经过多长时间A才能追上B?
4．在平直公路上运动的汽车经过某位置时，从一辆同向匀速运动的自行车旁经过。以该位置为原点，自行车和汽车位移随时间的变化关系是（均为国际单位）：自行车x1＝6t，汽车x2＝10t﹣14t2．
求：（1）经过多长时间自行车能追上汽车？
（2）自行车追上汽车时，汽车速度多大？
（3）自行车追上汽车前，二者间最大距离是多少？
考点三 做匀加速运动的物体有最大速度
做匀加速运动的物体有最大速度时要注意根据位移关系判断达到最大速度之前两者能否相遇。
5.现有一辆摩托车先由静止开始以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动,后以最大行驶速度25 m/s匀速行驶,追赶前方以15 m/s的速度同向匀速行驶的卡车.已知摩托车开始运动时与卡车的距离为200 m,则:
(1)追上卡车前二者相隔的最大距离是多少?
(2)摩托车经过多长时间才能追上卡车?
6.一辆汽车以v0＝20m/s速率在某市郊区超速行驶。当这辆违章车驶过某一警车时，警车立即从静止开始以a=2.5m/s2的加速度追击。假如两车都做直线运动，警车的最高限速为vmax＝30m/s。问
⑴作出两车运动的示意图
⑵警车何时能够截获这辆违章车？
⑶警车在追击过程中，离违章车的最远距离是多少？
7.甲、乙两个小朋友玩跑步游戏。甲从静止开始起跑，经过s1=5 m距离能加速到最大速度v1=2.5 m/s，并能维持一段较长时间。乙从静止开始起跑，经过s2=6 m的距离能加速到最大速度v2=3 m/s，以后只能维持这个速度4.0 s。设乙距离甲x时开始追击，而甲在乙开始跑后1.0 s后才开始起跑，假定甲、乙在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，求：
（1）甲、乙的加速度大小以及加速时间；
（2）乙要在自己匀速阶段追上甲，x值应在什么范围？
考点四 后面的物体做减速运动
1.后面的物体做减速运动时，有追不上、恰好追上、相撞或相遇多次等多种可能。
2.要使两物体恰不相撞，则两物体到达同一位置时速度恰好相等。
8.汽车正以10 m/s的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭发动机做加速度大小为6 m/s2的匀减速运动，汽车恰好没碰上自行车，求关闭发动机时汽车离自行车多远？
9.在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。
10.火车A以=20 m/s的速度匀速直线行驶，司机发现前方同轨道上相距100 m处有另一列火车B正以=10 m/s的速度匀速行驶，车A立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，加速度a应满足什么条件？

11.乙两辆车在同一直轨道上向右匀速行驶,甲车的速度为v1=16 m/s,乙车的速度为v2=12 m/s,乙车在甲车的前面。当两车相距L=6 m时,两车同时开始刹车,从此时开始计时,甲车以大小为a1=2 m/s2的加速度刹车,6 s后立即改做匀速运动,乙车刹车的加速度大小为a2=1 m/s2。求:
(1)从两车开始刹车时开始计时,甲车第一次追上乙车的时间;
(2)两车相遇的次数;
(3)两车速度相等的时间。
考点五 追击相遇与图像问题结合
两者初始距离已知时可由v－t图线与横轴包围的面积判断相距最远、最近及相遇等情况.用x-t图像求解时,如果两物体的位移图像相交,则说明两物体相遇.
12．（2022·四川·石室中学高三模拟）(多选)在同一条平直公路上行驶的a车和b车，其速度一时间图像分别为图中直线a和曲线b，已知t=0时刻a车与b车在同一位置，t2时刻a车在b车前方，由图可知（ ）
A．a车与b车不可能相遇B．在t2时刻b车的运动方向发生改变
C．t1到t2时间内两车之间的距离越来越小D．在0~t3时间内，t1时刻两车相距最远
13．（2022·福建·三明一中模拟）(多选)甲、乙两车在平直的公路上同时从同一地点同向行驶，两车的速度v随时间t的变化关系如图所示，其中两阴影部分的面积相等（S1=S2），则（ ）
A．甲、乙两车均做直线运动
B．在0~t2时间内，甲、乙两车相遇两次
C．在0~t2时间内，甲的加速度先减小后增大
D．在0~t2时间内（不包括t2时刻），甲车一直在乙车前面
14．(多选)甲、乙两车（视为质点）在一平直公路上沿同一方向做直线运动，t=20s时相遇，它们运动的速度—时间（v−t）图像如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．乙车启动10s后正好追上甲车
B．t=10s时，两车相距最远
C．0~20s时间内，甲、乙两车的最大距离为75m
D．甲车启动时，乙车在其前方50m处
15．(2022·安徽高三模拟)甲、乙两个质点沿同一直线运动，其中质点甲以3m/s的速度做匀速直线运动，质点乙做初速度为零的匀变速直线运动，它们的位置x随时间t的变化如图所示。已知t=3s时，甲、乙图线的斜率相等。下列判断正确的是（ ）
A．最初的一段时间内，甲、乙的运动方向相反
B．t=3s时，乙的位置坐标为−15.5m
C．t=10s时，两车相遇
D．乙经过原点的速度大小为45m/s
16．在平直公路上行驶的a车和b车，其位移-时间图像分别为图中直线a和曲线b，已知b车的加速度恒定且a=−2m/s2，t=3s时直线a和曲线b刚好相切。下列说法正确的是（ ）
A．a车的速度大小为83m/sB．t=0时，a车和b车的距离为7m
C．t=2s时，a车在b车前方1m处D．0-2s内，b车比a车多行驶6m
17．(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲车由静止出发做匀加速运动，乙车做匀速运动，其各自的位置x随时间t的变化情况如图所示，并且两条图线相切点对应位置为x0，对应时刻为2t0，则（ ）
A．在t0时刻，甲车的速度大小为x0t0
B．在2t0时刻，乙车的速度大小为x02t0
C．在0～2t0时间内，乙车平均速度是甲车平均速度的两倍
D．甲、乙两车出发后，只能相遇一次
考点六 其他相遇问题
18．小球A从离地面20m高处做自由落体运动,小球B从A正下方的地面上以20 m/s的初速度做竖直上抛运动．两球同时开始运动,在空中相遇,g取10 m/s2,则下列说法正确的是( )
A．两球相遇时速度都是10 m/s，方向竖直向下
B．两球相遇位置离地面高度为15 m
C．开始运动1.5 s时相遇
D．两球在空中相遇两次
19．物理实验小组看了书本上借助传感器用计算机测速度的内容后，改进后用来测加速度，图甲为工作示意图，P为信号发射器，可同时发射红外线和超声波，且可接受从小车返回的信号。一带接收器的小车静止在信号发射器右侧某位置。某时刻P同时发射红外线脉冲与超声波脉冲，小车接收到红外线后从静止开始匀加速运动，当小车接收到超声波后立即改为匀速运动。当P接收到返回的超声波后，立即再次发出超声波脉冲，图乙为两次发出的超声波脉冲的位移时间图像，已知t1=0.1s，t2=5.919s，超声波的速度为340m/s，红外线传播时间可以忽略，可以认为发出超声波的时刻小车启动。求：
(1)小车匀加速运动的加速度大小；
(2)小车静止时与信号发射器的距离。
20．如图所示固定的B盒是超声波发射和接收器，t1=0时刻发出一列短暂的超声波，t2=0.3s时接收到被匀速行驶的小车反射回来的此列超声波，t3=1s时再发出一列短暂的超声波，t4=1.4s时接收到被小车反射回来的此列超声波，已知超声波在空气中的速度为340m/s，则t5=2s时再发出一列短暂的超声波，需经多长时间才能收到被小车反射回来的此列超声波？
专题06 追及与相遇问题
1.抓住一个条件、两个关系
(1)一个临界条件：速度相等．速度相等往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．
2.解题思路：
(1)确定物体的初始位置关系、运动的时间关系，分析物体的运动过程如物体做什么运动。
(2)画运动示意图，标出已知量待求量。
(3)找两物体位移关系，列位移方程。
(4)解出结果,必要时要进行讨论。
3.要关注题目中的关键词，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，这时往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。
4.最常用的位移关系：如图假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，A追上B或恰好不相撞时，必有xA－xB＝x0.
考点一 求解两者的最大（小）距离
通过速度关系判断两物体间的距离变化：
(1)v后(2)v后＝v前，两物体间距离Δx不变(最大或最小)；
(3)v后>v前，两物体间距离Δx减小．
速度相等往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，当两物体速度相等时距离出现极值。
1.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以v＝6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
【答案】2 s 6 m
【解析】
解法一 分析法 汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t1，两车间的距离为Δx，则有v自＝at1
所以t1＝eq \f(v自,a)＝2 s；Δx＝v自t1－eq \f(1,2)ateq \\al(2,1)＝6 m
解法二 极值法 设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车相距最远，则Δx＝v自t1－eq \f(1,2)ateq \\al(2,1)；代入已知数据得Δx＝6t1－eq \f(3,2)teq \\al(2,1)
由二次函数求极值的条件知：t1＝2 s时，Δx有最大值6 m。
所以经过t1＝2 s后，两车相距最远，为Δx＝6 m。
解法三 图象法 自行车和汽车的v－t图象如图所示。由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有
t1＝eq \f(v1,a)＝eq \f(6,3) s＝2 s；Δx＝eq \f(v1t1,2)＝eq \f(6×2,2) m＝6 m。
考点二 被追赶的物体做匀减速直线运动
1.若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动。
2.追上前该物体是否已经停止运动的判断方法：分析该物体停止运动时两者的位移关系，根据位移关系得到结果。
2.如图所示，在某次车模比赛中，可看成质点的甲、乙两汽车模型在同一直线上运动，相距s=8 m，车模甲以v甲=5 m/s的速度向右匀速运动，已关闭电源的车模乙此时的速度v乙=12 m/s，向右做匀减速运动，加速度a=-2 m/s2，那么车模甲追上车模乙所用的时间为（ ）
A. B. 8 s C. 8.8 s D.
【答案】C
【解析】
车模乙速度减为0的时间t1===6 s，此时车模乙的位移x乙===36 m，车模甲的位移x甲=v甲t1=5×6 m=30 m，由于x甲3.汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，在其前方相距x0＝7 m处以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始刹车做匀减速直线运动，加速度大小a＝2 m/s2。从此刻开始计时。求：
(1)A追上B前，A、B间的最远距离是多少？
(2)经过多长时间A才能追上B?
【答案】(1)16 m (2)8 s
【解析】
(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即vB－at＝vA，解得t＝3 s
汽车A的位移xA＝vAt＝12 m；汽车B的位移xB＝vBt－eq \f(1,2)at2＝21 m
故最远距离Δxm＝xB＋x0－xA＝16 m；
(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1＝eq \f(vB,a)＝5 s
运动的位移xB′＝eq \f(veq \\al(2,B),2a)＝25 m；汽车A在t1时间内运动的位移
xA′＝vAt1＝20 m；此时相距Δx＝xB′＋x0－xA′＝12 m
汽车A需再运动的时间；t2＝eq \f(Δx,vA)＝3 s
故A追上B所用时间t＝t1＋t2＝8 s；
4．在平直公路上运动的汽车经过某位置时，从一辆同向匀速运动的自行车旁经过。以该位置为原点，自行车和汽车位移随时间的变化关系是（均为国际单位）：自行车x1＝6t，汽车x2＝10t﹣14t2．
求：（1）经过多长时间自行车能追上汽车？
（2）自行车追上汽车时，汽车速度多大？
（3）自行车追上汽车前，二者间最大距离是多少？
【答案】（1）16s （2）2 m/s（3）16m
【解析】由题意知，自行车匀速运动的速度v自＝6m/s，汽车做匀减速运动，
其初速度v0＝10m/s，加速度大小a＝0.5m/s2
自行车能追上汽车时，两者在同样的时间t内通过的位移相等。即：6t＝10t﹣14t2
代入数据解得：t＝16s
设汽车经过汽车t0时间停止，根据运动学公式：vt＝v0+at，
即：0＝10m/s+（﹣0.5m/s2）t0，
解得：t0＝20s
因为t＜t0 ，所以经过16s自行车追上汽车
（2）根据运动学公式，自行车追上汽车时，
汽车速度v＝v0+at＝10m/s+（﹣0.5m/s2）×16s＝2 m/s
（3）经分析，自行车追上汽车前，当汽车速度等于自行车时，
二者速度相等：v0+at'＝v自
即：10m/s+（﹣0.5m/s2） t'＝6m/s
解得：t'＝8s
此时，二者相距：△x＝x2﹣x1＝10t'−t'24−6t
代入数据解得：△x=16m
考点三 做匀加速运动的物体有最大速度
做匀加速运动的物体有最大速度时要注意根据位移关系判断达到最大速度之前两者能否相遇。
5.现有一辆摩托车先由静止开始以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动,后以最大行驶速度25 m/s匀速行驶,追赶前方以15 m/s的速度同向匀速行驶的卡车.已知摩托车开始运动时与卡车的距离为200 m,则:
(1)追上卡车前二者相隔的最大距离是多少?
(2)摩托车经过多长时间才能追上卡车?
【答案】(1)245 m (2)32.5 s
【解析】(1)摩托车匀加速运动的最长时间t1=vma=10 s
此过程的位移x1=vm22a=125 m所以摩托车在达到最大速度之前没有追上卡车.
在追上卡车前当二者速度相等时间距最大,设从开始经过t2时间速度相等,最大间距为xm,则v=at2
解得t2=va=6 s
最大间距xm=(x0+vt2)-12at22=245 m
(2)设从开始经过t时间摩托车追上卡车,有
vm22a+vm(t-t1)=x0+vt
解得t=32.5 s.
6.一辆汽车以v0＝20m/s速率在某市郊区超速行驶。当这辆违章车驶过某一警车时，警车立即从静止开始以a=2.5m/s2的加速度追击。假如两车都做直线运动，警车的最高限速为vmax＝30m/s。问
⑴作出两车运动的示意图
⑵警车何时能够截获这辆违章车？
⑶警车在追击过程中，离违章车的最远距离是多少？
【答案】（1）如图 （2）18s （3）80m
【解析】（1）作出两车的速度图象如图所示：
（2）设加速时间为t加，经t时间警车可以追上违章车。则t加=vmaxa=3025s=12s
警车追上违章车时，有 v0t=t+t加+tvmax2
代入数据可得：t=18s
（3）当警车速度和违章车速度相等时距离最大，此时两车运动时间为t0=v0a=202.5s=8s
警车离违章车的最远距离等于图中阴影部分的面积Δsmax=12v0t0=12×8×20m=80m
7.甲、乙两个小朋友玩跑步游戏。甲从静止开始起跑，经过s1=5 m距离能加速到最大速度v1=2.5 m/s，并能维持一段较长时间。乙从静止开始起跑，经过s2=6 m的距离能加速到最大速度v2=3 m/s，以后只能维持这个速度4.0 s。设乙距离甲x时开始追击，而甲在乙开始跑后1.0 s后才开始起跑，假定甲、乙在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，求：
（1）甲、乙的加速度大小以及加速时间；
（2）乙要在自己匀速阶段追上甲，x值应在什么范围？
【答案】（1）0.625 m/s2 4 s 0.75 m/s2 4 s（2）3.187 5 m≤x≤5.5 m
【解析】（1）根据2a1s1=，得到甲的加速度大小为a1=0.625 m/s2；根据2a2s2=，得到乙的加速度大小为a2=0.75 m/s2；根据v1=a1t1，得甲的加速时间为t1=4 s；根据v2=a2t2，得乙的加速时间为t2=4 s。
（2）若要求乙要在自己匀速阶段追上甲，则乙的运动时间为4~8 s，
①若乙运动的时间为4 s，则乙在前4 s内刚好加速到最大速度，所以位移为s2=6 m，而此时甲匀加速运动了3 s，则==2.812 5 m。x=s2-=3.187 5 m。
②若乙运动时间为8 s，则乙在4 s到8 s内一直匀速运动，所以位移为=v2t′=12 m，乙运动的总位移s乙=s2+=18 m；而甲先匀加速运动了4 s，运动位移s1=5 m，又匀速运动了3 s，位移=v1t=7.5 m，甲运动总位移s甲=s1+=12.5 m；x=s乙-s甲=5.5 m。
所以，3.187 5 m≤x≤5.5 m。
考点四 后面的物体做减速运动
1.后面的物体做减速运动时，有追不上、恰好追上、相撞或相遇多次等多种可能。
2.要使两物体恰不相撞，则两物体到达同一位置时速度恰好相等。
8.汽车正以10 m/s的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭发动机做加速度大小为6 m/s2的匀减速运动，汽车恰好没碰上自行车，求关闭发动机时汽车离自行车多远？
【答案】3 m
【解析】如图所示，
当汽车的速度减到4 m/s时x汽== m=7 m，
t== s=1 s，
这段时间内自行车行驶的位移x自=v自t=4 m，二者距离Δx=x汽-x自=3 m。
9.在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。
【答案】v0＜eq \r(6as)
【解析】如图所示，解析：要使两车不相撞，A车追上B车时其速度只能与B车相等。设A、B两车从相距s到A车追上B车时，A车的位移为sA、末速度为vA、所用时间为t，B车的位移为sB、末速度为vB，两者的运动过程如图所示。
解一：情景分析法
利用位移公式、速度公式求解
对A车有sA＝v0t＋eq \f(1,2)×(－2a)×t2
vA＝v0＋(－2a)×t
对B车有sB＝eq \f(1,2)at2，vB＝at
对两车有s＝sA－sB
追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB
联立以上各式解得v0＝eq \r(6as)
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0＜eq \r(6as)。
解二：函数判断法
利用判别式求解，由法一可知
sA＝s＋sB，即v0t＋eq \f(1,2)×(－2a)×t2＝s＋eq \f(1,2)at2
整理得3at2－2v0t＋2s＝0
这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v0)2－4×3a×2s＜0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0＜eq \r(6as)。
解三：图像分析法
利用速度—时间图像求解，先作A、B两车的速度—时间图像，其图像如图所示，设经过t′时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v′＝v0－2at′
对B车有vB＝v′＝at′
以上两式联立解得t′＝eq \f(v0,3a)
经t′时间两车发生的位移大小之差，即原来两车间的距离s
它可用图中的阴影面积表示，由图像可知
s＝eq \f(1,2)v0·t′＝eq \f(1,2)v0·eq \f(v0,3a)＝eq \f(v02,6a)
所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0＜eq \r(6as)。
10.火车A以=20 m/s的速度匀速直线行驶，司机发现前方同轨道上相距100 m处有另一列火车B正以=10 m/s的速度匀速行驶，车A立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，加速度a应满足什么条件？
【答案】a≥0.5 m/s2
【解析】由A、B速度关系：，
由A、B位移关系：，
解得：a=0.5 ，
则当a≥0.5 m/s2 时不相撞。
11.乙两辆车在同一直轨道上向右匀速行驶,甲车的速度为v1=16 m/s,乙车的速度为v2=12 m/s,乙车在甲车的前面。当两车相距L=6 m时,两车同时开始刹车,从此时开始计时,甲车以大小为a1=2 m/s2的加速度刹车,6 s后立即改做匀速运动,乙车刹车的加速度大小为a2=1 m/s2。求:
(1)从两车开始刹车时开始计时,甲车第一次追上乙车的时间;
(2)两车相遇的次数;
(3)两车速度相等的时间。
【答案】(1)2s (2)3次(3)8 s
【解析】
(1)在甲减速时,设经时间t相遇,甲和乙的加速度大小分别为a1、a2,位移分别为x1、x2,则有x1=v1t-a1t2,x2=v2t-a2t2,x1=x2+L 联立解得t1=2 s,t2=6 s
即在甲车减速时,相遇两次,第一次相遇的时间为t1=2 s
(2)当t2=6 s时,甲车的速度为v1'=v1-a1t2=4 m/s,乙车的速度为v2'=v2-a2t2=6 m/s,甲车的速度小于乙车的速度,但乙车做减速运动,设再经Δt甲追上乙,有:v1'Δt=v2'Δt-a2(Δt)2
解得Δt=4 s此时乙仍在做减速运动,此解成立。
综合以上分析可知,甲、乙两车共相遇3次
(3)第一次速度相等的时间为t3,
v1-a1t3=v2-a2t3,解得t3=4 s
甲车匀速运动的速度为4 m/s,第二次速度相等的时间为t4,有v1'=v2-a2t4,解得t4=8 s
考点五 追击相遇与图像问题结合
两者初始距离已知时可由v－t图线与横轴包围的面积判断相距最远、最近及相遇等情况.用x-t图像求解时,如果两物体的位移图像相交,则说明两物体相遇.
12．（2022·四川·石室中学高三模拟）(多选)在同一条平直公路上行驶的a车和b车，其速度一时间图像分别为图中直线a和曲线b，已知t=0时刻a车与b车在同一位置，t2时刻a车在b车前方，由图可知（ ）
A．a车与b车不可能相遇B．在t2时刻b车的运动方向发生改变
C．t1到t2时间内两车之间的距离越来越小D．在0~t3时间内，t1时刻两车相距最远
【答案】AC
【解析】
A. t=0时刻a车与b车在同一位置，t2时刻a车在b车前方，而t2时刻两车的速度相等，之后a车的速度比b车的大，所以两车不可能相遇，故A正确；
B. 由图可知，b车的速度一直沿正方向，说明b车的运动方向没有发生变化，故B错误；
CD. t=0时刻a车与b车在同一位置，在0~t1时间内，a车的速度大于b车的速度，两者间距增大，在t1到t2时间内，a车的速度小于b车的速度，两车之间的距离不断减小，t2时刻之后a车的速度比b车的大，两车间距不断增大，所以不能确定何时两车间距最远，故C正确，D错误。
13．（2022·福建·三明一中模拟）(多选)甲、乙两车在平直的公路上同时从同一地点同向行驶，两车的速度v随时间t的变化关系如图所示，其中两阴影部分的面积相等（S1=S2），则（ ）
A．甲、乙两车均做直线运动
B．在0~t2时间内，甲、乙两车相遇两次
C．在0~t2时间内，甲的加速度先减小后增大
D．在0~t2时间内（不包括t2时刻），甲车一直在乙车前面
【答案】AD
【解析】
A．甲、乙两车均做直线运动，A正确；
B．从图像可知，在0～t2时间内，甲、乙两车图线与t轴所包围的“面积”相等，即辆车的位移相等，所以t2时刻，甲、乙两车相遇且只相遇一次。B错误；
C．在0~t2时间内，甲车v-t图线斜率不断增大，所以其加速度不断增大， C错误；
D．在0~t2时间内（不包括t2时刻），甲车图线与t轴所包围的“面积”大于乙车图线与t轴所包围的“面积”，即甲车的位移大于乙车的位移，且甲、乙两车在平直的公路上同时从同一地点出发，所以甲车一直在乙车前面， D正确。
14．(多选)甲、乙两车（视为质点）在一平直公路上沿同一方向做直线运动，t=20s时相遇，它们运动的速度—时间（v−t）图像如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．乙车启动10s后正好追上甲车
B．t=10s时，两车相距最远
C．0~20s时间内，甲、乙两车的最大距离为75m
D．甲车启动时，乙车在其前方50m处
【答案】AD
【解析】
A．由图知在t=10s时乙车启动，由题意知t=20s时甲乙两车相遇，所以乙车启动10s后正好追上甲车，故A正确；
B．根据v−t图像与时间轴包围的面积表示位移，可知10s∼20s内，甲、乙两车通过的位移相等，因20s时相遇，则乙车启动时，即t＝10s时，两车在同一位置，甲车启动10s后正好追上乙车，两车相距最近，故B错误；
C．0~10s内，在t＝0时刻两车相距最远，最大距离为s1=10×102m=50m
10s∼20s内，当两车的速度相等时相距最远，最大距离为s2=10×52m=25m
所以，0~20s时间内，甲、乙两车的最大距离为50m，故C错误；
D．由以上分析可知，即t＝10s时，两车在同一位置，所以甲车启动时，乙车在其前方的距离为s1=50m，故D正确。
15．(2022·安徽高三模拟)甲、乙两个质点沿同一直线运动，其中质点甲以3m/s的速度做匀速直线运动，质点乙做初速度为零的匀变速直线运动，它们的位置x随时间t的变化如图所示。已知t=3s时，甲、乙图线的斜率相等。下列判断正确的是（ ）
A．最初的一段时间内，甲、乙的运动方向相反
B．t=3s时，乙的位置坐标为−15.5m
C．t=10s时，两车相遇
D．乙经过原点的速度大小为45m/s
【答案】B
【解析】
A．位移时间图像的斜率表示速度，则最初的一段时间内，甲、乙的斜率都为正方向，所以运动方向相同，故A错误；
B．质点乙作初速度为零的匀变速直线运动，t=3s时，甲、乙图线的斜率相等，所以，t=3s时乙的速度是3m/s，乙的加速度 a=33m/s2=1m/s2
0-3s，乙的位移 x=0+32×3m=4.5m
所以t=3s时，乙的位置坐标为 −20m+4.5m=−15.5m 故B正确。
C．t=10s时甲车的位移x甲=30m，乙车的位移 x乙=12at2=50m
因 x乙D．根据 v2-0=2ax 乙经过原点时的速度大小为 v=2ax0=210m/s 故D错误。
16．在平直公路上行驶的a车和b车，其位移-时间图像分别为图中直线a和曲线b，已知b车的加速度恒定且a=−2m/s2，t=3s时直线a和曲线b刚好相切。下列说法正确的是（ ）
A．a车的速度大小为83m/sB．t=0时，a车和b车的距离为7m
C．t=2s时，a车在b车前方1m处D．0-2s内，b车比a车多行驶6m
【答案】C
【解析】
A．图像的斜率代表速度，所以a车的速度大小为 v=ΔxΔt=2m/s 故A错误；
B．t=3s时直线a和曲线b刚好相切，速度相等，所以b的初速度为 v=v0+at
解得 v0=8m/s
所以0-3s，b的位移为 xb=v0+v2t=15m
所以初始时，b的位置坐标 xb0=8−xb=−7m
t=0时，a车和b车的距离为 Δx=2−xb0=9m 故B错误；
CD．t=2s时，b的速度 v2=v0+at2=4m/s
0-2s的位移 x2=v0+v22t=12m
a的位移 xa=vt2=4m
所以b车比a车多行驶8m，t=2s时，a车在b车前方 Δx−8=1m 故C正确D错误。
17．(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲车由静止出发做匀加速运动，乙车做匀速运动，其各自的位置x随时间t的变化情况如图所示，并且两条图线相切点对应位置为x0，对应时刻为2t0，则（ ）
A．在t0时刻，甲车的速度大小为x0t0
B．在2t0时刻，乙车的速度大小为x02t0
C．在0～2t0时间内，乙车平均速度是甲车平均速度的两倍
D．甲、乙两车出发后，只能相遇一次
【答案】CD
【解析】
A．题中的x−t图线中，对于甲车，x0t0表示的是2t0时刻的瞬时速度，A项错误；
B．对于乙车，匀速运动的速度大小等于x0t0，选项B错误；
C．在0～2t0时间内，两车的位移相等，甲车的运动时间是乙车的2倍，则乙车平均速度是甲车平均速度的两倍，C项正确；
D．在2t0时刻甲、乙两车相遇，之后图线不再有交点，故之后两车不再相遇，D项正确。
考点六 其他相遇问题
18．小球A从离地面20m高处做自由落体运动,小球B从A正下方的地面上以20 m/s的初速度做竖直上抛运动．两球同时开始运动,在空中相遇,g取10 m/s2,则下列说法正确的是( )
A．两球相遇时速度都是10 m/s，方向竖直向下
B．两球相遇位置离地面高度为15 m
C．开始运动1.5 s时相遇
D．两球在空中相遇两次
【答案】B
【解析】
C、小球A做自由落体运动，小球B做竖直上抛运动，设经过时间t在空中相遇，A自由落体位移：ℎ1=12gt2，B竖直上抛的位移：ℎ2=v0t−12gt2，ℎ1+ℎ2=20，联立可得：t=1s，经过1s两球相遇，故C错误；
A、相遇时，A球的速率vA=gt=10m/s，方向竖直向下，B球的速率vB=v0−gt=20m/s−10m/s=10m/s，方向竖直向上，故A错误；
B、相遇时离地面高度ℎ2=20×1−12×10×12m=15m，故B正确；
D、由题意知，B球速度减为零的时间为t′=v0g=2s，两球第一次相遇后，A球继续下落，B球继续向上运动，当B球上升到最高点时，A球下落距离H=12gt′2=20m，故两球不可能在空中相遇两次，故D错误；
故B正确．
【点睛】
小球A做自由落体运动，小球B做竖直上抛运动，根据位移时间公式分别求出A和B的位移大小；两球在空中相碰，则两球的位移之和等于20m，列式求解进行判断．
19．物理实验小组看了书本上借助传感器用计算机测速度的内容后，改进后用来测加速度，图甲为工作示意图，P为信号发射器，可同时发射红外线和超声波，且可接受从小车返回的信号。一带接收器的小车静止在信号发射器右侧某位置。某时刻P同时发射红外线脉冲与超声波脉冲，小车接收到红外线后从静止开始匀加速运动，当小车接收到超声波后立即改为匀速运动。当P接收到返回的超声波后，立即再次发出超声波脉冲，图乙为两次发出的超声波脉冲的位移时间图像，已知t1=0.1s，t2=5.919s，超声波的速度为340m/s，红外线传播时间可以忽略，可以认为发出超声波的时刻小车启动。求：
(1)小车匀加速运动的加速度大小；
(2)小车静止时与信号发射器的距离。
【答案】(1)170m/s2；(2)33.15m
【解析】
(1)设小车匀速运动时的速度为v0，超声波速度为v=340m/s，则由题意可得，小车匀速运动的位移为
x0=x2−x1
x2=v·(t2−2t1)
x1=vt1
x0=v0(t2−t1)
联立解得v0=t2−3t1t2−t1v=17m/s
则小车的加速度为a=v0t1=170m/s2
(2)由题意可得小车静止时与信号发射器的距离为s=vt1−12at12
代入数据解得s=33.15m
20．如图所示固定的B盒是超声波发射和接收器，t1=0时刻发出一列短暂的超声波，t2=0.3s时接收到被匀速行驶的小车反射回来的此列超声波，t3=1s时再发出一列短暂的超声波，t4=1.4s时接收到被小车反射回来的此列超声波，已知超声波在空气中的速度为340m/s，则t5=2s时再发出一列短暂的超声波，需经多长时间才能收到被小车反射回来的此列超声波？
【答案】0.5s
【解析】
超声波第一次撞到小车时，小车距测速仪x1=v声t2−t12=340×0.3−02m=51m
超声波第二次撞到小车时，小车距测速仪x2=v声t4−t32=340×1.4−1.02m=68m
超声波第一次撞到小车处到第二次撞到小车处，小车的位移Δx1=x2−x1=17m
超声波从第一次撞到小车到第二次撞到小车经历的时间Δt1=t3+t42−t1+t22=1.05s
小车的速度v=Δx1Δt1=171.05m/s=34021m/s
超声波第三次撞到小车时，小车距测速仪x3=v声t6−t52=340×t6−2.02m
超声波第二次撞到小车处到第三次撞到小车处，小车的位移Δx2=x3−x2
超声波从第二次撞到小车到第三次撞到小车经历的时间Δt2=t5+t62−t3+t42
小车的速度：v=Δx2Δt2
解得t6=2.5s
收到小车反射回来的此列超声波需要的时间Δt=t6−t5=0.5s