苏教版初升高一初数学预习专题06一元二次方程-初升高数学无忧衔接(学生版+解析)

这是一份苏教版初升高一初数学预习专题06一元二次方程-初升高数学无忧衔接(学生版+解析)，共22页。试卷主要包含了根的判别式，“十字相乘法”等内容，欢迎下载使用。


初中对于一元二次方程的学习，是要求学生能够解出一元二次方程的根，能够根据判别式判断根的情况，停留在解“具体数字”的高度。而高中对于一元二次方程的要求很高，除了掌握基本的二次方程求根，还要能够解决含系数的二次方程。同时，还需要掌握韦达定理、十字相乘法等初中不曾接触的知识。
课程要求
知识精讲
初中知识储备：一元二次方程
备：绝对值
1.根的判别式
当∆>0时，方程有两个不等实根x1、x2，其中x1、2=−b±b2−4ac2a；
当∆=0时，方程有两个相等实根x1=x2=−b2a；
当∆<0时，方程有无实根.
高中增加知识：一元二次方程
备：绝对值
1.韦达定理：对于一般式方程：ax2+bx+c=0(a≠0)有两根x1、x2，那么它们有如下关系：
x1+x2=−bax1x2=ca
2.“十字相乘法”：
对于形如x2+(a+b)x+ab=0的方程可进行如下分解：
x2+(a+b)x+ab=0(x+a)(x+b)=0
例如：x2+5x+6=0中：
对于ax2+bx+c=0
典例剖析
例题1．对于任意实数，方程总有一个根1．
（1）求实数，；
（2）当时，求方程的另一个根．
变式训练
1. 已知关于x的一元二次方程有，两实数根．
（1）若，求及的值；
（2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由．
能力提升
1. 己知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为与若，求的值．
对点精练
1．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣B．k≥﹣C．k＜﹣D．k≤﹣
2．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
3．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令，则（ ）
A．B．C．D．
4．为实数，，那么的值为（ ）
A．1B．或1C．D．4或
5．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列命题是真命题的有（ ）
①若a＋2b＋4c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根；
②若b＝3a＋2，c＝2a＋2，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；
④若t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2at＋b）2．
A．①②B．②③C．①④D．③④
6．关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ___．
7．如果关于x的方程有一个小于1的正数根，那么实数的取值范围是________．
8．已知是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是________．
9．已知m2-2m-1=0，n2-2n-1=0且mn，则的值为____．
10．若x，y都是实数，且满足 ，则的值为____．
11．关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）请你给出一个的值，并求出此时方程的根．
12．已知一元二次方程两个根为，，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
13．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为，，若，求方程的两个根．
14．关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，求此时方程的根．
15．已知，，且，求的值．
《初中课程要求》
1、能将二次方程化为一般式，并能指出各项系数；
2、能够利用根的判别式判断二次方程根的情况；
3、能利用二次方程解决一些生活实际问题。
《高中课程要求》
1、掌握二次方程的一般式、以及含字母的一般式；
2、能够利用“十字相乘法”对含字母的二次方程进行因式分解；
3、能够利用“韦达定理”求系数。
专题06 一元二次方程
专题综述课程要求
初中对于一元二次方程的学习，是要求学生能够解出一元二次方程的根，能够根据判别式判断根的情况，停留在解“具体数字”的高度。而高中对于一元二次方程的要求很高，除了掌握基本的二次方程求根，还要能够解决含系数的二次方程。同时，还需要掌握韦达定理、十字相乘法等初中不曾接触的知识。
课程要求
知识精讲
初中知识储备：一元二次方程
备：绝对值
1.根的判别式
当∆>0时，方程有两个不等实根x1、x2，其中x1、2=−b±b2−4ac2a；
当∆=0时，方程有两个相等实根x1=x2=−b2a；
当∆<0时，方程有无实根.
高中增加知识：一元二次方程
备：绝对值
1.韦达定理：对于一般式方程：ax2+bx+c=0(a≠0)有两根x1、x2，那么它们有如下关系：
x1+x2=−bax1x2=ca
2.“十字相乘法”：
对于形如x2+(a+b)x+ab=0的方程可进行如下分解：
x2+(a+b)x+ab=0(x+a)(x+b)=0
例如：x2+5x+6=0中：
对于ax2+bx+c=0
典例剖析
例题1．对于任意实数，方程总有一个根1．
（1）求实数，；
（2）当时，求方程的另一个根．
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）由方程总有一个根1，把x=1代入化简得，由对任意实数，可得，解方程组即可；
（2）把，，代入原方程，得，解一元二次方程即可．
【详解】
解：（1）对任意实数，
方程总有一个根1，
，
对任意实数，化简得，
，
解方程组得；
（2）把，，代入原方程，
得，
解方程得，．
方程的另一个根为．
【点睛】
本题考查方程总有一根为1求参数问题，利用实数k的性质构建方程，会解方程组与一元二次方程是解题关键．
变式训练
1. 已知关于x的一元二次方程有，两实数根．
（1）若，求及的值；
（2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）存在，
【分析】
（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值．
【详解】
解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0，
∴m<5，
将x1=1代入原方程得：m=3，
又∵x1•x2=2m−1=5，
∴x2=5，m=3；
（2）设存在实数m，满足，那么
有，
即，
整理得：，
解得或．
由（1）可知，
∴舍去，从而，
综上所述：存在符合题意．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
能力提升
1. 己知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为与若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式即可求解；
（2）根据根与系数的关系表示出，，根据完全平方公式变形代入即可求解．
【详解】
（1）由得，
，
方程有实数根，
，解得；
（2）由根与系数的关系得，，
，
，，由（1）知，
应舍去，
．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的判别式与根与系数的关系，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用．
对点精练
1．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣B．k≥﹣C．k＜﹣D．k≤﹣
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得△＞0，解得k的取值范围即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2+3x-k=0有两个不相等的实数根，
，，，
∴，
∴k＞．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程()的根的判别式：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
2．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
【答案】B
【分析】
若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
【详解】
解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△＞0，△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞0．
又∵方程是一元二次方程，
∴k≠0，
∴k＞且k≠0．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
3．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先根据△=1-m＞0得出m的取值范围，根据b是方程的一个实数根，可得4b2-4b+m=0，整体代入，可得y的取值范围．
【详解】
解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△=1-m＞0，
∴m＜1，
∵b是方程的一个实数根，
∴，
∴4b2-4b+m=0，
∴y=4b2-4b-3m+3=3-4m，
∴m=，
∴＜1，
∴y＞-1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根的判别式及一元二次方程的解，解答本题的关键是掌握一元二次方程判别式与方程根的关系．
4．为实数，，那么的值为（ ）
A．1B．或1C．D．4或
【答案】A
【分析】
将原方程中的换元即转化为分式方程,化简得一元二次方程，解方程即可，注意验根．
【详解】
解：设，则方程可变形为：

解得，
经检验：都是的根，
即或者
当时，即所以
所以：．
故选A．
【点睛】
本题考查了利用换元法解一元二次方程，换元思想是解题的关键．
5．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列命题是真命题的有（ ）
①若a＋2b＋4c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根；
②若b＝3a＋2，c＝2a＋2，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；
④若t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2at＋b）2．
A．①②B．②③C．①④D．③④
【答案】C
【分析】
①正确，利用判别式判断即可．②错误，a=-2时，方程有相等的实数根．③错误，c=0时，结论不成立．④正确，利用求根公式，判断即可．
【详解】
解：①∵a+2b+4c=0，
∴a=-2b-4c，
∴方程为（-2b-4c）x2+bx+c=0，
∴Δ=b2-4（-2b-4c）•c=b2+8bc+16c2=（b+4c）2≥0，
∴方程ax2+bx+c=0必有实数根，故①正确．
②∵b=3a+2，c=2a+2，
∴方程为ax2+（3a+2）x+2a+2=0，
∴Δ=（3a+2）2-4a（2a+2）=a2+4a+4=（a+2）2，
当a=-2时，Δ=0，方程有相等的实数根，故②错误，
③当c=0时，c是方程ax2+bx=0的根，但是b+1不一定等于0，故③错误．
④∵t是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
∴t=，
∴2at+b=±，
∴b2-4ac=（2at+b）2，故④正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查命题与定理，一元二次方程的根的判别式，公式法解一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
6．关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ___．
【答案】＜且.
【分析】
由一元二次方程的定义可得，再利用一元二次方程根的判别式列不等式＞再解不等式即可得到答案.
【详解】
解： 关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
且＞
由＞
可得＜
＜
综上：＜且，
故答案为：＜且.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的定义及一元二次方程根的判别式，掌握利用一元二次方程根的判别式求解字母系数的取值范围是解题的关键.
7．如果关于x的方程有一个小于1的正数根，那么实数的取值范围是________．
【答案】-1＜a＜
【分析】
先求出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a的取值范围．
【详解】
解：，
（x+1）（x+2a+1）=0，
解得x1=-1，x2=-2a-1，
∵-1＜0，
∴小于1的正数根只能为-2a-1，
即0＜-2a-1＜1，
解得-1＜a＜，
故答案为：-1＜a＜．
【点睛】
本题考查了一元二次方程，解题的关键是求出方程的根，再求a的取值范围．
8．已知是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是________．
【答案】3
【分析】
由方程的系数结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据根与系数的关系结合即可得出关于m的分式方程，经检验后即可得出结论．
【详解】
解：∵方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，
∴△=（2m+3）2-4m2=12m+9＞0，
∴m＞，
∵α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，
∴α+β=-2m-3，α•β=m2．
∵，
∴m2-2m-3=（m-3）（m+1）=0，
解得：m=3或m=-1（舍去），
经检验可知：m=3是分式方程的解，且符合题意．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，根据根与系数的关系结合找出关于m的分式方程是解题的关键．
9．已知m2-2m-1=0，n2-2n-1=0且mn，则的值为____．
【答案】-6
【分析】
是一元二次方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可求解．
【详解】
解：根据题意得，是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴
故答案为：-6．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系相结合解题是一种经常使用的解题方法．
10．若x，y都是实数，且满足 ，则的值为____．
【答案】4
【分析】
设m=x2+y2，则原方程转化为关于m的方程，由因式分解法解该方程即可．
【详解】
设m=x2+y2，则原方程转化为 ，
整理得：
解得：或（舍），
所以x2+y2=4，
故填：4．
【点睛】
考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
11．关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）请你给出一个的值，并求出此时方程的根．
【答案】（1）见解析；（2）（答案不唯一） ．
【分析】
（1）求出，再根据根的判别式得出答案即可；
（2）取m=0，代入方程得出，再求出方程的解即可．
【详解】
（1）证明：∵
∴无论取何值时，,
∴原方程总有两个实数根
（2）答案不唯一
取m=0，方程为 解得：
【点睛】
本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解题的关键．
12．已知一元二次方程两个根为，，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）8；（2）6
【分析】
（1）根据根与系数的关系得到，，把原式变形代入即可求解；
（2）根据得到，再把代入即可求解．
【详解】
，是的两个根
，，，
（1）
（2）．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程根与系数的应用，解题的关键是熟知方程的根的定义及根与系数的关系．
13．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为，，若，求方程的两个根．
【答案】（1）见解析；（2）6或0
【分析】
（1）根据一元二次方程的根的判别式△＞0来证明即可；
（2）解方程即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵△=（4m）2-4×1×（4m2-9）=16m2-16m2+36=36＞0，
∴已知关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9=0一定有两个不相等的实数根；
（2）∵x=2m±3，
∵x1=3−x2，
∴x1+x2=6，
∵x1+x2=4m，
∴4m=6，
∴m=，
∴x=2×±3，
∴x1=6，x2=0．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
14．关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，求此时方程的根．
【答案】（1）且；（2），
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式列不等式组求解即可；
（2）根据（1）得到m的值，求出方程的解．
【详解】
解：（1）∵，
依题意，得，
解得且．
（2）∵为正整数，
∴．
∴原方程为．
解得，．
【点睛】
此题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握本章知识并应用解决问题是解题的关键．
15．已知，，且，求的值．
【答案】3
【分析】
根据题意，于是和可以视为方程的两个根，转化为根与系数的关系来解决问题
【详解】
由，可知，则两边同除以，
又，，于是和可以视为方程的两个根
，
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，转化问题是解题的关键．《初中课程要求》
1、能将二次方程化为一般式，并能指出各项系数；
2、能够利用根的判别式判断二次方程根的情况；
3、能利用二次方程解决一些生活实际问题。
《高中课程要求》
1、掌握二次方程的一般式、以及含字母的一般式；
2、能够利用“十字相乘法”对含字母的二次方程进行因式分解；
3、能够利用“韦达定理”求系数。