八年级数学下册专题15最值模型专项训练(原卷版+解析)

这是一份八年级数学下册专题15最值模型专项训练(原卷版+解析)，共60页。

A．B．4C．5D．
2．（2023·湖北·鄂州市三模）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·山东泰安·统考二模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
4．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为( )
A．B．C．D．
5．（2023·重庆沙坪坝·八年级校联考期末）如图，为正方形边上一点，，，为对角线上一个动点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．10
6．（2023·四川德阳·八年级校考阶段练习）如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
7.（2023·重庆北碚·九年级校考开学考试）如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·江苏镇江·八年级统考期中）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（ ）
A．B．C．D．
9．（2024上·广东广州·九年级统考期末）如图，在矩形中，，，点E是边上的动点，点M是点A关于直线的对称点，连接，则的最小值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
10．（2023下·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，E是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠到，连接，则的最小值是（ ）

A．2B．4C．D．
11．（2023·江苏常州·统考一模）如图，中，，，，P为边上一动点，则的最小值等于 ．
12．（2024上·湖北·九年级校联考阶段练习）如图，矩形中，，，为边上的动点，连接，于，为的中点，连接，以为边向右作等边，连接，则的最小值为 ．
13．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为5，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ．
14．（2023上·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线相交于点O，．若点P是边上一动点，求的最小值为 ．
15．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形中，，点E是矩形内一动点，连接， ，F为上一动点，连接，则的最小值是 ．

16．（2023上·辽宁辽阳·九年级校考期末）如图，，矩形的顶点，分别是两边上的动点，已知，点，之间距离的最大值是 ．

17．（2023上·贵州六盘水·九年级统考期中）如图，正方形中，点P是上一点，若，，则的最小值是 ．

18．（2023·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，正方形中，点是边上一定点，点、、分别是边、、上的动点，若，则四边形的周长最小时 ．

19．（2023·湖南湘潭·校考模拟预测）如图，菱形草地中，沿对角线修建60米和80米两条道路，M、N分别是草地边、的中点，在线段BD上有一个流动饮水点，若要使的距离最短，则最短距离是 米．
20．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为 ．
21．（2023·湖北武汉·八年级统考期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ．
22．（2023·浙江金华·八年级统考期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 ；（2）A′B+D′B的最小值为 ．
23．（2023·广东·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ．
24．（2023下·湖北十堰·九年级统考阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将绕点顺时针旋转60°得到，连接，可得为等边三角形，故，由旋转可得，因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等．
【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值 ．
25．（2023·江苏无锡·一模）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为______．
26．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF则EF的最大值与最小值的差为__________．
27．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．

28．（2023·广东·二模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为边作等边，连接AF，则AF的最小值为__________．
29．（2023·福建福州·八年级校考期中）如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为 ，当点D运动到点H，此时线段BE的长为 ．
30．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，等边的边长为6，点，分别是边，的中点，连接．（1）如图①，求点到线段的最短距离；
（2）点，分别是，上的动点，连接、．
①如图②，当的长度取得最小值时，求的长度；
②如图③，点在上，若，连接，求的最小值．

31．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为10，对角线，点是的中点，点、是上的动点，且，求四边形周长的最小值．
32．（2023·福建福州·八年级校考期末）定义：若为内一点，且满足，则点叫做的费马点．

(1)如图1，若点是高为的等边的费马点，则= ；
(2)如图2，已知是等边外一点，且，请探究线段，，之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3，已知，分别以、为边向外作等边与等边，线段、交于点，连接，求证：①点是的费马点；②．
33．（2023·江苏扬州·八年级统考期末）背景资料:
在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．
这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．
如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，此时，PA＋PB＋PC的值最小．
解决问题：（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB= ；
基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
如图③，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为BC上的点，且∠EAF=45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；
能力提升：（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点P为Rt△ABC的费马点，
连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．

34．（2023·福建福州·九年级统考期中）在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．

35．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离．（2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______．
（3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______．
36．（2023·河南周口·校考三模）【问题背景】数学活动小组在学习《确定圆的条件》时，曾遇到这样一个问题：如图1，草原上有三个放牧点，要修建一个牧民定居点，使得定居点到三个放牧点的距离相等，那么如何确定定居点的位置？
（1）请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出定居点O的位置，使点O到点A，B，C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）

【问题探索】聪明的小智在解决这个问题之后，继续提出新的问题，如图3，在平面内是否存在一点P，使点P到△ABC三个顶点的距离之和最小？

通过不断探究，小智发现可以借助旋转的思想解决这个问题，如图4，把绕点A逆时针旋转，得到，连接，可知为等边三角形，因此，由两点之间，线段最短，可知的最小值即为点B，P，，C共线时线段的长．
（2）【类比探究】如图5，在中，，点P为内一点，连接，求的最小值．
（3）【实际应用】如图6，现要在矩形公园ABCD内，选择一点P，从点P铺设三条输水管道，要求．若，请直接写出输水管道长度的最小值．

37．（2023下·四川成都·八年级统考期末）【阅读理解】
在平面直角坐标系中，已知点R，S为平面内不重合的两点．给出如下定义：将点R绕点S顺时针旋转90度得到点，点关于y轴的对称点为，则称点为点R关于点S的“旋对点”．
【迁移应用】
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．平面内有一点．

(1)请在图中画出点M关于点O的“旋对点”，并直接写出点M的坐标；(2)点Q为直线上一动点．
①若点Q关于点M的“旋对点”为点，试探究直线经过某一定点，并求出该定点的坐标；
②在①的条件下，设直线所经过的定点为H，取的中点N，连接，求的最小值．
38．（2023.广东九年级月考）几何模型：
条件：如图，，是直线同旁的两个顶点．
问题：在直线上确定一点，使的值最小．
方法：作点关于直线的对称点，连接交于点，则的值最小（不必证明）．
模型应用：

(1)如图，已知平面直角坐标系中两定点和，为轴上一动点，则当的值最小时，点的横坐标是______，此时______．
(2)如图，正方形的边长为，为的中点，是上一动点，连接，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是______．
(3)如图，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，则的最小值为______．
(4)如图，在菱形中，，，点是边边的中点，点，分别是，上的两个动点，则的最小值是______．
39．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）（1）的最小值为________；
（2）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合将军饮马和勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下：
①如图，作一条长为16的线段；②过C在线段上方作线段的垂线AC，便；过D在线段下方作线段的垂线，使；③在线段上任取一点O，设；
④根据勾股定理计算可得，________，________（请用含x的代数式表示，不需要化简）；
⑤则的最小值即为所求代数式的最小值，最小值为________．
（3）请结合第（2）问，直接写出的最小值________．
40．（2023·吉林长春·校考二模）数学兴趣活动课上，小致将等腰的底边与直线重合．
（1）如图(1)，在中，，点在边所在的直线上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现的最小值是____________．
（2）为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小致发现，当最短时，如图(2)，在中，作平分交于点点分别是边上的动点，连结小致尝试探索的最小值，小致在上截取使得连结易证，从而将转化为转化到（1）的情况，则的最小值为 ；
（3）解决问题：如图(3)，在中，，点是边上的动点，连结将线段绕点顺时针旋转，得到线段连结，求线段的最小值．

专题15 最值模型专项训练
本专题主要包含最值模型：将军饮马模型、将军遛马（造桥）模型、费马点模型、瓜豆原理（直线轨迹）、胡不归模型等。
1．（2023春·山东八年级期末）如图，已知点，，，，为直线上一动点，则的对角线的最小值是（ ）
A．B．4C．5D．
【答案】A
【分析】连接，设交于点，根据平行四边形的性质得出点，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，可知当时，取得最小值，勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，设交于点，如图所示，
∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，
∴当取得最小值时，取得最小值，∴当时，取得最小值，
∵，，∴，,∴是等腰直角三角形，
∴此时是直角三角形，且是斜边，
∵,∴，∴的对角线的最小值是，故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，勾股定理，点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
2．（2023·湖北·鄂州市三模）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接AM，在点运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，所以当AM⊥PM时，PM取得最小值，根据等边三角形的性质得到AM⊥EF，∠EAM=30°，求得∠PAM=60°，进而即可得到PM最小值．
【详解】解：∵P是边AD的中点，AD=6，∴AP=3，如图，连接AM，
∵等边，是边的中点，∴AM平分∠EAF，
∴在点运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，∴当AM⊥PM时，PM取得最小值，
∵是等边的边的中点，∴PM⊥AM， ∠EAM=30°，
∴∠PAM=60°，∴PM=AP=，故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，等边三角形的性质，推出在点E运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，是解题的关键．
3．（2023·山东泰安·统考二模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，
∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，
∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，
又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，
∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，
∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3，
∴CG的最小值＝，故选B．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键．
4．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：方法一：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，
设Q(，)，则PM=，QM=，
∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中，，∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，
∴PN=QM=，Q′N=PM=，∴ON=1+PN=，∴Q′(，)，
∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，
当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′的最小值为，故选：B．
方法二：由方法一知：Q′(，)，故得到点Q′的运动轨迹为直线l：y=2x-5.
∴当OQ′垂直于直线l时，OQ′取的最小值。
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
5．（2023·重庆沙坪坝·八年级校联考期末）如图，为正方形边上一点，，，为对角线上一个动点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．10
【答案】A
【分析】连接交于P点，根据“两点之间线段最短”，可知的最小值即为线段的长，求出的长即可.
【详解】连接，交于P点
∵四边形为正方形 ∴A点和C点关于对称
根据“两点之间线段最短”，可知的最小值即为线段的长.
∵，∴的最小值为5故选：A
【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键.
6．（2023·四川德阳·八年级校考阶段练习）如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【分析】连接AM、AC，AM交BD于P，此时PM+PC最小，连接CP，由菱形的性质可知C和A关于BD对称，AP=CP，由条件易证△ABC是等边三角形，根据三线合一可知AM⊥BC，再根据勾股定理可求AM的值，即可求解．
【详解】解：连接AM、AC，AM交BD于P，
此时PM+PC最小，连接CP，
∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，AC⊥BD，∴C和A关于BD对称，∴AP=PC，
∵∠A=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=2，
∵M是BC的中点，∴AM⊥BC，∴∠BAM=30°，∴BM=1，
∴AM=，∴PM+PC=AM=．故选B．
【点睛】本题考查了将军饮马类型的求最小值问题，涉及菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确找到P的位置．
7.（2023·重庆北碚·九年级校考开学考试）如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．由PM垂直平分线段DE，推出PD=PE，推出PC+PD=PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．
【详解】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．
∵四边形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB=CD=4，BC=AD=6，
∵S△PAB=S△PCD，∴×4×x=××4×（6-x），∴x=2，∴AM=2，DM=EM=4，
在Rt△ECD中，EC==4，∵PM垂直平分线段DE，∴PD=PE，∴PC+PD=PC+PE≥EC，
∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值为4．故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
8．（2023·江苏镇江·八年级统考期中）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长．
【详解】解：如图，
∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，
∴△BFG是等边三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”，
∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，
∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，
∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．（2024上·广东广州·九年级统考期末）如图，在矩形中，，，点E是边上的动点，点M是点A关于直线的对称点，连接，则的最小值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】根据对称性得到，在中根据三角形三边关系可得，所以当B，M，D三点共线时，最短，求解即可．
【详解】解：连接AM，AC，如图所示：∵点A和M关于对称，∴，
在中根据三角形三边关系可得：，∴当B，M，D三点共线时，最短，
∵在矩形中，，∴．故选C．
【点睛】本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、三角形三边关系、矩形性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是根据三角形的三边关系确定的取值范围．
10．（2023下·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，E是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠到，连接，则的最小值是（ ）

A．2B．4C．D．
【答案】C
【分析】将放在中，利用三角形的三边关系得出：当，，三点共线时，最小，再利用勾股定理求出即可求解．
【详解】]解：如图，连接，

，，的最小值为，当，，三点共线时，最小，
在矩形中，，，点E是边的中点，将沿所在直线折叠到，，，，故选：C．
【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解当，，三点共线时，最小．
11．（2023·江苏常州·统考一模）如图，中，，，，P为边上一动点，则的最小值等于 ．
【答案】
【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，由锐角三角函数可得，即，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，再利用解直角三角形，即可求得．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∵，∴∠EDP=∠DAB=45°，∴，∴，∴，
∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，
∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
12．（2024上·湖北·九年级校联考阶段练习）如图，矩形中，，，为边上的动点，连接，于，为的中点，连接，以为边向右作等边，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的性质等知识，取的中点，的中点，连接，，，，通过证明 ，得 ，在 中，利用三边关系即可求解，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
【详解】如图，取的中点，的中点，连接，，，，
则，，，
∴，，∴，∴，
∴是等边三角形，∴，，∴，
在和中，，∴，∴，
连接，由勾股定理得：，∴，
∴的最小值为，故答案为：．
13．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为5，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ．
【答案】//
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．以为边作等边，连接，过点H作于N，于M，可证四边形是矩形，可证，证，可得，当时，有最小值，即有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，以为边作等边，连接，过点H作于N，于M，
又∵，∴四边形是矩形，∴，
∵，∴，∵是等边三角形，，
∴，，，∴，
∵是等边三角形，∴，，∴，
在和中，，∴，∴，
∴当时，有最小值，即有最小值，
∴点F与点M重合时，，故答案为：．
14．（2023上·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线相交于点O，．若点P是边上一动点，求的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图所示，在下方作，过点P作于E，则由含30度角的直角三角形的性质得到，故当当三点共线，且时最小，即此时最小，由矩形的性质得到，，则可证明是等边三角形，则，，，再求出，得到，则的最小值为．
【详解】解：如图所示，在下方作，过点P作于E，
∴，∴，
∴当三点共线，且时最小，即此时最小，
∵四边形是矩形，∴，，
∵，∴是等边三角形，∴，，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线确定当三点共线，且时，最小是解题的关键．
15．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形中，，点E是矩形内一动点，连接， ，F为上一动点，连接，则的最小值是 ．

【答案】
【分析】取的中点M，的中点N，连接交于点，过点作于，过点E作于点G,求出，由M、N分别是的中点得到，，根据求得，则点E在线段（不包括端点）上运动，证明，当且仅当B、E、D三点共线时，最小，即为的最小值，由点F在上运动，得到当时，取得最小值，即可得到的最小值．
【详解】解：如图，取的中点M，的中点N，连接交于点，过点作于，过点E作于点G，

∵矩形中，，∴，
∵M、N分别是的中点，∴，，
∵，∴，即，
∴，∴点E在线段（不包括端点）上运动，∵C、D关于直线对称，∴，
当且仅当B、E、D三点共线时，最小，即为的最小值，
∵点F在上运动，∴当时，取得最小值，
∴的最小值是：，故答案为：．
【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质、最短路径等知识，求出和的最小值是解题的关键．
16．（2023上·辽宁辽阳·九年级校考期末）如图，，矩形的顶点，分别是两边上的动点，已知，点，之间距离的最大值是 ．

【答案】
【分析】如图所示，取的中点，连接，，利用勾股定理求出的长，再确定最大时的条件，即可求出答案．
【详解】如图所示，取的中点，连接，，

∵四边形是矩形，∴，∵是的中点，∴，
∴，∵，是的中点，∴，
∵，∴当点，，三点共线时，有最大值，
∴最大值，故答案为：．
【点睛】此题考查了矩形性质及三角形的三边性质，确定最值条件是解题的关键．
17．（2023上·贵州六盘水·九年级统考期中）如图，正方形中，点P是上一点，若，，则的最小值是 ．

【答案】
【分析】连接，在上取一点，使，连接，，结合全等三角形的性质，可得，可确定的最小值是的长，再求出的长即可．
【详解】解：连接，在上取一点，使，连接，，过点作于点，

∵四边形是正方形，∴，∵，∴，
在和中，，∴，
∴， ∴，∴的最小值是的长．
在中，，，即为等腰直角三角形，∴，
∵，∴，在中，由勾股定理，得，
∴的最小值是．故答案为：．
【点睛】本题考查最短路线问题，解题中涉及正方形的性质，全等三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质，根据“将军饮马问题”利用轴对称将问题转化为用一条线段的长表示的最小值是解题的关键．
18．（2023·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，正方形中，点是边上一定点，点、、分别是边、、上的动点，若，则四边形的周长最小时 ．

【答案】
【分析】如图，作点G关于的对称点，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，交于点，连接、，四边形的周长最小，求出此时即可．
【详解】解：如图，作点G关于的对称点，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，交于点，连接、，四边形的周长最小，

由对称的性质知，，∴，当、、三点共线时值最小；同理可得：，当、、、四点点共线时值最小；∵，正方形是正方形； ∴，，
由对称的性质知，，，，，，
∴，∵，∴是等腰直角三角形，
∴．∴故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用作轴对称图形解决最值问题是解题关键．
19．（2023·湖南湘潭·校考模拟预测）如图，菱形草地中，沿对角线修建60米和80米两条道路，M、N分别是草地边、的中点，在线段BD上有一个流动饮水点，若要使的距离最短，则最短距离是 米．
【答案】50
【分析】作关于的对称点，连接，交于，连接，当点与重合时，的值最小，根据菱形的性质和勾股定理求出长，即可得出答案．
【详解】解：作关于的对称点，连接，交于，连接，
当点与重合时，的值最小，
四边形是菱形，，，即在上，
，， 为中点，为中点，
为中点，四边形是菱形，，，
四边形是平行四边形，，设与的交点为点，
四边形是菱形，，米，米，
米，的最小值是50米．故答案为：50．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出的位置．
20．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图所示，作点关于的对称点，且点在上，则，当在同一条直线上时，有最小值，证明四边形是平行四边形，，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，
∵是等边三角形，，∴，∴点在上，
∴，则，当在同一条直线上时，有最小值，
∵点关于的对称点，，∴，，
∴，∴是等边三角形，即，
∴，且，∴四边形是平行四边形，
∴，在中，，，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查动点与等边三角形，对称—最短路径，平行四边形的判定和性质的综合，理解并掌握等边三角形得性质，对称—最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键．
21．（2023·湖北武汉·八年级统考期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ．
【答案】18
【分析】首先明确要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可．
【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，
∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，
∵△PMB周长=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，
∵PM=PC，∴满足PC+PB最小即可，显然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，
此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，∴△PMB周长最小值即为BC+BM，
此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线于T点，AQ⊥BC延长线于Q点，
由题意，AD为∠BAC的角平分线，∴DS=DT，∵，，
∴，即：，∴，解得：AB=14，
∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，故答案为：18．
【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．
22．（2023·浙江金华·八年级统考期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 ；（2）A′B+D′B的最小值为 ．
【答案】 平行四边形 2
【分析】（1）利用平移的性质证明即可．
（2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．求出BC″，证明A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，可得结论．
【详解】解：（1）如图2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，故答案为：平行四边形．
（2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC=AB=2，
∵BJ⊥AC，∴AJ=JC，∴BJ=AC=，∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，∴四边形BHCJ是矩形，
∵BJ=CJ，∴四边形BHCJ是正方形，∴BH=CH=，
在Rt△BHC″中，BH=，HC″=3，∴，
∵四边形A′BCD′是平行四边形，∴A′B=CD′，∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，
∴A′B+BD′≥2，∴A′B+D′B的最小值为2，故答案为：2．
【点睛】本题考查作图-平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
23．（2023·广东·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ．
【答案】
【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′，则MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，推出AM＝MM′可得MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，共线时最短；由于点E也为动点，可得当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝DG＋GE的值；
【详解】解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′，
由性质的性质可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，
∴AM＝MM′，∴MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，
∴D′M、MM′、ME共线时最短，由于点E也为动点，
∴当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝D′G＋GE＝
∴MA＋MD＋ME的最小值为，故答案为：
【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
24．（2023下·湖北十堰·九年级统考阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将绕点顺时针旋转60°得到，连接，可得为等边三角形，故，由旋转可得，因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等．
【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值 ．
【答案】
【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于点，首先证明，求出的值即可解决问题．
【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于点，
在中，∵，，∴，
由旋转的性质可知：，、是等边三角形，∴，∴，
∵，∴当共线时，的值最小，
∵，，∴，
∵，∴，，
∴，∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，理由旋转作出正确的辅助线是解本题的关键．
25．（2023·江苏无锡·一模）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为______．
【答案】
【分析】如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于．首先证明，推出点在射线上运动，推出当时，的值最小，进一步即得答案．
【详解】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，连接交于．
∵四边形是矩形，∴，，
∵，∴，
在和中，，∴（），
∴，∴点在射线上运动，∴当时，的值最小，
∵，，，∴，∴，
∴，∴四边形是矩形，
∴，，∴，∴，
∴，∴，∴的最小值为，故答案为．
【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
26．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF则EF的最大值与最小值的差为__________．
【答案】
【分析】取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N；再证明∠ACD=90°，求出AC=2、AN=；然后由三角形中位线定理，可得EF=AG，最后求出AG的最大值和最小值即可．
【详解】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD= 120°∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2
∴AM=DM=DC=2∴△CDM是等边三角形∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC
∴∠MAC=∠MCA=30° ∴∠ACD=90° ∴AC=2
在Rt△ACN中，AC=2,∠ACN=∠DAC=30° ∴AN=AC=
∵AE=EH，GF=FH∴EF=AG∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长
∵AG的最大值为2，最小值为 ∴EF的最大值为，最小值为
∴EF的最大值与最小值的差为-=．故答案为．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，正确添加辅助线和证得∠ACD=90是解答本题的关键．
27．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，

∵，∴，
∵于点D，于点E，，∴四边形是矩形，∴，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，此时线段的值最小，
此时，，代入数据：，
∴，∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键．
28．（2023·广东·二模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为边作等边，连接AF，则AF的最小值为__________．
【答案】5
【分析】以AD为边作等边三角形△ADH，连接EH，由“SAS”可证△EDH≌△FDA，可得AF＝EH，由垂线段最短可得当EH⊥AB时，EH有最小值，即AF有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，以AD为边作等边三角形△ADH，连接EH，∴HD＝AD＝AH＝10，∠HDA＝60°，
∵△DEF是等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝60°＝∠HDA，∴∠EDH＝∠FDA，
在△EDH和△FDA中，，∴△EDH≌△FDA（SAS），∴AF＝EH，
∴当EH⊥AB时，EH有最小值，即AF有最小值，
∵∠EAH＝90°−∠HAD＝30°，EH⊥AB，∴EH＝AH＝5，∴AF的最小值为5，故答案为：5．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，含30°直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
29．（2023·福建福州·八年级校考期中）如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为 ，当点D运动到点H，此时线段BE的长为 ．
【答案】
【分析】由“SAS”可得△ABD≌△CBE，推出AD=EC，可得结论，再由勾股定理求解 当重合时， 从而可得答案.
【详解】解：如图，连接EC．
∵△ABC，△BDE都是等边三角形， ∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°， ∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD=EC，
∵点D从点A运动到点H， ∴点E的运动路径的长为，
当重合，而（即）为等边三角形，
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，动点的轨迹等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
30．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，等边的边长为6，点，分别是边，的中点，连接．（1）如图①，求点到线段的最短距离；

（2）点，分别是，上的动点，连接、．
①如图②，当的长度取得最小值时，求的长度；
②如图③，点在上，若，连接，求的最小值．
【答案】（1）；（2）①当的长度取得最小值时，；②的最小值为．
【分析】（1）本题过点D向BE作垂线，继而根据等边三角形性质以及中点性质求解BD，最后利用30°直角三角形边长比例关系求解DH．（2）①本题通过作点D关于BE的对称点，从而确定点P、N的位置，继而根据对称性质以及等边三角形性质判定△为等边三角形，最后根据三线合一以及三角函数求解BP．
②本题分别作点D、Q关于BE、BC的对称点，从而将不同的三线段相加问题转化为同一条直线上线段相加问题，继而利用等边三角形以及对称性质求解，度数，最后利用勾股定理求解本题．
【详解】（1）过点作于点，如下图图①所示，即为所求．

∵是等边三角形，点，分别是边，的中点，
∴，．
在中，∵，，∴．
（2）①作点关于的对称点，过点作于点，交于点，如下图图②所示：
点，关于对称，．，，此时的值最小．
垂直平分，．，是等边三角形．．
在中，，．当的长度取得最小值时，．
②作关于的对称点，连接，作关于的对称点，连接，分别交，于点P、N，如下图图③所示：
点，关于对称，，=3．
点，关于对称，，=1 此时．
当点、、、四点共线时，取得最小值，最小值为的长度．
∵等边△ABC，∴根据轴对称的定义可知，
∴．在中，．的最小值为．
【点睛】本题考查等边三角形与动点的综合问题，难度主要在于辅助线的构造，核心思想是将不在同一条直线上的各线段通过对称性，利用线段等量替换将问题转化到同一条直线，线段和最值另一典型题型为将军饮马，可对比练习．
31．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为10，对角线，点是的中点，点、是上的动点，且，求四边形周长的最小值．
【答案】．
【分析】先确定A，B，D三点坐标，结合图像，将平行向左移动到点，使作关于轴的对称点，连接交轴于点，在轴正方向上截取，连接，可得四边形为平行四边形，当最小时，即最小时，四边形的周长最小，由两点之间线段最短可知，当、、三点共线时，四边形的周长最小，再通过点的坐标及线段长即可求出周长最小值．
【详解】解菱形的边长是10，对角线，点是的中点，，，．
如解图，将平行向左移动到点，使，则，作关于轴的对称点，则，连接，交轴于点，在轴正方向上截取，连接，则四边形为平行四边形．．
易得，．四边形的周长为，且、为定值，
当最小时，即最小时，四边形的周长最小．
由两点之间线段最短可知，当、、三点共线时，四边形的周长最小．
过点作轴，过点作轴，交于点，．
，．．
，，，
四边形周长的最小值为．
【点睛】本题考查的是四边形周长最小值问题，涉及到知识点有，菱形的性质，平行四边形的性质与判定，两点之间线段最短等，解题关键在于正确做出辅助线，运用相关定理进行解题．
32．（2023·福建福州·八年级校考期末）定义：若为内一点，且满足，则点叫做的费马点．

(1)如图1，若点是高为的等边的费马点，则= ；
(2)如图2，已知是等边外一点，且，请探究线段，，之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3，已知，分别以、为边向外作等边与等边，线段、交于点，连接，求证：①点是的费马点；②．
【答案】(1)(2)，证明见解析(3)①见解析；②见解析
【分析】（1）延长交于点，根据费马点的定义可得，进而根据等腰三角形的性质得出，根据含度角的直角三角形的性质，求得，即可求解；
（2）延长至，使得，连接，证明，根据等边三角形的性质以及全等三角形的性质，即可得出结论；（3）①作于，于设交 于．证明（）即可解决问题；②在线段上取一点，使得，连接．证明（），推出即可解决问题．
【详解】（1）解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，

∴是等边三角形，是等边三角形，
∵点是高为的等边的费马点，∴，
∴∴四点共线，
∵∴在的垂直平分线上，∴，∴，
如图所示，延长交于点
∵点是高为的等边的费马点，∴，
∴，∴，则∴
∵∴∴,故答案为：．
（2）解：，理由如下，如图所示，延长至，使得，连接，
∵，∴，又，∴是等边三角形，∴，
∵是等边三角形，∴，∴，即，
又，∴，∴，∴，即；
（3）①证明：如图，作A于，于设交 于．
，都是等边三角形，，，，
，)，，，，
，，，，，
，，，
，点是就是费马点．
②在线段上取一点，使得，连接．

，，是等边三角形，，，
，，，，
，，．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，构造等边三角形是解答本题的关键．
33．（2023·江苏扬州·八年级统考期末）背景资料:
在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．
这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．
如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，此时，PA＋PB＋PC的值最小．
解决问题：（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB= ；
基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
如图③，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为BC上的点，且∠EAF=45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；
能力提升：（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点P为Rt△ABC的费马点，
连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．

【答案】（1）150°； （2）E′F2=CE′2+FC2，理由见解析；（3）．
【详解】试题分析：（1）（2）首先把△ACE绕点A顺时针旋转90°，得到△ACE′．连接E′F，由旋转的性质得，AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，然后再证明△EAF≌△E′AF可得E′F=EF，，再利用勾股定理可得结论；（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据已知证明C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，利用勾股定理求得A′C的长，根据新定义即可得OA+OB+OC =．
试题解析：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°得到△ACP′，如图，连结PP′，
∴AP=AP′=3，∠PAP′=60°，P′C=PB=4，∠APB=∠AP′C，
∴△APP′为等边三角形，∴∠PP′A=60°，PP′=AP=3，
在△PP′C中，∵PP′=3，P′C=4，PC=5，∴PP′2+P′C2=PC2，
∴△PP′C为直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠PP′A+∠PP′C=60°+90°=150°，
∴∠APB=150°，故答案为150°；
（2）E′F2=CE′2+FC2，理由如下：如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，
∵∠EAF=45°，∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC﹣∠EAF=90°﹣45°=45°，∴∠EAF=∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中， ，∴△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F=EF，
∵∠CAB=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠E′CF=45°+45°=90°，
由勾股定理得，E′F2=CE′2+FC2，即EF2=BE2+FC2；

（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2，∴BC==，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∴△A′O′B如图所示；∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2AC=2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C===，
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=．
【点睛】本题考查旋转、全等三角形的判定与性质等，是一道综合性题目，正确的作出辅助线是解题关键.
34．（2023·福建福州·九年级统考期中）在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．

【答案】（1）①补图见解析；②；（2）
【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②首先证明∠ECF＝90°，设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解决问题；（2）如图2中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．根据两点之间线段最短可得DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，推出AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长；
【详解】（1）①如图△DCF即为所求；

②∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，
∴AC＝＝AB＝4，∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，
∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，
设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，∴y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）．即y＝2（x−2）2＋8，
∵2＞0，∴x＝2时，y有最小值，最小值为8，当x＝4时，y最大值＝16，∴8≤EF2≤16．
（2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．

由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，∴AE＝EG，
∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长．
在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，∴FH＝AF＝，AH＝＝，
在Rt△DFH中，DF＝＝，∴BE＋AE＋ED的最小值为．
【点睛】本题考查作图−旋转变换，正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用旋转法添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
35．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离．（2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______．
（3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解；
（2）连接，过点作于，过点作于．根据题意可得的最小值等于的长，再由当时，的长最小，可得的最小值等于的长，再根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解；
（3）过点F作于点H，连接，过点E作于点G，根据直角三角形的性质可得在，从而得到，继而得到的最小值等于，再由当时，的长最小，即的长最小，可得的最小值等于，即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点作于，过点作于．
∵，∴．在中，．
∵，∴．∴点到的距离为．
（2）如图，连接，过点作于，过点作于．
∵，∴的最小值等于的长，
∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合，∴的最小值等于的长，
∵，∴．在中，．
∵，∴．即的最小值为；故答案为：
（3）如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G，
在中，，∴，
∴，∴的最小值等于，
∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合，
∴的最小值等于，∵四边形是矩形，∴，
∴，∴，即的最小值等于．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
36．（2023·河南周口·校考三模）【问题背景】数学活动小组在学习《确定圆的条件》时，曾遇到这样一个问题：如图1，草原上有三个放牧点，要修建一个牧民定居点，使得定居点到三个放牧点的距离相等，那么如何确定定居点的位置？
（1）请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出定居点O的位置，使点O到点A，B，C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）

【问题探索】聪明的小智在解决这个问题之后，继续提出新的问题，如图3，在平面内是否存在一点P，使点P到△ABC三个顶点的距离之和最小？

通过不断探究，小智发现可以借助旋转的思想解决这个问题，如图4，把绕点A逆时针旋转，得到，连接，可知为等边三角形，因此，由两点之间，线段最短，可知的最小值即为点B，P，，C共线时线段的长．
（2）【类比探究】如图5，在中，，点P为内一点，连接，求的最小值．
（3）【实际应用】如图6，现要在矩形公园ABCD内，选择一点P，从点P铺设三条输水管道，要求．若，请直接写出输水管道长度的最小值．

【答案】（1）见解析；（2）的最小值为；（3）的最小值为．
【分析】（1）作边和的垂直平分线，交点O即可为所作；
（2）将绕点B顺时针旋转至处，连接，证是等边三角形，得，再证四点共线，然后证，即可解决问题；
（3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，，在同一直线上时，，当时，的最小值为的长，据此即可求解．
【详解】解：（1）点O的位置如图所示，

（2）将绕点B顺时针旋转至处，连接，如图所示：
则，，，，，，
∴是等边三角形，∴，
由【问题探索】知点的最小值即为点共线时线段的长，
∴，∴，
∵，∴四点共线，
∵，∴，∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，∴
，
在中，由勾股定理得：，∴的最小值为；

（3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，，
∴、是等边三角形，∴，，
∴在同一直线上时，，
当时，的最小值为的长，记与交于点H，则，∴，
∴，∴，∴的最小值为．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含角直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
37．（2023下·四川成都·八年级统考期末）【阅读理解】
在平面直角坐标系中，已知点R，S为平面内不重合的两点．给出如下定义：将点R绕点S顺时针旋转90度得到点，点关于y轴的对称点为，则称点为点R关于点S的“旋对点”．
【迁移应用】
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．平面内有一点．

(1)请在图中画出点M关于点O的“旋对点”，并直接写出点M的坐标；(2)点Q为直线上一动点．
①若点Q关于点M的“旋对点”为点，试探究直线经过某一定点，并求出该定点的坐标；
②在①的条件下，设直线所经过的定点为H，取的中点N，连接，求的最小值．
【答案】(1)画图见解析，(2)①；②的最小值为．
【分析】（1）根据新定义的含义结合网格特点逐步画图即可，再根据点的位置可得其坐标；
（2）①如图，设，过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点，则，延长与交于点，则，，而，，，，结合新定义可得；，从而可得答案；②证明，即在直线上运动，如图，连接，，作关于直线的对称点，则，由分别为的中点，则，当三点共线时，，此时最小；记与轴的交点为，则，直线与轴的交点坐标为，连接，都是等腰直角三角形，而，则，再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求，∴；

（2）①如图，∵点Q为直线上一动点．
设，过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点，
则，延长与交于点，则，
∴，∴，∴，
∵，∴，而，∴，，
∴，结合新定义可得；，而，
∴的中点坐标为：，∴直线经过定点；
②∵，∴，∴，即在直线上运动，
如图，连接，，作关于直线的对称点，则，

由分别为的中点，则，
∴当三点共线时，，此时最小；
记与轴的交点为，则，直线与轴的交点坐标为，连接，
∴都是等腰直角三角形，而，
∴，∴．即的最小值为．
【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，理解题意，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
38．（2023.广东九年级月考）几何模型：
条件：如图，，是直线同旁的两个顶点．
问题：在直线上确定一点，使的值最小．
方法：作点关于直线的对称点，连接交于点，则的值最小（不必证明）．
模型应用：

(1)如图，已知平面直角坐标系中两定点和，为轴上一动点，则当的值最小时，点的横坐标是______，此时______．
(2)如图，正方形的边长为，为的中点，是上一动点，连接，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是______．
(3)如图，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，则的最小值为______．
(4)如图，在菱形中，，，点是边边的中点，点，分别是，上的两个动点，则的最小值是______．
【答案】(1)；(2)(3)(4)
【分析】（1）取点关于轴对称的点，连接，交轴于点，作轴于，则此时的值最小，根据点的坐标，得出，，，进而得出，，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，进而得出点的横坐标，再根据平行线间的距离相等，得出，再根据勾股定理，计算即可得出答案；
（2）根据对称性和线段最短，得出的最小值是的长，再根据中点的定义，得出，再根据勾股定理，计算出，进而即可得出的最小值；
（3）设与交于点，连接，，根据对称性，得出，再根据线段最短，得出当点运动至点时，的最小值，此时最小值为的长，再根据正方形的面积，结合算术平方根的定义，得出，再根据等边三角形的性质，得出，进而得出的最小值；
（4）作垂足为与交于点，根据菱形的性质，得出，，再根据等边三角形的判定定理，得出是等边三角形，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段最短，得出点关于的对称点在上，此时的最小，最小值为的长，再根据三线合一的性质，得出，再根据含角的直角三角形的性质，得出，再根据勾股定理，计算得出，进而即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，取点关于轴对称的点，连接，交轴于点，作轴于，

则此时的值最小，∵和，∴，，，
∴，，∵，，
∴，∴，∴点的横坐标为，
∵轴，∴，∴，∴，
∴当的值最小时，点的横坐标是，此时；故答案为：；；
（2）解：∵点与关于直线对称，∴的最小值是的长，
∵正方形的边长为，为的中点，∴，
在中，，∴的最小值是；故答案为：；
（3）解：如图，设与交于点，连接，，

∵点与关于直线对称，∴，
∴当点运动至点时，的最小值，此时最小值为的长，
∵正方形的面积为，∴，又∵是等边三角形，∴，
∴的最小值为；故答案为：；
（4）解：如图，作垂足为与交于点，
∵四边形是菱形，∴，
∵，∴，∴是等边三角形，∵是中线，∴，
∴点关于的对称点在上，此时的最小，最小值为的长，
在中，∵，，，
∴，∴，∴的最小值是．故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形、轴对称—最短路径问题、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握轴对称—最短路径的确定方法、并灵活运用勾股定理是解本题的关键．
39．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）（1）的最小值为________；
（2）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合将军饮马和勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下：
①如图，作一条长为16的线段；②过C在线段上方作线段的垂线AC，便；过D在线段下方作线段的垂线，使；③在线段上任取一点O，设；
④根据勾股定理计算可得，________，________（请用含x的代数式表示，不需要化简）；
⑤则的最小值即为所求代数式的最小值，最小值为________．
（3）请结合第（2）问，直接写出的最小值________．
【答案】（1）9；（2）④，；（3）10．
【分析】（1）利用的算术平方根的非负性即可求解；
（2）④利用勾股定理建立等式即可；⑤连接，交于,根据两点间距离最短，此时取得最小值，延长于，使得，再利用勾股定理求解；
（3）直接仿照（2）中得解题思路画图，利用数形结合的思想求解．
【详解】解：（1）解：当时，取的最小值为9，故答案为：9；
（2）解：④，，
故答案为：，；
⑤连接，交于,根据两点间距离最短，此时取得最小值，
延长于，使得，如下图：

，为最小值，故答案为：；
（3）解：结合第（2）的解题方法，如下图：
设点表示，，则表示为的值，由（2）中得方法知的最小值为：，故答案为：10．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是读懂第（2）问中得解题方法，再利用方法求解．
40．（2023·吉林长春·校考二模）数学兴趣活动课上，小致将等腰的底边与直线重合．
（1）如图(1)，在中，，点在边所在的直线上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现的最小值是____________．
（2）为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小致发现，当最短时，如图(2)，在中，作平分交于点点分别是边上的动点，连结小致尝试探索的最小值，小致在上截取使得连结易证，从而将转化为转化到（1）的情况，则的最小值为 ；
（3）解决问题：如图(3)，在中，，点是边上的动点，连结将线段绕点顺时针旋转，得到线段连结，求线段的最小值．

【答案】（1）2；（2）；（3）3．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解即可；（2）根据小致的思路，把将转化为即P，E，N三点共线且时的值最小；（3）在上取一点，使得，连接，．由，推出，易知时，的值最小，求出的最小值即可解决问题．
【详解】（1）如图，过点A作，此时AP的值最小．
∵，，，故答案为：2．
（2）根据小致的思路作出图形，可知当时的值最小，如图：
∵，，∴，∵，∴，故答案为：．
（3）如图3中，在上取一点，使得，连接，．
，，，，，
，，，，
时，的值最小，最小值为3，的最小值为3．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．