四川省成都市石室中学2024届高三下学期高考适应性考试（二）理科数学试卷

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第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合，，则
A．，B．，C．，D．，
2．已知复数，，为虚数单位），其在复平面内对应向量的模为2，则的最大值为
A．2B．3C．D．
3．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计折线图如图，记甲、乙二人成绩的平均数为，，标准差为，，则
A．，B．，
C．，D．，
4．若、为不垂直的异面直线，是一个平面，则、在上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及直线外一点．
其中，正确结论的序号是
A．①②③ B．②③④ C．①③④D．①②④
5．如果执行如图所示的程序框图，输入正整数和实数，，，，输出，，则
A．和分别是，，，中最小的数和最大的数
B．和分别是，，，中最大的数和最小的数
C．为，，，的算术平均数
D．为，，，的和
6.成都石室中学从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有
A．40种 B．60种C．100种D．120种
7．在平面直角坐标系中，质点在圆心为半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为1，那么点到轴的距离关于时间的函数的图象大致为
A．B．C．D．
8．某随机模拟的步骤为：①利用计算器或计算机产生两组区间的均匀随机数，，；②进行平移和伸缩变换，，；③共做了次试验，数出满足条件的点的个数．则
A．B．C．D．
9．一边长为4的正方形，为的中点，将，分别沿，折起，使，重合，得到一个四面体，则该四面体外接球的表面积为
A．B．C．D．
10．已知，则的值为
A．1B．C．2D．
11．已知圆在椭圆的内部，点为上一动点．过作圆的一条切线，交于另一点，切点为，当为的中点时，直线的斜率为，则的离心率为
A．B．C．D．
12．已知函数的定义域为，且，若，则下列错误的是
A．B．
C．函数是偶函数D．函数是减函数
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.
13．已知向量满足，且是单位向量，若，则 ．
14．关于双曲线，四位同学给出了四个说法：
小明：双曲线的实轴长为8；小红：双曲线的焦点到渐近线的距离为3；
小强：双曲线的离心率为；小同：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1；
若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是 ．（横线上填“小明”、“小红”、“小强”或“小同”）
15．已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 .
16．定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”．如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，．分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，则平面区域D的“直径”的取值范围是___________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，证明．
18. (本小题满分12分)
如图，在三棱锥中，，为的中点，于，，已知，，，．
（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
19. (本小题满分12分)
某机构为了解2023年当地居民网购消费情况，随机抽取了100人，对其2023年全年网购消费金额（单位：千元）进行了统计，所统计的金额均在区间，内，并按，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中的值；
（2）若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全列联表，并判断是否有的把握认为样本数据中网购迷与性别有关系？说明理由．
（3）若甲、乙两位网购迷网购时支付方式采用软件支付分概率分别为，采用其它支付方式的概率分别为，且甲、乙两人网购时采用支付方式相互独立．在甲、乙各自独立完成的2次网购中，记甲、乙两人支付方式采用支付的次数分别为，，令，求的分布列和数学期望
下面的临界值表仅供参考：
（参考公式：，其中
20．（本小题满分12分）
已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知直线过定点，动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)点，，为上的两个动点，若，，恰好为平行四边形的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在上，记平行四边形的面积为，求证：.
（二）选考题:共10分.请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（t为参数）．
(1)写出及的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求与交点的极坐标．
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若的最小值为，正实数a，b，c满足，求证:
男
女
合计
网购迷
20
非网购迷
47
合计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828