2022-2023学年湖北省武汉四十九中高二（下）期末数学模拟试卷

这是一份2022-2023学年湖北省武汉四十九中高二（下）期末数学模拟试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）下列式子正确的是（ ）
A．(sinπ6)'=csπ6B．(lnx)'=1x
C．(ex2x)'=ex2D．（xsinx）′＝csx
2．（5分）已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
根据表中的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为ŷ=6.5x+17.5，则表中m的值为（ ）
A．45B．50C．55D．70
3．（5分）多项式（1+x+x2）（1﹣x）10展开式中x5的系数为（ ）
A．120B．135C．﹣140D．﹣162
4．（5分）已知随机事件A，B满足P(A)=12，P(AB)=38，则P(B|A)=（ ）
A．14B．12C．34D．23
5．（5分）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（ ）
A．120B．85C．﹣85D．﹣120
6．（5分）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为5m（m∈N*）人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的45，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的35．零假设为H0：喜欢短视频和性别相互独立．若依据α＝0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则m的最小值为（ ）
附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，附表：
A．7B．8C．9D．10
7．（5分）教育部为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教．现将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则（ ）
A．甲学校没有女大学生的概率为521
B．甲学校至少有两名女大学生的概率为2542
C．每所学校都有男大学生的概率为67
D．乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为17
8．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足，2f（x）+f'（x）＞0且有f(12)=1e，则f(x)＞1e2x的解集为（ ）
A．(0，12)B．(12，+∞)C．（0，2）D．（0，+∞）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11=a5+a72，则（ ）
A．S11＝0B．a6＝0C．S6＝S5D．S7＝S6
（多选）10．（5分）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ）
A．在第10行中第5个数最大
B．C22+C32+C42+⋯+C82=84
C．第8行中第4个数与第5个数之比为4：5
D．在杨辉三角中，第n行的所有数字之和为2n﹣1
（多选）11．（5分）下列命题中，正确的命题是（ ）
A．已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则p=23
B．已知P(A)=13，P(A|B)=34，P(A|B)=12，则P(B)=23
C．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则P(-1＜ξ＜0)=12-p
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10，0.7），当X＝7时概率最大
（多选）12．（5分）已知f(x)=lnxx，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）在x＝1处的切线方程为y＝x﹣1
B．单调递减区间为（e，+∞）
C．f（x）的极小值为-1e
D．方程f（x）＝﹣1有两个不同的解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知(x-12x)n的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则其展开式中有理项共有 项．
14．（5分）现在有5人通过3个不同的闸机进站乘车，每个闸机每次只能过1人，要求每个闸机都要有人经过，则有 种不同的进站方式（用数字作答）
15．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，且an＝（﹣1）n（2n﹣1），则S2023＝ ．
16．（5分）若关于x的不等式axex﹣x﹣lnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝7，S5＝45．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=1anan+1，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tm=225，求m的值．
18．（12分）人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命．它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活．现对130人的样本使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如表所示：
（1）根据小概率值α＝0.01的独立性检验，是否有99%的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？
（2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有X人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求X的分布列和均值．
附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．
19．（12分）已知函数f（x）＝ex+2（x2﹣3）．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数y＝f（x）的极值与单调区间．
20．（12分）某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，并在种植药材的土地附近种草放牧发展畜牧业．牛粪、羊粪等有机肥可以促进药材的生长，发展生态循环农业．如图所示为某农户近7年种植药材的平均收入y（单位：千元）与年份代码x的折线图．并计算得到i=17 yi=480，i=17 xiyi=2052，i=17(yi-y)2≈25，i=17(xi-x)(yi-y)=132，i=17 wi=140，i=17(wi-w)(yi-y)=1048，i=17(wi-w)2≈43.3，其中wi=xi2．
（1）根据折线图判断，y＝a+bx与y＝c+dx2哪一个适宜作为平均收入y关于年份代码x的回归方程类型？并说明理由；
（2）根据（1）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程，并预测2023年该农户种植药材的平均收入．
附：相关系数r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2，回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2，â=y-b̂x，7≈2.65．
21．（12分）为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛，现两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：
①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；
②如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3：0，则不需再答第4轮了；
③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是34，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是23，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
（1）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记X为答对题目的数量，求X的分布列及数学期望；
（2）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax2，设g（x）＝f'（x）．
（Ⅰ）当a＜0时，求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＜0，求证：函数f（x）有且只有一个极小值点x0，且f（x0）＜1；
（Ⅲ）若函数f（x）不存在极值，求a的取值范围．
2022-2023学年湖北省武汉四十九中高二（下）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）下列式子正确的是（ ）
A．(sinπ6)'=csπ6B．(lnx)'=1x
C．(ex2x)'=ex2D．（xsinx）′＝csx
【解答】解：A中，因为sinπ6=12，所以(sinπ6)'=0，故A错误；
B中，由基本初等函数的导数公式易知(lnx)'=1x，故B正确；
C中，因为(ex2x)'=2xex-2ex4x2=(x-1)ex2x2，故C错误；
D中，（xsinx）′＝sinx+xcsx，故D错误．
故选：B．
2．（5分）已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
根据表中的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为ŷ=6.5x+17.5，则表中m的值为（ ）
A．45B．50C．55D．70
【解答】解：由题意，x=5，线性回归方程为ŷ=6.5x+17.5，
根据线性回归方程过样本中心点，
可得y=50，
即50=30+40+50+m+605，
解得：m＝70，
故选：D．
3．（5分）多项式（1+x+x2）（1﹣x）10展开式中x5的系数为（ ）
A．120B．135C．﹣140D．﹣162
【解答】解：∵多项式（1+x+x2）（1﹣x）10＝（1﹣x3）•（1﹣x）9＝（1﹣x3）•（1﹣9x+36x2﹣84x3+126x4﹣126x5+84x6﹣36x7+9x8﹣x9），
故它的展开式中x5的系数﹣126+（﹣36）＝﹣162．
故选：D．
4．（5分）已知随机事件A，B满足P(A)=12，P(AB)=38，则P(B|A)=（ ）
A．14B．12C．34D．23
【解答】解：因为P(B|A)=P(AB)P(A)=3812=34，
所以P（B|A）＝1﹣P（B|A）＝1-34=14．
故选：A．
5．（5分）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（ ）
A．120B．85C．﹣85D．﹣120
【解答】解：等比数列{an}中，S4＝﹣5，S6＝21S2，显然公比q≠1，
设首项为a1，则a1(1-q4)1-q=-5①，a1(1-q6)1-q=21a1(1-q2)1-q②，
化简②得q4+q2﹣20＝0，解得q2＝4或q2＝﹣5（不合题意，舍去），
代入①得a11-q=13，
所以S8=a1(1-q8)1-q=a11-q（1﹣q4）（1+q4）=13×（﹣15）×（1+16）＝﹣85．
故选：C．
6．（5分）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为5m（m∈N*）人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的45，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的35．零假设为H0：喜欢短视频和性别相互独立．若依据α＝0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则m的最小值为（ ）
附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，附表：
A．7B．8C．9D．10
【解答】解：根据题意，不妨设a＝4m，b＝m，c＝3m，d＝2m，
于是χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=10m⋅(5m2)25m⋅5m⋅7m⋅3m=10m21，
由于依据α＝0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，
根据表格可知10m21≥3.841，解得m≥8.0661，于是m最小值为9．
故选：C．
7．（5分）教育部为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教．现将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则（ ）
A．甲学校没有女大学生的概率为521
B．甲学校至少有两名女大学生的概率为2542
C．每所学校都有男大学生的概率为67
D．乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为17
【解答】解：将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，
共有 C93C63C33A33⋅A33=1680中分法；
对于A，甲学校没有女大学生，从5名男大学生选3人分到甲学校，
再将剩余的6人平均分到乙、丙学校，共有C53⋅C63C33A22⋅A22=200种分法，
故甲学校没有女大学生的概率为2001680=542，A错误；
对于B，甲学校至少有两名女大学生的情况包括恰有两女大学生和恰有三女大学生，
共有C42C51⋅C63C33A22⋅A22+C43⋅C63C33A22⋅A22=680种分法，
故甲学校至少有两名女大学生的概率为6801680=1742，B错误；
对于C，每所学校都有男大学生，则男生的分配情况为将男生分为3组：人数为1，1，3或2，2，1，
当男生人数为1，1，3时，将4名女生平均分为2组，分到男生人数为1人的两组，再分到3所学校，
此时共有C53C42A33=360种分法；
当男生人数为2，2，1时，将4名女生按人数1，1，（2分）为3组，
人数1，1的2组分到男生人数为2，2的两组，2名女生的一组分到男生1人的那一组，再分到3所学校，
此时共有C52C32A22⋅C42A22A33=1080种分法；
故每所学校都有男大学生的分法有360+1080＝1440种，
则每所学校都有男大学生的概率为14401680=67，C正确；
对于D，乙学校分配2名女大学生，1名男大学生共有C42C51=30种分法，
且丙学校有女大学生的分法有C21C42+C22C41=16种，
故乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的分法有30×16＝480种，
故乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为4801680=27，D错误，
故选：C．
8．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足，2f（x）+f'（x）＞0且有f(12)=1e，则f(x)＞1e2x的解集为（ ）
A．(0，12)B．(12，+∞)C．（0，2）D．（0，+∞）
【解答】解：构造函数F（x）＝f（x）e2x，
所以F′（x）＝f′（x）e2x+2f（x）e2x＝e2x[2f（x）+f'（x）]＞0，
所以F（x）在R上单调递增，
因为f(12)=1e，所以F（12）＝f（12）e=1e•e＝1，
不等式f(x)＞1e2x可化为f（x）e2x＞1，
即F（x）＞F（12），
所以x＞12，
所以原不等式的解集为（12，+∞）．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11=a5+a72，则（ ）
A．S11＝0B．a6＝0C．S6＝S5D．S7＝S6
【解答】解：∵数列{an}是等差数列，
∴S11=a5+a72=a6＝11a6，
故a6＝0，
故选：ABC．
（多选）10．（5分）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ）
A．在第10行中第5个数最大
B．C22+C32+C42+⋯+C82=84
C．第8行中第4个数与第5个数之比为4：5
D．在杨辉三角中，第n行的所有数字之和为2n﹣1
【解答】解：根据题意，在“杨辉三角”中，第n行有n+1个数，依次为Cn0、Cn1、Cn2、⋯⋯Cnn，
由此分析选项：
对于A，第10行中数依次为：C100、C101、C102、……、C109、C1010，其中最大为第6个数C105，A错误；
对于B，C22+C32+C42+⋯+C82=C33+C32+C42+⋯+C82=C93=84，B正确；
对于C，第8行中第4个数为C83=56，第5个数为C84=70，其比值为56：70＝4：5，C正确；
对于D，第n行有n+1个数，依次为Cn0、Cn1、Cn2、⋯⋯Cnn，其和Cn0+Cn1+Cn2+⋯⋯+Cnn=2n，D错误；
故选：BC．
（多选）11．（5分）下列命题中，正确的命题是（ ）
A．已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则p=23
B．已知P(A)=13，P(A|B)=34，P(A|B)=12，则P(B)=23
C．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则P(-1＜ξ＜0)=12-p
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10，0.7），当X＝7时概率最大
【解答】解：对于A，已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，
则np=30np(1-p)=20，解得n=90p=13，故A错误；
对于B，已知P(A)=13，所以P（A）＝1﹣P（A）=23，
又因为P(A|B)=34，P(A|B)=12，
所以P（A）＝P（A|B）•P（B）+P（A|B）•P（B）=34P(B)+12P(B)=23，
又因为P（B）＝1﹣P（B），
所以34P(B)+12[1﹣P（B）]=23，
解得P（B）=23，故B正确；
对于C，设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，
则P（﹣1＜ξ＜0）＝P（0＜ξ＜1）=12-P（ξ＞1）=12-p，故C正确；
对于D，某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10，0.7），
当x＝k时，对应的概率P（X＝k）=C10k•0.7k•0.310﹣k，
所以当k≥1时，P(X=k)P(X=k-1)=C10k⋅0．7k⋅0．310-kC10k-1⋅0．7k-1⋅0．310-(k-1)=7(11-k)3k，
由P(X=k)P(X=k-1)=7(11-k)3k≥1，得k≤7710，
所以1≤k≤7710，
又因为k∈N*，所以1≤k≤7，
又因为P（X＝0）＜P（X＝1），
所以k＝7时，P（X＝7）的值最大，故D正确．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）已知f(x)=lnxx，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）在x＝1处的切线方程为y＝x﹣1
B．单调递减区间为（e，+∞）
C．f（x）的极小值为-1e
D．方程f（x）＝﹣1有两个不同的解
【解答】解：对于A，由f(x)=lnxx(x＞0)，得f'(x)=1-lnxx2，
所以f（1）＝0，f′（1）＝1，所以f（x）在x＝1处的切线方程为y＝x﹣1，故A正确；
对于B，由f′（x）＜0，得1﹣lnx＜0，解得x＞e，
所以f（x）的单调递减区间为（e，+∞），故B正确；
对于C，由f′（x）＝0，得x＝e，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，当x＞e时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
所以当x＝e时，f（x）取得极大值f(e)=1e，故C错误；
对于D，由C选项可知f（x）的最大值为1e，
当0＜x＜e时，f(x)＜1e，当x＞e时，f(x)=lnxx＞0，
所以函数y＝f（x）与y＝﹣1的图像的交点个数为1，即f（x）＝﹣1有1个解，故D错误．
故选：AB．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知(x-12x)n的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则其展开式中有理项共有 4 项．
【解答】解：由题意得2n＝64，解得n＝6，
(x-12x)6的展开式的通项公式为Tr+1=C6rx6-r(-12x)r=C6r(-12)rx6-32r，
当r＝0，2，4，6时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项．
故答案为：4．
14．（5分）现在有5人通过3个不同的闸机进站乘车，每个闸机每次只能过1人，要求每个闸机都要有人经过，则有 720 种不同的进站方式（用数字作答）
【解答】解：将5人分为3组，有1+1+3和2+2+1两种情况：
当分组为1+1+3时：共有C53⋅A33⋅A33=360，
当分组为2+2+1时：共有C52⋅C32A22⋅A33⋅A22⋅A22=360，
综上所述：共有360+360＝720种不同的进站方式．
故答案为：720．
15．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，且an＝（﹣1）n（2n﹣1），则S2023＝ ﹣2023 ．
【解答】解：∵an＝（﹣1）n（2n﹣1），
∴S2023＝（﹣1+3﹣5+7﹣9+11+…+（﹣4041）+4043﹣4045
＝﹣1+（3﹣5）+（7﹣9）+…+（4043﹣4045）
＝﹣1+（﹣2）×1011＝﹣2023．
故答案为：﹣2023．
16．（5分）若关于x的不等式axex﹣x﹣lnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为 [1e，+∞） ．
【解答】解：axex﹣x﹣lnx≥0，即axex≥x+lnx＝lnex+lnx＝ln（xex），
x∈（0，+∞），设t＝xex，t′＝（x+1）ex＞0恒成立，函数单调递增，故t＞0，
故a≥lntt，设g(t)=lntt，t∈(0，+∞)，故g'(t)=1-lntt2，
当t∈（0，e）时，g′（t）＞0，函数单调递增，
当t∈（e，+∞）时，g′（t）＜0，函数单调递减，
故g(t)max=g(e)=1e，故a≥1e．
故答案为：[1e，+∞)．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝7，S5＝45．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=1anan+1，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tm=225，求m的值．
【解答】解：（1）设{an}的公差为d，因为S5＝45，
所以S5=5(a1+a5)2=5a3=45，解得a3＝9，
又a2＝7，所以d＝a3﹣a2＝2，
所以an＝a2+（n﹣2）d＝7+（n﹣2）2＝2n+3．
（2）因为bn=1(2n+3)(2n+5)=12(12n+3-12n+5)，
所以Tn=12(15-17+17-19+⋯+12n+3-12n+5)
=12(15--12n+5)=n5(2n+5)，
由m5(2m+5)=225，解得m＝10，
所以m＝10．
18．（12分）人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命．它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活．现对130人的样本使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如表所示：
（1）根据小概率值α＝0.01的独立性检验，是否有99%的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？
（2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有X人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求X的分布列和均值．
附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．
【解答】解：（1）零假设为H0：ChatGPT对服务业就业人数的增减无关．
根据表中数据得χ2=130×(60×20-40×10)270×60×100×30≈6.603＜6.635=x0.01，
所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，
没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为无关．
（2）由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中，
有60100×5=3人认为人工智能会在服务业中广泛应用，
有40100×5=2人认为人工智能不会在服务业中广泛应用，
则X的可能取值为1，2，3，
又P（X＝1）=C31C22C53=310，P（X＝2）=C32C21C53=35，P（X＝3）=C33C53=110，
所以X的分布列为：
所以E(X)=1×310+2×35+3×110=95．
19．（12分）已知函数f（x）＝ex+2（x2﹣3）．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数y＝f（x）的极值与单调区间．
【解答】解：（1）已知f（x）＝ex+2（x2﹣3），函数定义域为R，
可得f′（x）＝ex+2（x2﹣3+2x）＝ex+2（x+3）（x﹣1），
此时f′（0）＝﹣3e2，
又f（0）＝﹣3e2，
所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y+3e2＝﹣3e2x，
即3e2x+y+3e2＝0；
（2）易知f′（x）＝ex+2（x+3）（x﹣1），
当x＜﹣3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当﹣3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以函数f（x）在（﹣∞，﹣3）和（1，+∞）上单调递增，在（﹣3，1）上单调递减，
所以当x＝﹣3时，函数f（x）取得极大值，极大值f(-3)=6e，
当x＝1时，函数f（x）取得极小值，极小值f（1）＝﹣2e3．
20．（12分）某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，并在种植药材的土地附近种草放牧发展畜牧业．牛粪、羊粪等有机肥可以促进药材的生长，发展生态循环农业．如图所示为某农户近7年种植药材的平均收入y（单位：千元）与年份代码x的折线图．并计算得到i=17 yi=480，i=17 xiyi=2052，i=17(yi-y)2≈25，i=17(xi-x)(yi-y)=132，i=17 wi=140，i=17(wi-w)(yi-y)=1048，i=17(wi-w)2≈43.3，其中wi=xi2．
（1）根据折线图判断，y＝a+bx与y＝c+dx2哪一个适宜作为平均收入y关于年份代码x的回归方程类型？并说明理由；
（2）根据（1）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程，并预测2023年该农户种植药材的平均收入．
附：相关系数r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2，回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2，â=y-b̂x，7≈2.65．
【解答】解：（1）由折线图可知，y＝a+bx适宜作为平均收入y关于年份代码x的回归方程．
理由如下：
x=1+2+3+4+5+6+77=4，
i=17 (xi-x)2=(-3)2+(-2)2+(-1)2+02+12+22+32＝28．
对于模型y＝a+bx，相关系数r=i=17 (xi-x)(yi-y)i=17 (xi-x)2i=17 (yi-y)2≈13228×25≈0.998，
对于模型y＝c+dx2，相关系数r1=i=17 (wi-w)(yi-y)i=17 (wi-w)2i=17 (yi-y)2≈104843.3×25≈0.968．
∵0.998＞0.968，∴y＝a+bx适宜作为平均收入y关于年份代码x的回归方程；
（2）由（1）可知回归方程类型为y＝a+bx．
b̂=i=17 (xi-x)(yi-y)i=17 (xi-x)2=13228=337≈4.71，â=y-b̂x=4807-4.71×4≈49.71．
∴y关于x的回归方程为ŷ=4.71x+49.71．
又2023年对应年份代码为8，代入可得ŷ=4.71×8+49.71=87.39千元．
∴预测2023年该农户种植药材的平均收入为87.39千元．
21．（12分）为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛，现两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：
①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；
②如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3：0，则不需再答第4轮了；
③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是34，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是23，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
（1）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记X为答对题目的数量，求X的分布列及数学期望；
（2）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率．
【解答】解：（1）易知X～B(3，34)，
而X的可能取值为0，1，2，3，
此时P(X=0)=(1-34)3=164，P(X=1)=C31⋅34⋅(1-34)2=964，
P(X=2)=C32⋅(34)2⋅(1-34)=2764，P(X=3)=C33⋅(34)3⋅(1-34)0=2764，
所以X的分布列为：
则E(X)=3×34=94．
（2）记“在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出”记为事件A，
记“在第4轮结束时，学生代表乙答对0道题”记为事件A1，
记“在第4轮结束时，学生代表乙答对1道题”记为事件A2，
此时A1、A2互斥，且A＝A1∪A2，
所以P(A1)=C32⋅(34)2⋅(1-34)⋅34⋅(1-23)4=1256，
P(A2)=(34)3⋅(1-34)×C31⋅23⋅(1-23)3+C32⋅(34)2⋅(1-34)⋅34⋅C41⋅23(1-23)3=5128，
则P(A)=P(A1)+P(A2)=11256．
故在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率为11256．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax2，设g（x）＝f'（x）．
（Ⅰ）当a＜0时，求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＜0，求证：函数f（x）有且只有一个极小值点x0，且f（x0）＜1；
（Ⅲ）若函数f（x）不存在极值，求a的取值范围．
【解答】解：（ I）函数f（x）＝ex﹣ax2，设g（x）＝f'（x），
可得g（x）＝ex﹣2ax，
g′（x）＝ex﹣2a，
由a＜0，可得﹣2a＞0，
又ex＞0，所以ex﹣2a＞0恒成立，
则g（x）在R上递增，即g（x）的增区间为R，无减区间；
（Ⅱ）证明：由（ I）问，当a＜0时，f'（x）在R上单调递增，
并且f'(1a)=e1a-2＜1-2=-1＜0，f'（0）＝1＞0，
所以存在唯一x0∈(1a，0)，满足f'（x0）＝0，
当x变化时，f（x），f′（x）变化状态如下：
所以函数f（x）有且只有一个极小值点x0，
又因为函数f（x）在（x0，+∞）上单调递增，且x0＜0，
所以f（x0）＜f（0）＝1．
（Ⅲ）当a＝0时，f（x）＝ex，为递增函数，则f（x）不存在极值；
当a＜0时，由（Ⅱ）的解答可得f（x）不单调，则f（x）存在极值；
当a＞0时，由题意，若函数f（x）无极值，则函数f（x）在R上是单调的，
若函数f（x）在R上是单调递增，则f'（x）＝ex﹣2ax≥0恒成立，
设g（x）＝f'（x）＝ex﹣2ax，则g'（x）＝ex﹣2a，g'（ln（2a））＝ex﹣2a＝0．
当x变化时，g（x），g′（x）变化状态如下：
所以g（x）min＝g（ln（2a））＝2a﹣2aln（2a），
则由题意f'（x）min＝2a﹣2aln（2a）＝2a（1﹣ln（2a））≥0，
所以1﹣ln（2a）≥0，解得0＜a≤e2．
若函数f（x）在R上是单调递减，则f'（x）＝ex﹣2ax≤0恒成立，
但f'（0）＝1＞0，不满足条件，所以函数f（x）在R上是不能单调递减．
综上，a的取值范围是[0，e2]．x
2
4
5
6
8
y
30
40
50
m
60
α
0.05
0.01
xα
3.841
6.635
ChatGPT应
用的广泛性
服务业就业人数的
合计
减少
增加
广泛应用
60
10
70
没广泛应用
40
20
60
合计
100
30
130
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
x
2
4
5
6
8
y
30
40
50
m
60
α
0.05
0.01
xα
3.841
6.635
ChatGPT应
用的广泛性
服务业就业人数的
合计
减少
增加
广泛应用
60
10
70
没广泛应用
40
20
60
合计
100
30
130
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
X
1
2
3
P
310
35
110
X
0
1
2
3
P
164
964
2764
2764
x
（﹣∞，x0）
x0
（x0，+∞）
f′（x）
﹣
0
+
f（x）
递减
极小值
递增
x
（﹣∞，ln（2a））
ln（2a）
（ln（2a），+∞）
g'（x）
﹣
0
+
g（x）
递减
极小值
递增