[数学]2023高一下数学期各区期末数学考试试卷及答案（15区）

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一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
（ 1 ）D（ 2 ）C（ 3 ）B（ 4 ）A（ 5 ）B
（ 6 ）C（ 7 ）D（ 8 ）B（ 9 ）B（10）A
填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
（11）（12）（13），
（14）（答案不唯一）（15）①③④
注：第13题第一问2分，第二问3分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.
三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
（16）（本小题13分）
解：（Ⅰ）因为，，……………………1分
所以，. ……………………3分
又因为，所以.……………………5分
所以.……………………7分
（Ⅱ）……………………11分
. ……………………13分
（17）（本小题13分）
（Ⅰ）证明：因为为正方体，
所以平面.
因为平面，
所以. ……………………2分
因为为正方形，
所以， ……………………4分
又因为，所以平面.……………………6分
（Ⅱ）设，连接.
因为为正方体，
所以，且，
所以，且.……………………8分
因为，分别，的中点，
所以，且.……………………10分
所以，且.
所以四边形为平行四边形.
所以.……………………12分
又因为平面，平面，
所以平面.……………………13分
（18）（本小题14分）
解：（Ⅰ）由正弦定理，
得.……………………2分
所以.……………………4分
因为，所以，……………………5分
所以.
因为，，
所以，即.……………………6分
又因为，所以.……………………7分
（Ⅱ）选择①……………………8分
因为，即，……………………9分
即.
所以.……………………10分
又因为，即，……………………12分
所以.……………………13分
所以的周长为.……………………14分
选择= 3 \* GB3③……………………8分
因为边上的高线长为，即 .……………………9分
所以.……………………10分
又因为，即.……………………12分
所以.……………………13分
所以的周长为.……………………14分
（19）（本小题15分）
解：（Ⅰ）……………………2分
（Ⅱ）……………………4分
……………………6分
由，，……………………8分
得.
所以的单调递增区间是.……………………9分
（Ⅲ）因为，所以.……………………11分
依题意.……………………13分
解得.
所以的取值范围为.……………………15分
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为四边形为正方形，所以 .
因为平面平面,平面平面,,
所以平面.……………………2分
又，
所以.……………………4分
（Ⅱ）因为平面平面，平面平面=,
平面平面=，
所以， ……………………6分
又因为为的中点，
所以为线段中点. ……………………7分
到平面的距离为.……………………9分
（Ⅲ）存在，为中点. ……………………10分
连接交于点,连接.
因为,并且,
所以四边形为平行四边形,所以.
又因为为中点,
所以.……………………11分
因为平面平面,平面平面=,
又平面，由已知，
所以平面,……………………12分
所以平面, ……………………13分
又因为平面,
所以平面平面.……………………14分
所以存在点, 使得平面⊥平面，.……………………15分
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ）① 否；②是. ……………………4分
（Ⅱ）因为为阶梯函数，所以对任意有：
.
……………………6分
所以，对任意，，……………………7分
因为是最小正周期为的周期函数，
又因为，所以，. ……………………9分
（Ⅲ）.……………………10分
函数，则有：
，
.
……………………12分
取，则有：
，，
……………………13分
由于在上单调递减，因此在上单调递减，
结合，则有：
在上有唯一零点，在上有唯一零点.
又由于，则对任意，有：
，，
因此，对任意，在上有且仅有两个零点：
，.
综上所述，存在，使得在上有个零点：
，，，，…，，，
其中，.……………………15分