2022-2023学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0}，则A∪B＝（ ）
A．{﹣1，1，2}B．{0，1，2}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1，2}
2．（3分）复数﹣1﹣2i（i为虚数单位）的虚部是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
3．（3分）函数f(x)=(x-12)12的定义域是（ ）
A．(-∞，12)B．[12，+∞)C．{-∞，-12}D．[-12，+∞)
4．（3分）已知tanα＝﹣1，α∈（0，π]，那么α的值等于（ ）
A．π6B．π4C．π3D．3π4
5．（3分）某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如表：
如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是（ ）
A．0.57B．0.33C．0.24D．0.19
6．（3分）已知向量a→=（x，2），b→=（3，6），a→⊥b→，则实数x的值为（ ）
A．1B．﹣4C．4D．﹣1
7．（3分）球的半径是R＝3，则该球的体积是（ ）
A．36πB．20πC．25πD．30π
8．（3分）对数lga与lgb互为相反数，则有（ ）
A．a+b＝0B．a﹣b＝0C．ab＝1D．ab=1
9．（3分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；…；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n的最大值为（ ）（参考数据：1.57≈17.1，1.58≈25.6，1.59≈38.4，1.510≈57.7）
A．7B．8C．9D．10
10．（3分）已知a，b为非零实数，则“a＞b”是“1a＜1b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11．（3分）在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AD→=12AB→+34AC→，则直线AD通过△ABC的（ ）
A．垂心B．外心C．重心D．内心
12．（3分）已知函数f（x）的定义域为R，f(x+12)为奇函数，且对于任意x∈R，都有f（2﹣3x）＝f（3x），则下列结论中一定成立的是（ ）
A．f（1﹣x）＝f（x）B．f（3x+1）＝f（3x）
C．f（x﹣1）为偶函数D．f（3x）为奇函数
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）
（多选）13．（4分）下列函数是增函数的是（ ）
A．y＝x3B．y＝x2C．y=x12D．y＝﹣x﹣1
（多选）14．（4分）已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题不正确的是（ ）
A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线
B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线
C．平面α内的任意一条直线必垂直于平面β
D．过平面α内的任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β
（多选）15．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．以下列选项为条件，一定可以推出A=π3的有（ ）
A．a＝7，b＝8，c＝5B．a=3，b=2，B=π4
C．sinBsinC=34D．2sin2B+C2+cs2A=1
（多选）16．（4分）如图，在棱长为2的正方体AC′中，点E为CC′的中点，点P在线段A′C′（不包含端点）上运动，记二面角P﹣AB﹣D的大小为α，二面角P﹣BC﹣D的大小为β，则（ ）
A．异面直线BP与AC所成角的范围是(π3，π2]
B．tan（α+β）的最小值为-43
C．当△APE的周长最小时，三棱锥B﹣AEP的体积为109
D．用平面BEP截正方体AC′，截面的形状为梯形
三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）
17．（6分）已知函数f(x)=2x，x≤0f(x-2)，x＞0，则f（﹣1）＝ ，f（lg23）＝ ．
18．（3分）在生活中，我们经常可以看到这样的路障，它可以近似地看成由一个直八棱柱、一个圆柱与一个圆台组合而成，其中圆台的上底面直径为4cm，下底面直径为40cm，高为80cm．为了起到夜间行车的警示作用，现要在圆台侧面涂上荧光材料，则涂料部分的面积为 cm2．
19．（3分）已知正实数x，y满足xy﹣x﹣2y＝0，则x+y的最小值是 ．
20．（3分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A＝sin2B+sinBsinC，则cb的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共3小题，共33分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
21．（11分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A款订餐软件的商家中随机抽取100个商家，对它们的“平均配送时间”进行统计，所有数据均在[10，70]范围内，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值；
（2）试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均配送时间”的第20百分位数．
22．（11分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）．其中ω＞0．若f（x）的最小正周期为π，且f(π2)=f(2π3)；
（1）求ω，φ的值；
（2）若|φ|＜π2，求f（x）在区间[-π3，π6]上的值域．
23．（11分）已知函数f(x)=lgax+ax+1x+1(x＞0)，其中a＞1．
（1）若a＝2，求f(14)的值；
（2）判断函数f（x）的零点个数，并说明理由；
（3）设f（x0）＝0，求证：12＜f(x0)＜a+12．
五、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分）
（多选）24．（5分）抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A＝“第一次正面朝上”，事件B＝“第二次正面朝上”，则（ ）
A．P(A)=12
B．P(A+B)=34
C．事件A与事件B互斥
D．事件A与事件B相互独立
（多选）25．（5分）已知平面向量a→，b→满足|a→|=1，|b→|=2，则（ ）
A．|a→+b→|的最大值为3B．|a→-b→|的最大值为3
C．|a→+b→|+|a→-b→|的最大值为6D．|a→+b→|-|a→-b→|的最大值为2
（多选）26．（5分）已知函数f（x）＝sinx，g（x）＝csx，若θ满足，对∀x1∈[0，π2]，都∃x2∈[-π2，0]使得2f（x1）＝2g（x2+θ）+1成立，则θ的值可能为（ ）
A．πB．5π6C．2π3D．π2
（多选）27．（5分）已知正实数a、b、c满足lg3a＝lg5b，lg3b＝lg5c，其中a＞1，则（ ）
A．lgab＝lg35B．a＞b＞c
C．ac＞b2D．2a+2c＞2b+1
六、解答题（本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）
28．（15分）如图，正四棱锥P﹣ABCD的高为22，体积为823．
（1）求正四棱锥P﹣ABCD的表面积；
（2）若点E为线段PB的中点，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值；
（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
29．（15分）已知定义在R上的函数f（x）＝﹣x2+x|x﹣a|，其中a为实数．
（1）当a＝3时，解不等式f（x）≥﹣2；
（2）若函数f（x）在[﹣1，1]上有且仅有两个零点，求a的取值范围；
（3）对于a∈[4，+∞），若存在实数x1，x2（x1＜x2），满足f（x1）＝f（x2）＝m，求x12+mx2x1x2的取值范围．（结果用a表示）
2022-2023学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.
1．（3分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0}，则A∪B＝（ ）
A．{﹣1，1，2}B．{0，1，2}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1，2}
【解答】解：因为A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0}，
所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}．
故选：D．
2．（3分）复数﹣1﹣2i（i为虚数单位）的虚部是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【解答】解：因为复数﹣1﹣2i，
所以复数﹣1﹣2i（i为虚数单位）的虚部是﹣2．
故选：A．
3．（3分）函数f(x)=(x-12)12的定义域是（ ）
A．(-∞，12)B．[12，+∞)C．{-∞，-12}D．[-12，+∞)
【解答】解：因为f(x)=(x-12)12=x-12，
所以x-12≥0，则x≥12，
所以f（x）的定义域为[12，+∞)．
故选：B．
4．（3分）已知tanα＝﹣1，α∈（0，π]，那么α的值等于（ ）
A．π6B．π4C．π3D．3π4
【解答】解：∵已知tanα＝﹣1，且α∈[0，π），故α的终边在射线 y＝﹣x（x≤0）上，
∴α=3π4，
故选：D．
5．（3分）某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如表：
如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是（ ）
A．0.57B．0.33C．0.24D．0.19
【解答】解：由已知统计表可知在1000名志愿者中，
服药后出现体重减轻的人数为241人，
因此服药后出现体重减轻的频率为2411000=0.241≈0.24．
故选：C．
6．（3分）已知向量a→=（x，2），b→=（3，6），a→⊥b→，则实数x的值为（ ）
A．1B．﹣4C．4D．﹣1
【解答】解：∵a→=（x，2），b→=（3，6），a→⊥b→，
∴3x+2×6＝0，即x＝﹣4．
∴实数x的值为﹣4．
故选：B．
7．（3分）球的半径是R＝3，则该球的体积是（ ）
A．36πB．20πC．25πD．30π
【解答】解：∵R＝3，
∴该球的体积V=43πR3＝36π．
故选：A．
8．（3分）对数lga与lgb互为相反数，则有（ ）
A．a+b＝0B．a﹣b＝0C．ab＝1D．ab=1
【解答】解：∵lga＝﹣lgb
∴lga+lgb＝0
∴lg（ab）＝0
∴ab＝1
故选：C．
9．（3分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；…；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n的最大值为（ ）（参考数据：1.57≈17.1，1.58≈25.6，1.59≈38.4，1.510≈57.7）
A．7B．8C．9D．10
【解答】解：第一次操作去掉的线段长度为13，
第二次操作去掉的线段长度之和为23×13，
第三次操作去掉的线段长度之和为23×23×13，
…，
第n次操作去掉的线段长度之和为(23)n-1⋅13，
由题意知，(23)n-1⋅13≥160，则(23)n≥130，
则(32)n≤30，
因为32＞1，
所以指数函数y=(32)x为增函数，
又1.58≈25.6，1.59≈38.4，n∈N*，
所以n＝8，
故选：B．
10．（3分）已知a，b为非零实数，则“a＞b”是“1a＜1b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当a＞0＞b时，1a＞0＞1b，所以由a＞b得不出1a＜1b，
若1a＜1b，则1a-1b=b-aab＜0，若ab＜0，则b﹣a＞0，即a＜b，
所以由1a＜1b得不出a＞b，
所以“a＞b”是“1a＜1b”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
11．（3分）在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AD→=12AB→+34AC→，则直线AD通过△ABC的（ ）
A．垂心B．外心C．重心D．内心
【解答】解：∵|AB|＝3，|AC|＝2
∴|12AB→|＝|34AC→|=32．
设AE→=12AB→，AF→=34AC→，
则|AE→|＝|AF→|，
∴AD→=12AB→+34AC→=AE→+AF→．
由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF为菱形．
∴AD为菱形的对角线，
∴AD平分∠EAF．
∴直线AD通过△ABC的内心．
故选：D．
12．（3分）已知函数f（x）的定义域为R，f(x+12)为奇函数，且对于任意x∈R，都有f（2﹣3x）＝f（3x），则下列结论中一定成立的是（ ）
A．f（1﹣x）＝f（x）B．f（3x+1）＝f（3x）
C．f（x﹣1）为偶函数D．f（3x）为奇函数
【解答】解：由f(x+12)是奇函数，得f(x+12)=-f(-x+12)，即f（x）＝﹣f（1﹣x），选项A错误；
由f（2﹣3x）＝f（3x），得f（2﹣x）＝f（x），所以f（2﹣x）＝﹣f（1﹣x），即f（x+1）＝﹣f（x），则f（3x+1）＝﹣f（3x），B错；
由f（x+1）＝﹣f（x）可得f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x）可得函数f（x）的周期为T＝2，
f（x）＝﹣f（1﹣x）与f（x+1）＝﹣f（x）可得f（x+1）＝f（1﹣x），即函数f（x）的图象关于x＝1对称，
根据周期为2可得函数f（x）的图象关于x＝﹣1对称，即f（﹣1+x）＝f（﹣1﹣x），所以f（x﹣1）为偶函数，C正确；
因为f（2﹣3x）＝f（3x）且函数f（x）的周期为T＝2，所以f（2﹣3x）＝f（﹣3x）＝f（3x），f（3x）为偶函数，故选项D错误．
故选：C．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）
（多选）13．（4分）下列函数是增函数的是（ ）
A．y＝x3B．y＝x2C．y=x12D．y＝﹣x﹣1
【解答】解：对于A，函数y＝x3的定义域为R，
函数y＝x3在R上单调递增，A正确；
对于B，函数y＝x2的定义域为R，
函数y＝x2在（﹣∞，0]上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，B错误；
对于C，函数y=x12的定义域为[0，+∞），
函数y=x12在[0，+∞）上单调递增，C正确；
对于D，函数y＝﹣x﹣1的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
函数y＝﹣x﹣1在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递增，
但f（﹣1）＝﹣1＞1＝f（1），D错误；
故选：AC．
（多选）14．（4分）已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题不正确的是（ ）
A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线
B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线
C．平面α内的任意一条直线必垂直于平面β
D．过平面α内的任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β
【解答】解：对于A，平面α内取平行于交线的直线时，该直线与平面β平行，不垂直于平面β内的任意一条直线，故A错误；
对于B，取平面β内无数条与交线垂直的直线，平面α内的已知直线与这无数条直线垂直，故B正确；
对于C，平面α内取与l平行的直线，不垂直于平面β，故C错误；
对于D，若α内的任意一点取在交线l上，所作垂线可能不在平面α内，所以不一定垂直于平面β，故D错误．
故选：ACD．
（多选）15．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．以下列选项为条件，一定可以推出A=π3的有（ ）
A．a＝7，b＝8，c＝5B．a=3，b=2，B=π4
C．sinBsinC=34D．2sin2B+C2+cs2A=1
【解答】解：对于A，由余弦定理可得csA=b2+c2-a22bc=64+25-492×8×5=12，又A∈（0，π），
所以A=π3，A正确；
对于B，由正弦定理可得asinA=bsinB，又a=3，b=2，B=π4，
所以sinA=3×222=32，又A∈（0，π），
所以A=π3或A=2π3，B错误；
对于C，取B=π2，C为锐角，且sinC=34，
可得A为锐角，且csA=34，此时A≠π3，C错误；
对于D，由2sin2B+C2+cs2A=1可得2sin2(π2-A2)+cs2A=1，
所以cs2A=1-2sin2(π2-A2)=cs(π-A)=-csA，
所以2cs2A+csA﹣1＝0，解得csA=12或csA＝﹣1（舍），
又A∈（0，π），所以A=π3，D正确．
故选：AD．
（多选）16．（4分）如图，在棱长为2的正方体AC′中，点E为CC′的中点，点P在线段A′C′（不包含端点）上运动，记二面角P﹣AB﹣D的大小为α，二面角P﹣BC﹣D的大小为β，则（ ）
A．异面直线BP与AC所成角的范围是(π3，π2]
B．tan（α+β）的最小值为-43
C．当△APE的周长最小时，三棱锥B﹣AEP的体积为109
D．用平面BEP截正方体AC′，截面的形状为梯形
【解答】解：对于A，因为AC∥A′C′，
所以异面直线BP与AC所成角为∠BPA′或∠BPC′中的锐角或直角，
又BA′＝A′C′＝BC′，
所以△BA′C′为等边三角形，
因为点P在线段A′C′（不包含端点）上运动，
所以当P为线段A′C′的中点时，∠BPA'=∠BPC'=π2，
此时异面直线BP与AC所成角为π2，
当点P趋近A′或C′时，异面直线BP与AC所成角趋近π3，
所以异面直线BP与AC所成角的范围是(π3，π2]，选项A正确；
对于B，过点P作PF∥A′A，PF∩AC＝F，
因为A′A⊥平面ABCD，
所以PF⊥平面ABCD，
过点F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足为G，H，
所以∠PGF为二面角P﹣AB﹣D的平面角，∠PHF为二面角P﹣BC﹣D的平面角，
故∠PGF＝α，∠PHF＝β，
设A'P=2x，则FG＝AG＝x，GB＝FH＝2﹣x，0＜x＜2，
所以tanα=PFGF=2x，tanβ=PFFH=22-x，
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=2x+22-x1-2x×22-x=42x-x2-4，
因为0＜x＜2，
所以2x﹣x2﹣4∈（﹣4，﹣3]，
所以tan(α+β)=42x-x2-4∈[-43，-1)，
所以当x＝1时，tan（α+β）取最小值，最小值为-43，选项B正确；
对于C，延长EC′到点M，使得EC′＝MC′，则PE＝PM，
所以AP+PE+AE＝AP+PM+AE≥AM+AE，
当且仅当A，P，M三点共线时等号成立，
所以当点P为线段AM与A′C′的交点时，△APE的周长最小，
因为PC′∥AC，
所以△PC′M∽△ACM，
所以PC'AC=MC'MC=13，
又AC=22，
所以PC'=223，
所以△APE的面积S=SACC'A'-S△ACE-S△EC'P-S△AA'P=42-2-23-423=423，
又BO⊥AC，BO⊥AA′，AC∩AA′＝A，AC，AA′⊂平面ACC′A′，
所以BO⊥平面ACC′A′，
所以点B到平面APE的距离为BO，
所以当△APE的周长最小时，三棱锥B﹣AEP的体积为V=13×423×2=89，选项C错误；
对于D，延长BE，B′C′，两直线交于点Q，连接PQ，
设PQ∩C′D′＝S，PQ∩A′B′＝T，连接BT，SE，
因为平面ABB′A′∥平面DCC′D′，
平面BEP∩平面ABB′A′＝BT，平面BEP∩平面DCC′D′＝ES，
所以BT∥ES，
又BT≠ES，
所以四边形BEST为梯形，
所以用平面BEP截正方体AC′，截面的形状为梯形，D正确．
故选：ABD．
三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）
17．（6分）已知函数f(x)=2x，x≤0f(x-2)，x＞0，则f（﹣1）＝ 12 ，f（lg23）＝ 34 ．
【解答】解：因为f(x)=2x，x≤0f(x-2)，x＞0，则f(-1)=2-1=12；
因为1＝lg22＜lg23＜lg24＝2，所以，﹣1＜lg23﹣2＜0，
所以，f(lg23)=f(lg23-2)=2lg23-2=2lg2322=34．
故答案为：12；34．
18．（3分）在生活中，我们经常可以看到这样的路障，它可以近似地看成由一个直八棱柱、一个圆柱与一个圆台组合而成，其中圆台的上底面直径为4cm，下底面直径为40cm，高为80cm．为了起到夜间行车的警示作用，现要在圆台侧面涂上荧光材料，则涂料部分的面积为 1804π cm2．
【解答】解：作圆台的轴截面如下：
过点A作AE⊥BC，垂足为E，
由已知，AE＝80，BE=12×(40-4)=18，
所以AB=AE2+BE2=82，
所以圆台的母线长为82cm，
由已知圆台的上底半径为2cm，下底半径为20cm，
所以圆台的侧面积S＝π×（2+20）×82＝1804π（cm2）．
故答案为：1804π．
19．（3分）已知正实数x，y满足xy﹣x﹣2y＝0，则x+y的最小值是 3+22 ．
【解答】解：因为xy﹣x﹣2y＝0，
所以x+2y＝xy，
所以2x+1y=1，
所以x+y=(x+y)(2x+1y)=2+xy+2yx+1≥3+2xy⋅2yx=3+22，
当且仅当xy=2yx，2x+1y=1时等号成立，即x=2+2，y=2+1时等号成立，
所以x+y的最小值是3+22．
故答案为：3+22．
20．（3分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A＝sin2B+sinBsinC，则cb的取值范围为 （1，2） ．
【解答】解：因为sin2A＝sin2B+sinBsinC，由正弦定理可得a2＝b2+bc，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsA，所以bc＝c2﹣2bccsA，即b＝c﹣2bcsA，
由正弦定理可得sinB＝sinC﹣2sinBcsA，
所以sinB＝sin（A+B）﹣2sinBcsA，
即sinB＝sinAcsB+csAsinB﹣2sinBcsA，
所以sinB＝sin（A﹣B），
因为0＜A＜π2，0＜B＜π2，所以-π2＜A-B＜π2，
所以B＝A﹣B，即A＝2B，所以C＝π﹣3B，
由△ABC为锐角三角形，所以0＜A=2B＜π2，0＜C=π-3B＜π2，可得π6＜B＜π4，
所以22＜csB＜32，12＜cs2B＜34，
由正弦定理得cb=sinCsinB=sin3BsinB=sin(2B+B)sinB=sin2BcsB+cs2BsinBsinB
＝2cs2B+cs2B＝4cs2B﹣1∈（1，2），
即cb的取值范围为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
四、解答题（本大题共3小题，共33分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
21．（11分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A款订餐软件的商家中随机抽取100个商家，对它们的“平均配送时间”进行统计，所有数据均在[10，70]范围内，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值；
（2）试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均配送时间”的第20百分位数．
【解答】解：（1）依题意可得（0.004+0.02+0.056+a+0.004+0.002）×10＝1，
解得a＝0.014．
（2）因为0.04＜0.2＜0.04+0.2，所以第20百分位数位于[20，30）之间，
设为x，则0.04+（x﹣20）×0.02＝0.2，解得x＝28，
故第20百分位数为28．
22．（11分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）．其中ω＞0．若f（x）的最小正周期为π，且f(π2)=f(2π3)；
（1）求ω，φ的值；
（2）若|φ|＜π2，求f（x）在区间[-π3，π6]上的值域．
【解答】解：（1）因为f（x）＝sin（ωx+φ）的最小正周期为π，ω＞0，
所以2πω=π，所以ω＝2，
所以f（x）＝sin（2x+φ），
因为f(π2)=f(2π3)，
所以sin(π+φ)=sin(4π3+φ)，
所以-sinφ=-32csφ-12sinφ，
所以tanφ=3，
所以φ=kπ+π3，k∈Z，
（2）由（1）φ=kπ+π3，k∈Z，又|φ|＜π2，
所以φ=π3，
所以f(x)=sin(2x+π3)，
由已知-π3≤x≤π6，所以-π3≤2x+π3≤2π3，
所以-32≤sin(2x+π3)≤1，
所以f（x）在区间[-π3，π6]上的值域为[-32，1]．
23．（11分）已知函数f(x)=lgax+ax+1x+1(x＞0)，其中a＞1．
（1）若a＝2，求f(14)的值；
（2）判断函数f（x）的零点个数，并说明理由；
（3）设f（x0）＝0，求证：12＜f(x0)＜a+12．
【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）=lg2x+2x+1x+1（x＞0），
∴f(14)=lg214+2×14+114+1=-710；
（2）f'(x)=1xlna+a-1(x+1)2，
∵a＞1，x+1＞1，
∴lna＞0，1(x+1)2＜1＜a，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵a＞1，
∴1a2＜1，a2a2+1＜1，
则f(1a2)=-2+1a+a2a2+1＜0，
又f(1)=a+12＞0，
由函数零点存在性定理可知，f（x）在（0，+∞）内有唯一零点；
（3）证明：由（2）可知，x0∈(1a2，1)，
∵f(x0)=lgax0+ax0+1x0+1=0，
∴lgax0=-ax0-1x0+1，
∴f(x0)=12lgax0+ax0+1x0+1=-12ax0-12(x0+1)+ax0+1x0+1，
令x0=t，
则f(t)=-12at2-12(t2+1)+at+1t+1=-a2[(t-1)2-1]+2t2-t+12(t2+1)(t+1)，t∈(1a，1)，
令g(t)=-a2[(t-1)2-1]，
∵2t2-t+12(t2+1)(t+1)=2[(t-14)2+716]2(t2+1)(t+1)＞0，
∴f（t）＞g（t），
易知g（t）在(1a，1)上单调递增，
又a＞1，12a＜12，
∴f(t)＞g(t)＞g(1a)=-a2[(1a-1)2-1]=1-12a＞12，
∵g(t)=-a2[(t-1)2-1]＜g(1)=a2，
∴要证f(t)＜a+12，只需证2t2-t+12(t2+1)(t+1)＜12，
即证2t2﹣t+1＜（t2+1）（t+1），
令h（t）＝（t2+1）（t+1）﹣（2t2﹣t+1）＝t3﹣t2+2t，
∵h'(t)=3t2-2t+2=3[(t-13)2+59]＞0，
∴h（t）在（0，1）单调递增，
∴h（t）＞h（0）＝0，即（t2+1）（t+1）＞2t2﹣t+1，即f(t)＜a+12．
综上，12＜f(t)＜a+12，即12＜f(x0)＜a+12．
五、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分）
（多选）24．（5分）抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A＝“第一次正面朝上”，事件B＝“第二次正面朝上”，则（ ）
A．P(A)=12
B．P(A+B)=34
C．事件A与事件B互斥
D．事件A与事件B相互独立
【解答】解：对于A，试验的样本空间为：Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，共4个样本点，
所以P(A)=12，故P(A)=12，故A正确；
对于B，试验的样本空间为：Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，共4个样本点，事件A+B含有（正，正），（正，反），（反，正），这三种结果，故P(A+B)=34，故B正确；
对于C，A＝{（正，正），（正，反）}，B＝{（正，正），（反，正）}，显然事件A，事件B都含有“（正，正）这一结果，事件A，事件B能同时发生，因此事件A与事件B不互斥，故C不正确；
对于D，P(A)=12，P(B)=12，P(AB)=14，所以P（AB）＝P（A）P（B），
所以事件A与事件B为相互独立事件，故D正确．
故选：ABD．
（多选）25．（5分）已知平面向量a→，b→满足|a→|=1，|b→|=2，则（ ）
A．|a→+b→|的最大值为3B．|a→-b→|的最大值为3
C．|a→+b→|+|a→-b→|的最大值为6D．|a→+b→|-|a→-b→|的最大值为2
【解答】解：设a→，b→的夹角为θ，θ∈[0，π]，|a→|=1，|b→|=2，a→⋅b→=|a→||b→|csθ=2csθ，
∵|a→+b→|=(a→+b→)2=a→2+2a→⋅b→+b→2=5+4csθ，
∵θ∈[0，π]，∴csθ∈[﹣1，1]，
∴当csθ＝1时，|a→+b→|有最大值3，故A正确；
∵|a→-b→|=(a→-b→)2=a→2-2a→⋅b→+b→2=5-4csθ，
∵θ∈[0，π]，∴csθ∈[﹣1，1]，
∴当csθ＝﹣1时，|a→-b→|有最大值3，故B正确；
∵|a→+b→|-|a→-b→|=5+4csθ-5-4csθ，
要使|a→+b→|-|a→-b→|取最大值，只需考虑|a→+b→|-|a→-b→|≥0的情形，
此时(|a→+b→|-|a→-b→|)2=10-225-16cs2θ，
∵θ∈[0，π]，∴cs2θ∈[0，1]，
∴当cs2θ＝1时，(|a→+b→|-|a→-b→|)2有最大值10﹣2×3＝4，
所以|a→+b→|-|a→-b→|的最大值为2，故D正确．
∵|a→+b→|+|a→-b→|=5+4csθ+5-4csθ，
∴(|a→+b→|+|a→-b→|)2=10+225-16cs2θ，
∵θ∈[0，π]，∴cs2θ∈[0，1]，
∴当cs2θ＝0时，(|a→+b→|+|a→-b→|)2有最大值10+2×5＝20，
所以|a→+b→|+|a→-b→|的最大值为25，故C错误．
故选：ABD．
（多选）26．（5分）已知函数f（x）＝sinx，g（x）＝csx，若θ满足，对∀x1∈[0，π2]，都∃x2∈[-π2，0]使得2f（x1）＝2g（x2+θ）+1成立，则θ的值可能为（ ）
A．πB．5π6C．2π3D．π2
【解答】解：因为对∀x1∈[0，π2]，都∃x2∈[-π2，0]使得2f（x1）＝2g（x2+θ）+1成立，
所以f（x）＝2sinx，x∈[0，π2]的值域包含于函数y＝2cs（t+θ）+1，t∈[-π2，0]的值域，
函数f（x）＝2sinx，x∈[0，π2]的值域为[0，2]，
所以S＝4πR2＝12π，t∈[-π2，0]的值域包含区间[0，2]，
由-π2≤t≤0，可得-π2+θ≤t+θ≤θ，
当θ＝π时，π2≤t+π≤π，﹣1≤cs（t+π）≤0，
所以S＝4πR2＝12π，t∈[-π2，0]的值域为[﹣1，1]不满足要求，A错误；
当θ=5π6时，π3≤t+5π6≤5π6，-32≤cs(t+5π6)≤12，
所以y=2cs(t+5π6)+1，t∈[-π2，0]的值域为[-3+1，2]满足要求，B正确；
当θ=2π3时，π6≤t+2π3≤2π3，-12≤cs(t+2π3)≤32，
所以y=2cs(t+2π3)+1，t∈[-π2，0]的值域为[0，3+1]满足要求，C正确；
当θ=π2时，0≤t+π2≤π2，0≤cs(t+π2)≤1，
所以y=2cs(t+π2)+1，t∈[-π2，0]的值域为[1，3]不满足要求，D错误．
故选：BC．
（多选）27．（5分）已知正实数a、b、c满足lg3a＝lg5b，lg3b＝lg5c，其中a＞1，则（ ）
A．lgab＝lg35B．a＞b＞c
C．ac＞b2D．2a+2c＞2b+1
【解答】解：对于A选项，因为a＞1，所以lg3a＞0，
由lg3a＝lg5b，可得lnaln3=lnbln5，则lnblna=ln5ln3，所以lgab＝lg35，故A对；
对于B选项，设lg3a＝lg5b＝m＞0，则a＝3m，b＝5m，
因为幂函数y＝xm在（0，+∞）上为增函数，所以3m＜5m，即a＜b，
设lg5c＝lg3b＝n＞0，则b＝3n，c＝5n，
因为幂函数y＝xn在（0，+∞）上为增函数，
所以3n＜5n，即b＜c，则a＜b＜c，故B错；
对于C选项，因为b＝5m＝3n，且m＞0，n＞0，
所以mln5＝nln3，所以nm=ln5ln3＞1，则m＜n，故m﹣n＜0，
所以acb2=3m⋅5n5m⋅3n=(35)m-n＞1，即ac＞b2，故C对；
对于D选项，由基本不等式，可得a+c＞2ac＞2b，
所以，2a+2c＞22a+c＞222b=2b+1，故D对．
故选：ACD．
六、解答题（本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）
28．（15分）如图，正四棱锥P﹣ABCD的高为22，体积为823．
（1）求正四棱锥P﹣ABCD的表面积；
（2）若点E为线段PB的中点，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值；
（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
【解答】解：（1）连接AC∩BD＝O，连接PO，如图，
因为在正四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，
则AC⊥BD，且O是AC与BD的中点，PO⊥底面ABCD，
因为正四棱锥P﹣ABCD的高为22，体积为823，
则PO=22，
设底面ABCD边长为t，则SABCD=t2，
所以由VP-ABCD=13SABCD⋅PO，得823=13t2×22，
解得t＝2，
因为PO⊥底面ABCD，OC⊂底面ABCD，
故PO⊥OC，
在Rt△POC中，OC=12AC=2，
则PC=PO2+OC2=10，
同理PB=10，
所以在△PBC中，PB=PC=10，BC=2，
则S△PBC=12×2×10-1=3，
同理：S△PAB＝S△PAD＝S△PCD＝S△PBC＝3，
所以正四棱锥P﹣ABCD的表面积为S＝SABCD+4S△PBC＝4+4×3＝16．
（2）由（1）可得，以O为原点，OA→，OB→，OP→为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则A(2，0，0)，C(-2，0，0)，B(0，2，0)，D(0，-2，0)，P(0，0，22)，
因为点E为线段PB的中点，
所以E(0，22，2)，
则AE→=(-2，22，2)，
易知平面ABCD的一个法向量为n0→=(0，0，1)，
设直线AE与平面ABCD所成角为θ，则0＜θ＜π2，
所以sinθ=|cs〈AE→，n0→〉|=|AE→⋅n0→||AE→||n0→|=22+12+2×1=23，
故csθ=1-sin2θ=53，tanθ=25=255，
所以直线AE与平面ABCD所成角的正切值为255．
（3）由（2）知AB→=(-2，2，0)，PB→=(0，2，-22)，BC→=(-2，-2，0)，
设平面APB的一个法向量为m→=(a，b，c)，则AB→⋅m→=0PB→⋅m→=0，即-2a+2b=02b-22c=0，
则可取m→=(2，2，1)，
设平面PBC的一个法向量为n→=(x，y，z)，则PB→⋅n→=0BC→⋅n→=0，即2y-22z=0-2x-2y=0，
则可取n→=(-2，2，1)，
设二面角A﹣PB﹣C为φ，则由图形可知π2＜φ＜π，
所以csφ=-|cs〈m→，n→〉|=-|m→⋅n→||m→||n→|=-19×9=-19，
所以二面角A﹣PB﹣C的余弦值为-19．
29．（15分）已知定义在R上的函数f（x）＝﹣x2+x|x﹣a|，其中a为实数．
（1）当a＝3时，解不等式f（x）≥﹣2；
（2）若函数f（x）在[﹣1，1]上有且仅有两个零点，求a的取值范围；
（3）对于a∈[4，+∞），若存在实数x1，x2（x1＜x2），满足f（x1）＝f（x2）＝m，求x12+mx2x1x2的取值范围．（结果用a表示）
【解答】解：（1）因为a＝3，
所以f（x）＝﹣x2+x|x﹣3|，
当x≥3时，f（x）＝﹣3x，
所以f（x）≥﹣2⇔﹣3x≥﹣2，解得x≤23，不满足x≥3，
所以此时不等式f（x）≥﹣2的解集为∅；
当x＜3时，f（x）＝﹣2x2+3x，
所以f（x）≥﹣2⇔﹣2x2+3x≥﹣2⇔2x2﹣3x﹣2≤0，解得-12≤x≤2，满足x＜3；
所以不等式f（x）≥﹣2的解集为[-12，2]；
（2）令f（x）＝﹣x2+x|x﹣a|＝0，
则有x（﹣x+|x﹣a|）＝0，x1＝0∈[﹣1，1]，
如果a＝0，则有﹣x+|x|＝0，当x≥0时都能成立，不满足题意；
当a≠0时，﹣x+|x﹣a|＝0，x＝|x﹣a|，x2＝（x﹣a）2，
解得x2=a2，
又因为0＜x2≤1，即0＜a2≤1，
解得0＜a≤2，
所以a的取值范围为（0，2]；
（3）对于a≥4，
令f（x）＝﹣x2+x|x﹣a|＝m有2个不同的实数解x1，x2，并且x1＜x2，
当x≥a时，f（x）＝﹣ax，当x＜a时，f（x）＝﹣2x2+ax，函数的大致图像如下：
当﹣a2＜m＜a28，并且m≠0时，有﹣2x2+ax＝m，
即2x2﹣ax+m＝0，
解得x1=a-a2-8m4，x2=a+a2-8m4，
令t=a2-8m，则m=a2-t28，
并且t∈（0，a）∪（a，3a），
x1=a-t4，x2=a+t4，x1x2=m2，
令y=x12+mx2x1x2，
则y=2x12m+2x2=(a-t)28m+a+t2=1-2ta+t+a+t2，
yt′=12-2a(a+t)2，
显然yt′是关于t的增函数，
即yt′＞yt＝0′=12-1a，
因为a≥4，所以yt′≥0，
所以y是关于t的增函数，
所以1+a2＜y＜2a-12，并且y≠a，
即y∈（1+a2，a）∪（a，2a-12）；
当 m≤﹣a2时，x1=a-a2-8m4，x2=-ma，
同理令t=a2-8m，m=a2-t28，t≥3a，
y=x1x2+mx1=-2aa+t+a+t2，yt′=12+2a(a+t)2＞0，
所以y是关于t的增函数，
y≥y|t＝3a＝2a-12，所以x12+mx2x1x2的取值范围是（1+a2，a）∪（a，+∞）．体重变化
体重减轻
体重不变
体重增加
人数
241
571
188
体重变化
体重减轻
体重不变
体重增加
人数
241
571
188