2023成都中考数学真题 (含详细解析)

这是一份2023成都中考数学真题 (含详细解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A卷(共100分)
第Ⅰ卷(选择题，共32分)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求)
1. 在3，－7，0， eq \f(1,9) 四个数中，最大的数是( )
A. 3 B. －7 C. 0 D. eq \f(1,9)
2. 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星．北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3 000亿次．将数据3 000亿用科学记数法表示为( )
A. 3×108 B. 3×109
C. 3×1010 D. 3×1011
3. 下列计算正确的是( )
A. (－3x)2＝－9x2 B. 7x＋5x＝12x2
C. (x－3)2＝x2－6x＋9 D. (x－2y)(x＋2y)＝x2＋4y2
4. 近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局．如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景．下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数(AQI)：33，27，34，40，26，则这组数据的中位数是( )
A. 26 B. 27 C. 33 D. 34
5. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
第5题图
A. AC＝BD B. OA＝OC
C. AC⊥BD D. ∠ADC＝∠BCD
6. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要(试行)》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是( )
A. eq \f(1,2) B. eq \f(1,3) C. eq \f(1,4) D. eq \f(1,6)
7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为( )
A. eq \f(1,2) (x＋4.5)＝x－1 B. eq \f(1,2) (x＋4.5)＝x＋1
C. eq \f(1,2) (x＋1)＝x－4.5 D. eq \f(1,2) (x－1)＝x＋4.5
8. 如图，二次函数y＝ax2＋x－6的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点，下列说法正确的是( )
第8题图
A. 抛物线的对称轴为直线x＝1
B. 抛物线的顶点坐标为(－ eq \f(1,2) ，－6)
C. A，B两点之间的距离为5
D. 当x”或“x－1.②))
15. (本小题满分8分)
文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
第15题图
根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的师生共有________人，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；
(3)该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．
16. (新考法·真实问题情境) (本小题满分8分)
为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．
如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．(结果精确到0.1米；参考数据：sin 16°≈0.28，cs 16°≈0.96，tan 16°≈0.29)

第16题图
17. (本小题满分10分)
如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B＝∠ADE.
(1)求证：AC＝BC；
(2)若tan B＝2，CD＝3，求AB和DE的长．
第17题图
18. (本小题满分10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋5与y轴交于点A，与反比例函数y＝ eq \f(k,x) 的图象的一个交点为B(a，4)，过点B作AB的垂线l.
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m.若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．

第18题图
B卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
19. 若3ab－3b2－2＝0，则代数式(1－ eq \f(2ab－b2,a2) )÷ eq \f(a－b,a2b) 的值为________．
20. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有________个．
第20题图
21. 为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳________名观众同时观看演出．(π取3.14， eq \r(3) 取1.73)
第21题图
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G.若 eq \f(AG,GE) ＝ eq \f(7,3) ，则tan A＝________．
第22题图
23. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m－n>1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52－32，16就是一个智慧优数，可以利用m2－n2＝(m＋n)(m－n)进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是________；第23个智慧优数是________．
二、解答题(本大题共3个小题，共30分)
24. (本小题满分8分)
2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．
(1)求A，B两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
25. (本小题满分10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋c经过点P(4，－3)，与y轴交于点A(0，1)，直线y＝kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
(3)过点M(0，m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E.试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

第25题图
26. (新考法·综合与实践)(本小题满分12分)
探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且 eq \f(AD,BD) ＝ eq \f(1,n) (n为正整数)，E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F.
【初步感知】
(1)如图①，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：AE＋BF＝ eq \f(\r(2),2) AB，请写出证明过程．
【深入探究】
(2)①如图②，当n＝2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证明).
【拓展运用】
(3)如图③，连接EF，设EF的中点为M.若AB＝2 eq \r(2) ，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长(用含n的代数式表示).
第26题图
2023成都市高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试
数学解析
快速对答案
A卷
B卷
详解详析
A卷
一、选择题
1. A 2. D 3. C 4. C 5. B 6. B 7. A
8. C 【解析】∵二次函数y＝ax2＋x－6的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点，∴0＝9a－3－6，∴a＝1，∴二次函数解析式为y＝x2＋x－6＝(x＋ eq \f(1,2) )2 － eq \f(25,4) ，对称轴为直线x＝－ eq \f(1,2) ，顶点坐标为(－ eq \f(1,2) ，－ eq \f(25,4) )，故A，B选项不正确，不符合题意；∵a＝1>0，抛物线开口向上，当x 11. 3 12. (－5，－1)
13. eq \f(2,3) 【解析】由题意得∠BDE＝∠A，∴DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∵△BDE与四边形ACED的面积比为4∶21，∴ eq \f(S△BDE,S△BAC) ＝ eq \f(4,21＋4) ＝( eq \f(BE,BC) )2，∴ eq \f(BE,BC) ＝ eq \f(2,5) ，∴ eq \f(BE,CE) ＝ eq \f(2,3) .
三、解答题
14. 解：(1)原式＝2＋2× eq \f(\r(2),2) －1＋2－ eq \r(2) (4分)
＝3；(6分)
(2)解不等式①，得x≤1，(2分)
解不等式②，得x>－4，(4分)
∴原不等式组的解集为－40，∴y随x的增大而增大，
即当x＝24，36－x＝12时，y最小，(7分)
∴最少总费用为8×24＋1 080＝1 272(元).
答：当购买A种食材24千克，B种食材12千克时，总费用最少，最少总费用为1272元．(8分)
25. 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋c经过点P(4，－3)且与y轴交于点A(0，1)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(16a＋c＝－3,c＝1)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,4),c＝1)) ，
∴抛物线的函数表达式为y＝－ eq \f(1,4) x2＋1；(3分)
(2)设B(t，－ eq \f(1,4) t2＋1)，
根据题意，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，有两种情况：
①当AB＝AP时，点B和点P关于y轴对称，
∵P(4，－3)，∴B(－4，－3)；
②当AB＝BP时，则AB2＝BP2，
∴(t－0)2＋(－ eq \f(1,4) t2＋1－1)2＝(t－4)2＋(－ eq \f(1,4) t2＋1＋3)2，整理得t2＋4t－16＝0，(4分)
解得t1＝－2－2 eq \r(5) ，t2＝－2＋2 eq \r(5) .
当t＝－2－2 eq \r(5) 时，－ eq \f(1,4) t2＋1＝－ eq \f(1,4) ×(－2－2 eq \r(5) )2＋1＝－5－2 eq \r(5) ，B(－2－2 eq \r(5) ，－5－2 eq \r(5) ).(5分)
当t＝－2＋2 eq \r(5) 时，－ eq \f(1,4) t2＋1＝－ eq \f(1,4) ×(－2＋2 eq \r(5) )2＋1＝－5＋2 eq \r(5) ，B(－2＋2 eq \r(5) ，－5＋2 eq \r(5) )，(6分)
综上所述，满足题意的点B的坐标为(－4，－3)或(－2－2 eq \r(5) ，－5－2 eq \r(5) )或(－2＋2 eq \r(5) ，－5＋2 eq \r(5) )；
(3)存在常数m，使得OD⊥OE.理由如下：
设抛物线y＝－ eq \f(1,4) x2＋1与直线y＝kx(k≠0)的交点坐标为B(a，ka)，C(b，kb)，
由y＝－ eq \f(1,4) x2＋1＝kx得x2＋4kx－4＝0，
∴a＋b＝－4k，ab＝－4，设直线AB的表达式为y＝px＋q，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ap＋q＝ka,q＝1)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(p＝\f(ka－1,a),q＝1)) ，
∴直线AB的表达式为y＝ eq \f(ka－1,a) x＋1，
令y＝m，由y＝ eq \f(ka－1,a) x＋1＝m得x＝ eq \f(a（m－1）,ka－1) ，
∴D( eq \f(a（m－1）,ka－1) ，m).(7分)
同理可得直线AC的表达式为y＝ eq \f(kb－1,b) x＋1，则E( eq \f(b（m－1）,kb－1) ，m)，(8分)
过点E作EQ⊥x轴于点Q，过点D作DN⊥x轴于点N，
则∠EQO＝∠OND＝90°，EQ＝ND＝m，QO＝－ eq \f(b（m－1）,kb－1) ，ON＝ eq \f(a（m－1）,ka－1) ，
若OD⊥OE，则∠EOD＝90°，
∴∠QEO＋∠QOE＝∠DON＋∠QOE＝90°，
∴∠QEO＝∠DON，∴△EQO∽△OND，
∴ eq \f(EQ,ON) ＝ eq \f(QO,ND) ，∴ eq \f(m,\f(a（m－1）,ka－1)) ＝ eq \f(－\f(b（m－1）,kb－1),m) ，(9分)
整理得m2(ka－1)(kb－1)＝－ab(m－1)2，
即m2[abk2－k(a＋b)＋1]＝－ab(m－1)2，
将a＋b＝－4k，ab＝－4代入，得m2(－4k2＋4k2＋1)＝4(m－1)2，
第25题解图
即m2＝4(m－1)2，则m＝2(m－1)或m＝－2(m－1)，
解得m1＝2，m2＝ eq \f(2,3) .(10分)
综上所述，存在常数m.使得OD⊥OE，m的值为2或 eq \f(2,3) .
26. 【初步感知】
(1)证明：如解图①，连接CD，
第26题解图①
当n＝1时， eq \f(AD,BD) ＝1，即AD＝BD，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，CD⊥AB，∠FCD＝ eq \f(1,2) ∠ACB＝45°，
∴CD＝AD，∠A＝∠FCD，AB＝ eq \r(2) BC，
∴BC＝ eq \f(\r(2),2) AB，(1分)
∵DE⊥FD，∴∠ADE＋∠EDC＝∠FDC＋∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF.
在△ADE与△CDF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ADE＝∠CDF,DA＝DC,∠DAE＝∠DCF)) ，
∴△ADE≌△CDF(ASA)，(2分)
∴AE＝CF，∴BC＝CF＋BF＝AE＋BF＝ eq \f(\r(2),2) AB；(3分)
【深入探究】
(2)解：①AE＋ eq \f(1,2) BF＝ eq \f(\r(2),3) AB，证明如下：
如解图②，取BD的中点G，作HG∥BC，交DF于点J，交AC于点H，
第26题解图②
当n＝2时， eq \f(AD,DB) ＝ eq \f(1,2) ，即2AD＝DB.
∵G是DB的中点，∴AD＝DG，AG＝ eq \f(2,3) AB，
∵HG∥BC，∴∠AHG＝∠C＝90°，∠HGA＝∠B＝45°.
∵∠A＝45°，
∴△AHG是等腰直角三角形，∵△DJG∽△DFB，
∴ eq \f(JG,FB) ＝ eq \f(DG,DB) ＝ eq \f(1,2) ，(4分)
根据(1)中的结论可得AE＋JG＝ eq \f(\r(2),2) AG，
∴AE＋JG＝AE＋ eq \f(1,2) BF＝ eq \f(\r(2),2) AG＝ eq \f(\r(2),2) × eq \f(2,3) AB＝ eq \f(\r(2),3) AB.
∴线段AE，BF，AB之间的数量关系为AE＋ eq \f(1,2) BF＝ eq \f(\r(2),3) AB；(6分)
②当点F在射线BC上时，AE＋ eq \f(1,n) BF＝ eq \f(\r(2),n＋1) AB，当点F在CB延长线上时，AE－ eq \f(1,n) BF＝ eq \f(\r(2),n＋1) AB；(8分)
(解法提示)当点F在射线BC上时，如解图③，在DB上取一点G使得AD＝DG，过点G作HG∥BC，交DF于点J，交AC于点H，同①，可得AE＋JG＝ eq \f(\r(2),2) AG，∵ eq \f(AD,BD) ＝ eq \f(1,n) ，AD＝DG，∴ eq \f(DG,BD) ＝ eq \f(1,n) ，AG＝ eq \f(2,n＋1) AB，同①可得 eq \f(JG,FB) ＝ eq \f(DG,DB) ＝ eq \f(1,n) ，∴AE＋JG＝AE＋ eq \f(1,n) FB＝ eq \f(\r(2),2) AG＝ eq \f(\r(2),2) × eq \f(2,n＋1) AB＝ eq \f(\r(2),n＋1) AB，即线段AE，BF，AB之间数量关系为AE＋ eq \f(1,n) BF＝ eq \f(\r(2),n＋1) AB；
第26题解图③
当点F在CB延长线上时，如解图④，在DB上取一点G使得AD＝DG，过G作HJ∥BC，交DF于点J，交AC于点H，连接HD.同(1)中原理，可证明△DHE≌△DGJ(ASA)，∴HE＝GJ，可得AE－GJ＝AE－HE＝ eq \f(\r(2),2) AG，
∵ eq \f(AD,BD) ＝ eq \f(1,n) ，AD＝DG，∴ eq \f(DG,BD) ＝ eq \f(1,n) ，AG＝ eq \f(2,n＋1) AB，同①可得 eq \f(JG,FB) ＝ eq \f(DG,DB) ＝ eq \f(1,n) ，
∴AE－JG＝AE－ eq \f(1,n) FB＝ eq \f(\r(2),2) AG＝ eq \f(\r(2),2) × eq \f(2,n＋1) AB＝ eq \f(\r(2),n＋1) AB，即线段AE，BF，AB之间数量关系为AE－ eq \f(1,n) BF＝ eq \f(\r(2),n＋1) AB.综上所述，当点F在射线BC上时，AE＋ eq \f(1,n) BF＝ eq \f(\r(2),n＋1) AB；当点F在CB延长线上时，AE－ eq \f(1,n) BF＝ eq \f(\r(2),n＋1) AB.

第26题解图④
【拓展运用】
(3)解：如解图⑤，当E1与A重合时，取E1F1的中点M1，当E2与C重合时，取E2F2的中点M2，可得点M的轨迹长度即为M1M2的长度，
第26题解图⑤
如解图⑥，以点D为原点，DF1为y轴，DB为x轴建立平面直角坐标系，过点E2作AB的垂线段，交AB于点G，过点F2作AB的垂线段，交x轴于点H，
∵AB＝2 eq \r(2) ， eq \f(AD,DB) ＝ eq \f(1,n) ， ∴AD＝ eq \f(2\r(2),n＋1) ，DB＝ eq \f(2\r(2)n,n＋1) ，
∴E1(－ eq \f(2\r(2),n＋1) ，0)，
∵∠F1BD＝45°，∴F1D＝BD，∴F1(0， eq \f(2\r(2)n,n＋1) )，
∵M1是E1F1的中点，∴M1(－ eq \f(\r(2),n＋1) ， eq \f(\r(2)n,n＋1) )，(9分)
∵GB＝GC＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \r(2) ，∴DG＝DB－BG＝ eq \f(－\r(2)＋\r(2)n,n＋1) ，
∴E2( eq \f(－\r(2)＋\r(2)n,n＋1) ， eq \r(2) )，(10分)
根据(2)中的结论AE2－ eq \f(1,n) BF2＝ eq \f(\r(2),n＋1) AB，
∴BF2＝n(AE2－ eq \f(\r(2),n＋1) AB)＝ eq \f(2n2－2n,n＋1) ，
∴BH＝F2H＝ eq \f(\r(2),2) BF2＝ eq \f(\r(2)n2－\r(2)n,n＋1) ，∴DH＝DB＋BH＝ eq \r(2) n，
∴F2( eq \r(2) n，－ eq \f(\r(2)n2－\r(2)n,n＋1) )，(11分)
∴M2( eq \f(\r(2)n2＋2\r(2)n－\r(2),2n＋2) ， eq \f(－\r(2)n2＋2\r(2)n＋\r(2),2n＋2) )，∴M1M2＝ eq \r(n2＋1) .(12分)

第26题解图⑥一、选择题
1－5 ADCCB 6－8 BAC
二、填空题
9. m(m－3) 10. > 11. 3 12. (－5，－1) 13. eq \f(2,3)
三、解答题标准答案及评分标准：
14～18题见详解详析
一、填空题
19. eq \f(2,3) 20. 6 21. 184 22. eq \f(3\r(7),7) 23. 15；57
二、解答题标准答案及评分标准：
24～26题见详解详析