2024年河北省邯郸市中考一模数学试题（解析版）

这是一份2024年河北省邯郸市中考一模数学试题（解析版），共27页。

2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置．
3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题．
5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题有16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列四个数中，绝对值最大的是（ ）
A. B. 0C. 1.5D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查有理数大小比较和绝对值，能够准确求出正负数的绝对值是解答本题的关键．根据绝对值的概念直接作答即可．
【详解】解：的绝对值是3，
0的绝对值是0，
的绝对值是，
1.5的绝对值是1.5，
的绝对值最大．
故选：A．
2. 2023年12月18日，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震，截至12月20日上午9时，国家防灾减灾救灾委员会办公室、应急管理部已向地震灾区调拨棉帐篷、棉衣被、折叠床、取暖炉等共计13.55万件中央救灾物资．其中数据13.55万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：依题意，13.55万
故选：D
3. 不等式的解集表示在数轴上，你认为正确的是（ ）
A. B.

C.
D.

【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，数轴表示不等式．根据题意将不等式解出，再利用数轴表示即可．
【详解】解：，
即：，，
∴ ，
故选：A．
4. 一个几何体的主视图和左视图如图所示，该几何体可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，根据主视图可以看到左边有一层，中间有两层，右边有一层，根据左视图可得左边有一层，中间有两层，右边有一层，由此解答即可．
【详解】解：根据主视图可知，主视图可以看到左边有一层，中间有两层，右边有一层，根据左视图可得左边有一层，中间有两层，右边有一层，
∴四个选项中，只有D选项的几何体符合题意，
故选：D．
5. 抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，根据顶点式顶点坐标为，求解即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键．
【详解】解：的顶点坐标为，
故选：．
6. 某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果．
【详解】解：
∴
解得：,
丁同学是错的，
故选：D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
7. 若为正整数，则表示的值的点落在如图所示的区域（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】B
【解析】
【分析】先根据分式的混合计算法则求出，然后求出即可得到答案．
【详解】解：
，
∵为正整数，
∴，
∴，即，
∴，
∴表示的值的点落在如图所示的区域②，
故选B．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，不等式的性质，正确求出是解题的关键．
8. 如图，在中，分别以点为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点，作直线分别交边于点，连接．若的面积为7，的面积为2，则的面积为( )

A. 7B. 5C. 4D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图方法可知点D为的中点，再根据三角形中线平分三角形面积即可得到答案．
【详解】解：由尺规作图可知，是线段的垂直平分线，
点是的中点，
，
∵的面积为2，
，
的面积为5，
故选：B
【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
9. 如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点E在上，边、分别交于点H、K，若，则等于（ ）．

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行的性质可得，再根据四边形内角和为可得，问题随之得解．
【详解】∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行的性质以及四边形内角和为，掌握四边形内角和为是解答本题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点分别在反比例函数、的图象上，那么矩形的面积可用表示为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数确定出，，利用反比例函数比例系数的几何意义即可求解，熟知在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解题的关键．
【详解】解：如图：

∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形，是矩形，
在反比例函数中，
∵，，
∴，
∵点在反比例函数上，
∴，
在反比例函数中，
∵，，
∴，
∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
故选：C．
11. 如图，在中，，以为直径作圆，交于点，交于点，则弧的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接、和，得到，则有，即可求得，利用弧长公式即可求得答案．
【详解】解：连接、和，如图，
∵以为直径作圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则．
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆的相关知识，涉及直径所对圆周角为直角、等腰三角形的性质、圆周角定理和弧长公式，解题的关键是构造出与弧对应的圆心角利用弧长公式．
12. 上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，10时到达B处（如图）．从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么船在B处时与小岛M的距离（ ）
A. 海里B. 海里C. 40海里D. 海里
【答案】D
【解析】
【分析】过点B作于点N．根据三角函数求的长，从而求的长．
【详解】解：如图，过点B作于点N．
由题意得，海里，．
作于点．
中，海里．
在直角中，，则，
所以（海里）．
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理的应用等知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
13. 如图，点和分别是的内心和外心，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到两个角的关系可进一步得出结论．
【详解】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠IAB=∠CAB，∠IBA=∠CBA，
∴∠AIB=180°-（∠IAB+∠IBA）
=180°-（∠CAB+∠CBA），
=180°-（180°-∠C）
=90°+∠C，
∵
∴∠C=70°，
∵点O是△ABC的外心，
∴∠AOB=2∠C=140°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及三角形的内心的性质，正确利用∠C表示∠AIB的度数是关键．
14. 如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线与x轴交于点和点，
∴抛物线对称轴为直线，故②正确；
∴，
∴，
∴，故①错误；
由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方，
∴当时，，故③正确；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，
∴当时，抛物线有最大值，
∴，
∴，故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故选C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键．
15. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿向点C以的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，动点问题的函数图象，由题意得，根据三角形面积公式可得与的函数关系式，由此进行判断即可得是解题的关键．
【详解】由题意 ，则 ，
，
观察只有C选项符合，
故选C．
16. 如图所示的正六边形中，点M是边的中点，连接，相交于点N．若正六边形的面积为6，阴影部分①的面积为a，阴影部分②的面积为b，则的值是（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正六边形的性质．将所求面积与正六边形的面积建立联系是解题关键．根据，根据正六边形的性质分别求出 即可．
【详解】解：连接，如图所示：

由正六边形的对称性可知：
∴是全等的等边三角形
∴四边形是菱形
同理，
∵
∴
∵点是边的中点
∴
∵
∴
故选：B
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18、19小题各4分，每空2分）
17. 已知一个正边形的内角和与外角和的差为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，解一元一次方程，根据多边形的内角和公式，外角和等于列出方程求解即可，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是是解题的关键．
【详解】解：由题知，正边形的内角和为，正边形的外角和为，
又∵正边形的内角和与外角和的差为，
∴，
解得：，
故答案：．
18. 如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对应刻度．
（1）该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的______；
（2）数轴上点B所对应的数b为______．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴：
（1）先求出在数轴上点A和点C的距离为，再由刻度尺上点A与点C的距离除以数轴上点A和点C的距离即可得到答案；
（2）用刻度尺上点A与点B的距离除以得到数轴上点A和点B的距离即可得到答案．
【详解】解：（1）∵数轴上点A和点C表示的数分别为，3，
∴在数轴上点A和点C的距离为，
∵在刻度尺上数字0对齐数轴上的点A，点C对应刻度，
∴该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的，
故答案为：；
（2）∵在刻度尺上点B对应刻度，
∴在数轴上点A和点B的距离为，
∴数轴上点B所对应的数b为，
故答案为：．
19. 在平面直角坐标系中，已知点，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点．
（1）点的坐标为______；
（2）若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是______．
【答案】（1）；
（2）或．
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形的变化-平移，点平移的坐标规律，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是分和两种情况讨论．
（1）利用平移的性质可得出点的坐标；
（2）观察函数图象结合二点图象上点的坐标特征，分和两种情况讨论即可求解．
【小问1详解】
解： ∵点， 将点先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点，
∴点的坐标为即．
【小问2详解】
解：
∴抛物线的顶点坐标为：
由题意可知，抛物线恒过点，
①当时，如解图①所示，此时需满足
，
；
②当 时， 如解图②所示，此时需满足


综上所述，的取值范围是：或．
三、解答题（本大题共7个小题．共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是，请计算．
（2）如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【答案】（1）-9 （2）3
【解析】
【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；
（2）设被污染的数字为x，由题意，得，解方程即可；
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
设被污染的数字为x，
由题意，得，解得，
所以被污染的数字是3．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步骤是接替的关键．
21. 现有甲种正方形、乙种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图所示．某同学分别拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图1和图2，其面积分别为．
（1）请用含的式子分别表示；
（2）当时，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）分别把各部分面积相加即可；
（2）把与相加，再把代入计算即可．
【小问1详解】
，
；
【小问2详解】
当时，
．
22. 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：（优秀）；（良好）；（中）；（合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图．

（1）本次抽样调查的学生共有___________名；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？
（4）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）60 （2）见解析
（3）估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；
（4）所选2人恰好是一男一女的概率为．
【解析】
【分析】（1）根据A组人数以及百分比计算即可解决问题；
（2）求出C组人数，画出条形图即可解决问题；
（3）利用样本估计总体即可；
（4）先画出树状图，继而根据概率公式可求出两位参赛选手恰好是一男一女的概率．
【小问1详解】
解：（名）
答：本次抽样调查的学生共有60名；
故答案为：60；
【小问2详解】
解：C组人数：（名），
补全条形图如图所示：
；
【小问3详解】
解：估计本次竞赛获得B等级的学生有：（名），
答：估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；
【小问4详解】
解：画树状图如下：

机会均等的可能有12种，其中一男一女的有8种，
故被选中的两人恰好是一男一女的概率是：
【点睛】此题考查条形统计图和扇形统计图相关联，由样本估计总体，用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
23. 如图，一小球从斜坡上的点处抛出．球抛出的路线可以用图中的抛物线表示，并建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡所在直线解析式为，若小球到达最高点的坐标为，解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）在斜坡上的点有一个障碍物，点的横坐标为，障碍物的高度为，小球能否飞过这个障碍物？通过计算说明理由．
【答案】（1）
（2）小球不能飞过这个障碍物，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，
（1）设抛物线的表达式为，把代入即可得到答案；
（2）把分别代入和，即可得到答案；
利用数形结合与方程思想是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵该抛物线最高点的坐标为，
∴设，
∵在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
将代入，
得：，
将代入，
得：，
∴，
∵，
∴小球不能飞过这个障碍物．
24. 如图，是的直径，点C是弧的中点，过点C作于点E，连接．

（1）判断与的位置关系，并证明；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）与相切，证明见详解
（2）5
【解析】
【分析】（1）连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证；
（2）连接，由题意易得，然后设，进而问题可求解．
【小问1详解】
解：与相切，理由如下：
连接，如图所示：

∵点C是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵为的半径，
∴与相切；
【小问2详解】
解：连接，如图所示：

∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
设，则有：，
解得：（负根舍去），
∴，
∴的半径为5．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、切线的判定及三角函数，熟练掌握圆周角定理、切线的判定及三角函数是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，直线AB与y轴交于点C．
（1）求直线AB的函数表达式及线段AC的长；
（2）点B关于y轴的对称点为点．
①请直接写出点D的坐标为______；
②在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，请直接写出点E的横坐标为______．
【答案】（1）直线AB的函数表达式为，
（2）①，②或或或
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求解即可得出直线表达式，进而求出直线与坐标轴交点，利用勾股定理求出长即可；
（2）①根据点的对称性直接求解；②作出图形，分三种情况分类求解即可．
【小问1详解】
解：设直线AB的函数表达式为，
点A坐标为，点B坐标为，
，解得，即直线AB的函数表达式为，
直线AB与y轴交于点，
；
【小问2详解】
解：①点B 关于y轴的对称点为点，
故答案为： ；
②如图所示，分三种情况，利用勾股定理讨论：
过作的垂线，交于，
直线的表达式为，可设，
，
在中，，则，即，
整理得，解得，即；
过作的垂线，交于，
直线的表达式为，可设，
，
在中，，则，即，
整理得，解得，即；
以为直径作圆，交直线于点，则，
直线表达式为，设，
，
在中，，则，即，
整理得，解得或，即或 ，
综上所述，E的横坐标为或或或，
故答案为：或或或．
【点睛】本题考查一次函数综合问题，难度较大，涉及到待定系数法求表达式、勾股定理求线段长、点关于坐标轴对称、直角三角形存在的条件等知识点，熟练掌握相关知识并准确作出图形是解决问题的关键．
26. 如图，已知点是等边内一点，且，，．
（1）求的度数；
以下是甲，乙，丙三位同学的谈话：
甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将绕点顺时针旋转60°或绕点逆时针旋转60°；
乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转；
丙：我是将进行旋转．
请你借助甲，乙，丙三位同学提示，选择适当的方法求的度数；
（2）若改成，，，的度数＝______°，点到的距离为______；
类比迁移：
（3）已知，，，，，，求的度数．
【答案】（1）
（2），4.
（3）
【解析】
【分析】（1）甲：将绕点逆时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数．乙：将绕点顺时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数．
（2）利用（1）中的方法，同理可得，再由30度直角三角形性质可求点到的距离；
（3）利用（1）中的方法，将绕着点顺时针旋转，得到，同理可得，，由此即可求出．
【小问1详解】
解：（1）选择甲：如图1，作，且，连接，，则是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
；
乙：如图2，同理可得，，，
；
丙：如图3同理可得，，，
；
【小问2详解】
同理（1）可得：，
∴，
如图4，过点作的垂线，垂足为，
∴，
∴，
故答案为：，4.
【小问3详解】
如图5，将绕着点顺时针旋转，得到，连接，
∴，
，，
∴，
，
∴，
∴
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解．