【新结构】贵州省遵义市2024届高三第三次质量监测数学试卷（含详细答案解析）

这是一份【新结构】贵州省遵义市2024届高三第三次质量监测数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足z(1+i)=2i，则复数z=( )
A. 1+iB. −1+iC. −1−iD. 1−i
2.集合A=x∈N∣x2−x−12≤0，B=−1,1,2,3,4,5，求A∩B=( )
A. 0,1,3,4,5B. 1,2,3,4,5C. 1,2,3,4D. −1,0,2,3,4
3.在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，M是BC中点，且DN=2NC，则AM⋅AN的值为( )
A. 32B. 24C. 16D. 8
4.(1−2x3)(1+x)5的展开式中x3的系数为( )
A. 8B. 12C. 10D. 15
5.在第29个世界读书日活动到来之际，遵义市某高中学校为了了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10
样本，样本的平均数为4，方差为5；乙同学抽取一个容量为8的样本，样本的平均数为7，方差为10；将甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本方差是(结果精确到0.01)( )
A. 5.34B. 6.78
C. 9.44D. 11.46
6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，D为AC的中点，已知c=2，BD= 72，且acsB+bcsA=−2ccsB，则△ABC的面积为( )
A. 2 3B. 32C. 3D. 3 32
7.已知点F1，F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1作倾斜角为π6的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且F2B=F2A，则双曲线的离心率为( )
A. 6B. 2C. 3D. 2
8.设a=tan0.01，b=ln1.01，c=1101，则下列关系正确的是( )
A. a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. f(x)=x3+xB. f(x)=tanxC. f(x)=ex−e−xD. f(x)=xsinx
10.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A，B存在如下关系：P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B).现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件，甲车床加工的次品率为8%，乙车床加工的次品率6%，丙车床加工的次品率为5%，加工出来的零件混放在一起，且甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的30%，40%，30%，设事件A1，A2，A3分别表示取到的零件来自甲、乙、丙车床，事件B表示任取一个零件为次品，则下列说法正确的是( )
A. P(A2B)=0.024B. P(B|A3)=0.015C. P(B)=0.063D. P(A1|B)=821
11.关于函数f(x)=2sinx+sinx，有以下四个结论，其中正确的有( )
A. f(x)的最小正周期为2π
B. f(x)在π2,3π2上为减函数
C. 方程xf(x)−1=0的所有根之和为0
D. 若函数f(ωx)(ω>0)在0,2π上有且仅有5个零点，则ω∈2,52
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知f(x)=xln(x+3)，则f(x)在(−2,0)处的切线方程是__________.
13.如图，是南京博物馆展示的一件名为“陶三棱锥”的文物，该文物的出土，为研究吴越文化提供了重要价值，博物馆准备为该文物制作一个透明的球形玻璃外罩进行保护供游客观赏研究，经测量该文物的所有棱长都为 6分米，则制作的球形玻璃外罩(玻璃外罩厚度忽略不计)的直径至少为__________分米．
14.已知点P是椭圆C:x26+y24=1上除顶点外的任意一点，过点P向圆O:x2+y2=4引两条切线PM，PN，设切点分别是M，N，若直线MN分别与x轴，y轴交于A，B两点，则△AOB面积的最小值是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列an的前n项和为Sn，a1=2，且点(an+1,Sn)在直线x−y−2=0(n∈N*)上．
(1)求数列an的通项公式；
(2)记bn=(−1)nlg2a2n−1an，求数列bn的前n项和Tn.
16.(本小题15分)
“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的 简称，某校为了了解学生对“一带一路”的了解情况，从学校所有学生中随机抽取100名学生进行知识竞赛，满分100分，同学们竞赛成绩分布统计表如下：
(1)求这100名学生知识竞赛成绩的平均数和第70%分位数(结果精确到0.1，同组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)为了加大对“一带一路”的宣传，提高学生对“一带一路”的知晓度，现按分层抽样的方式在成绩为80,100的同学中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽到的学生中成绩在80,90的人数为X，求X的分布列和数学期望．
17.(本小题15分)
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，CF//DE，且AB=CF=12DE，M为AB中点．
(1)过M作平面α，使得平面α与平面BEF的平行(只需作图，无需证明)
(2)试确定(1)中的平面α与线段ED的交点所在的位置；
(3)若DE⊥平面ABCD，在线段BC是否存在点P，使得二面角B−FE−P的平面角为余弦值为 63，若存在求出BPPC的值，若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，P是椭圆C上的动点，PF1PF2的最大值为8，当∠PF2F1=90∘时，PF2= 2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点A(2, 2)，若点M，N在椭圆C上，且直线AM，AN的斜率乘积为12，线段MN的中点G，当直线MN与y轴的截距为负数时，求∠AOG的余弦值．
19.(本小题17分)
英国数学家泰勒(B.Taylr,1685−1731)发现了：当函数f(x)在定义域内n阶可导，则有如下公式：f(x)=n=0+∞1n!f(n)(0)xn=f(0)+f′(0)x+12!f′′(0)x2+13!f′′′(0)x3+⋯+1n!f(n)(0)xn+⋯以上公式称为函数f(x)的泰勒展开式，简称为泰勒公式．其中，n!=1×2×3×4×⋯×n，f(n)(x)表示f(x)的n阶导数，即f(x)连续求n次导数．根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)写出ex的泰勒展开式(至少有5项)；
(2)设f(x)=ex+e−x−1−ax2，若x=0是f(x)的极小值点，求实数a的取值范围；
(3)若e8≈100k，k为正整数，求k的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】先计算z=2i1+i=1+i，再根据共轭复数的概念求解即可.
【详解】解：由z(1+i)=2i得z=2i1+i=2i1−i1+i1−i=i1−i=1+i，
所以z=1−i.
故选：D.
2.【答案】C
【解析】【分析】求解一元二次不等式，得集合A，利用交集定义即得.
【详解】由x2−x−12≤0可得−3≤x≤4，则A={0,1,2,3,4}，
于是A∩B=0,1,2,3,4∩−1,1,2,3,4,5=1,2,3,4.
故选：C.
3.【答案】A
【解析】【分析】将AM，AN分别用AB,AD线性表示，再运用向量数量积的运算律，计算即得.
【详解】
如图，AM=AB+BM=AB+12AD， AN=AD+DN=23AB+AD，且AB⋅AD=0，
则AM⋅AN=(AB+12AD)⋅(23AB+AD)=23|AB|2+12|AD|2=23×36+12×16=32.
故选：A.
4.【答案】A
【解析】【分析】将所求两个二项式乘积式拆成两个二项式的差，分别考虑它们的展开式中x3的系数即得.
【详解】因(1−2x3)(1+x)5=(1+x)5−2x3(1+x)5，
(1+x)5的通项公式为Tr+1=C5rxr,r=0,1,⋯,5，
当r=3时，T4=C53x3，则得(1+x)5的展开式中x3的系数为1×C53=10；
当r=0时，T1=C50x0=1，则得−2x3(1+x)5的展开式中x3的系数为−2.
故(1−2x3)(1+x)5的展开式中x3的系数为10−2=8.
故选：A
5.【答案】C
【解析】【分析】利用样本平均数和样本方差的定义列式计算即可.
【详解】由甲同学的样本的平均数，方差分别为x甲=4,s甲2=5，
乙同学的样本的平均数，方差分别为x乙=7,s乙2=10，
则合在一起后的样本平均数x=1018×4+818×7=163，
则合在一起后的样本方差
s2=1018×5+163−42+818×10+163−72=76581≈9.44.
故选：C.
6.【答案】D
【解析】【分析】先利用正弦定理化边为角求出角B，在向量化求出边a，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】因为acsB+bcsA=−2ccsB，
由正弦定理得sinAcsB+sinBcsA=−2sinCcsB，
即sinA+B=sinC=−2sinCcsB，
又sinC>0，所以csB=−12，
又B∈0,π，所以B=2π3，
在△ABC中，D为AC的中点，则BD=12BA+BC，
则BD2=14BA+BC2=14BA2+BC2+2BA⋅BC，
即74=144+a2−2a，解得a=3(a=−1舍去)，
所以S△ABC=12×2×3× 32=3 32.
故选：D.
7.【答案】D
【解析】【分析】根据题意过F2作F2N⊥AB于点N，根据双曲线的定义结合图形求解出F2A，然后根据勾股定理求解出a,c的关系，即可得到离心率.
【详解】过F2作F2N⊥AB于点N，如图，
设F2A=F2B=m，
因为直线l的倾斜角为π6，F1F2=2c，
所以在Rt△F1F2N中，NF2=c,NF1= 3c，
由双曲线的定义得F1B−F2B=2a，F2A−F1A=2a，
所以F1B=2a+m,F1A=m−2a，
所以AB=F1B−F1A=4a，
因为F2A=F2B=m，
所以△AF2B为等腰三角形，
又因为F2N⊥AB，
所以N为AB的中点，
所以AN=2a，
可得F1A=NF1−AN= 3c−2a，
因此m= 3c，
在Rt△ANF2中，F2A2=NF22+AN2，
所以 3c2=4a2+c2，即c= 2a，
所以e=ca= 2.
故选：D.
8.【答案】D
【解析】【分析】构造函数fx=ln1+x−x1+x,x∈0,π2，利用导数判断出其单调性，即可比较b,c，构造函数gx=ln1+x−x,x∈0,π2，hx=x−tanx,x∈0,π2，即可比较a,b，即可得解.
【详解】b=ln1.01=ln1+0.01，c=1101=1100+1=0.011+0.01，
令fx=ln1+x−x1+x,x∈0,π2，
则f′x=11+x−11+x2=x1+x2>0，
所以函数fx在0,π2上单调递增，
所以f0.01>f0=0，即ln1+0.01>0.011+0.01，所以b>c，
令gx=ln1+x−x,x∈0,π2，
则g′x=11+x−1=−x1+x<0，
所以gx在0,π2上单调递减，
所以g0.01令hx=x−tanx,x∈0,π2，则h′x=1−cs2x+sin2xcs2x=−tan2x<0，
所以函数hx在0,π2上单调递减，
所以h0.01所以ln1+0.01综上所述，c故选：D.
【点睛】关键点点睛：构造函数fx=ln1+x−x1+x,x∈0,π2，gx=ln1+x−x,x∈0,π2，hx=x−tanx,x∈0,π2，是解决本题的关键.
9.【答案】AC
【解析】【分析】由已知结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可判断.
对于A，f−x=−x3+−x=−x3+x=−fx，
所以fx为奇函数，
又因为f′x=3x2+1>0，
所以fx在区间(0,+∞)上单调递增，故A正确；
对于B，f−x=tan−x=−tanx=−fx，
所以fx为奇函数，
但是fx在区间(0,+∞)上不是单调递增，故B错误；
对于C，f(−x)=e−x−ex=−ex−e−x=−fx，
所以fx为奇函数，
又因为f′x=ex+e−x>0，
所以fx在区间(0,+∞)上单调递增，故C正确；
对于D，f(−x)=−xsin−x=xsinx=fx，
所以fx为偶函数，故D错误.
故选：AC.
10.【答案】ACD
【解析】【分析】对于A，利用独立事件的乘法公式求解即得；对于B，根据缩小样本空间的方法易得；对于C，利用全概率公式计算即得；对于D，运用贝叶斯概率公式求解即得.
【详解】对于A，P(A2B)=P(B|A2)P(A2)=0.06×0.40=0.024，故A正确；
对于B，因事件B|A3可理解为，在确定产品是丙机床生产的条件下得到该产品为次品，
故有P(B|A3)=5%，故B错误；
对于C，P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)
=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)
=0.08×0.30+0.06×0.40+0.05×0.30=0.024+0.024+0.015=0.063，故C正确；
对于D，P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)P(B)=0.30×，故D正确.
故选：ACD.
11.【答案】BD
【解析】【分析】易得函数fx为偶函数，作出函数fx的图象，根据函数图象即可判断AB；当x≠0时，则方程xf(x)−1=0的根即为函数y=fx,y=1x交点的横坐标，再根据两个函数的对称性即可判断C；根据函数fx的图象，结合整体思想即可判断D.
【详解】因为f−x=2sin−x+−sinx=2sinx+sinx=fx，
所以函数fx为偶函数，
当x≥0时，f(x)=2sinx+sinx=3sinx,2kπ≤x≤π+2kπsinx,π+2kπ≤x≤2π+2kπ,k∈Z，
如图，作出函数fx的图象，
由图可知，函数fx不是周期函数，故A错误；
函数f(x)在π2,3π2上为减函数，故B正确；
对于C，显然x=0是方程xf(x)−1=0，
当x≠0时，则方程xf(x)−1=0的根即为函数y=fx,y=1x交点的横坐标，
因为函数y=fx是偶函数，函数y=1x是奇函数，
所以两个函数的交点不具有对称性，
所以方程xf(x)−1=0的所有根之和显然不为0，故C错误；
对于D，当x∈0,2π时，ωx∈0,2ωπ，
因为函数f(ωx)(ω>0)在0,2π上有且仅有5个零点，
所以2ωπ∈4π,5π,所以ω∈2,52,故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：得出函数fx为偶函数，当x≥0时，将函数写出分段的形式f(x)=3sinx,2kπ≤x≤π+2kπsinx,π+2kπ≤x≤2π+2kπ,k∈Z，作出函数fx的图象，是解决本题的关键.
12.【答案】2x+y+4=0
【解析】【分析】求出切点处的导数值，再利用点斜式写出切线方程即可.
【详解】由题意得，f′x=lnx+3+xx+3，
所以f′−2=−2，
故切线为y−0=−2×x+2，即2x+y+4=0.
故答案为：2x+y+4=0.
13.【答案】3
【解析】【分析】利用勾股定理求出正四面体外接球的半径即可得解.
【详解】如图，四面体ABCD为正四面体，
作AG⊥平面BCD，垂足为G，则G为△BCD的重心，
且CG=23CE=23× 32× 6= 2，
则正四面体的高为AG= AC2−CG2=2，
设正四面体的外接球半径为R，
由图可知， 22+2−R2=R2，解得R=32，
所以该四面体外接球的直径为3，
即制作的球形玻璃外罩(玻璃外罩厚度忽略不计)的直径至少为3分米.
故答案为：3.
14.【答案】4 63或43 6
【解析】【分析】设Px0,y0,x0y0≠0，求出以OP为直径的圆的方程，与圆O:x2+y2=4的方程相减可得直线MN的方程，进而可求得A,B的坐标，再求出AB和点O到直线AB的距离，求出面积的表达式，进而可得出答案.
【详解】设Px0,y0,x0y0≠0，
则以OP为直径的圆的方程为x2+y2−x0x−y0y=0，
与圆O:x2+y2=4的方程相减得x0x+y0y−4=0，
即x0x+y0y−4=0是过切点M,N的直线方程，
则A4x0,0,B0,4x0，所以AB= 16x02+16y02=4 x02+y02x0y0，
又因为点O到直线AB的距离d=4 x02+y02，
所以S△OAB=12ABd=8x0y0，
又因为在点P在椭圆C:x26+y24=1上，
所以x026+y024=1，即24=4x02+6y02≥4 6x0y0，
所以x0y0≤ 6，当且仅当4x02=6y02，即x02=3,y02=2时取等号，
所以S△OAB=8x0y0≥8 6=4 63，
即△AOB面积的最小值是4 63.

故答案为：4 63.
【点睛】关键点点睛：设Px0,y0,x0y0≠0，求出以OP为直径的圆的方程，与圆O:x2+y2=4的方程相减可得直线MN的方程，是解决本题的关键.
15.【答案】(1)
由题意，an+1−Sn−2=0，当n=1时，a2=S1+2=4，
因Sn=an+1−2①，当n≥2时，Sn−1=an−2②，
由①-②可得，an=an+1−an，即an+1=2an，
又因n=1时，a2=4=2a1，
故数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，则an=2×2n−1=2n.
(2)
由(1)可得an=2n，则bn=−1nlg2a2n−1an=−1nlg222n−12n=−12n⋅2n−1，
于是，Tn=−1×121+3×122−5×123+7×124−⋯+−1n2n−112n，③
−12Tn=1×122−3×123+5×124−⋯+−1n−12n−312n−−1n2n−112n+1，④
由③-④：32Tn=−12+2122−123+124−125+⋯+−1n12n+−1n2n−112n+1，
32Tn=−12+2×141−−12n−11−−12+−1n2n−112n+1，
32Tn=−12+13+−1n×13×12n−1+−1n2n−112n+1，
32Tn=−16+−1nn+1612n，
则得Tn=−19+−1n6n+1912n.

【解析】(1)由Sn,an的关系消去Sn易得an+1=2an，(n≥2)，检验n=1时满足，得等比数列{an}，即可求得其通项；
(2)将(1)结论代入得bn=−1n⋅2n−1⋅12n，写出Tn，利用错位相减法，即可求得Tn=−19+−1n6n+1912n.
16.【答案】(1)
100名学生知识竞赛成绩的平均数为45×6+55×8+65×32+75×34+85×12+95×8100=71.2，
由表可知40,70内有46个数，估计70,80分数段内学生成绩从低到高占24%位的数，
则x−700.24=80−700.34，
所以x≈77.1，
故第70%分位数为77.1；
(2)
按比例分层抽样抽取5人，成绩在80,90,90,100的人数分别为3人，2人，
所以X的所有可能取值为：1，2，3，
则PX=1=C31C22C53=310，
PX=2=C32C21C53=35，
PX=3=C33C20C53=110，
则X的分布列为：
所以X的数学期望为EX=1×310+2×35+3×110=95.

【解析】(1)利用平均数和百分位数的定义即可求解；
(2)先由分层抽样求得各层人数，进而求得X的 所有可能取值及对应概率，列出分布列，由期望公式求解即可.
17.【答案】(1)
如图，取BC,CF的中点H,Q，连接MH,HQ，延长MH,DC交于点T，
连接TQ并延长TQ交DE于点R，连接MR，
取CD的中点N，连接MN，则MN//BC且MN=BC，
故CHMN=TCTN=12，所以TCTD=13，
又因为DE//CF，所以CQDR=TCTD=13，
所以12CF=CQ=13DR，所以DR=34DE，
所以RE=QF且RE//QF，
所以四边形QREF为平行四边形，
所以EF//QR，
又EF⊂平面BEF，QR⊄平面BEF，
所以QR//平面BEF，
因为H,Q分别为BC,CF的中点，
所以HQ//BF，
又BF⊂平面BEF，HQ⊄平面BEF，
所以HQ//平面BEF，
又HQ∩QR=Q,HQ,QR⊂平面MHQR，
所以平面MHQR//平面BEF，
又M∈平面MHQR，
所以平面MHQR即为平面α；
(2)
又(1)得，点R在线段DE上靠近点E的四等分点处，
即(1)中的平面α与线段ED的交点在靠近点E的四等分点处；
(3)
如图所示，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，
不妨设CF=1，则B1,1,0,E0,0,2,F0,1,1，
设Pt,1,0,0≤t≤1，
则故EF=0,1,−1,BE=−1,−1,2,EP=t,1,−2，
设平面BEF的法向量为n=x,y,z，
则有EF⋅n=y−z=0BE⋅n=−x−y+2z=0，可取n=1,1,1，
设平面PEF的法向量为m=a,b,c，
则有EF⋅m=b−c=0EP⋅m=ta+b−2c=0，可取m=1,t,t，
则csm,n=m⋅nmn=1+t+t 1+2t2⋅ 3= 63，解得t=14，此时BPPC=3，
所以存在，BPPC=3.

【解析】(1)取BC,CF的中点H,Q，连接MH,HQ，延长MH,DC交于点T，连接TQ并延长TQ交DE于点R，连接MR，即可得解；
(2)先证明EF//QR，再利用相似比求解即可；
(3)以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
18.【答案】(1)
因为P是椭圆C上的动点，所以PF1+PF2=2a，
又因为PF1PF2≤PF1+PF224=a2(当且仅当PF1=PF2=a时取等号)，
令x=c，则y=±b2a，
故当∠PF2F1=90∘时，PF2=b2a，
所以a2=8b2a= 2，解得a=2 2,b=2，
所以椭圆C的标准方程为x28+y24=1；
(2)
设Mx1,y1,Nx2,y2，直线AM的方程为y=kx−2+ 2,k≠0，
因为48+24=1，所以点A(2, 2)在椭圆上，
联立y=kx−2+ 2x28+y24=1，消y得2k2+1x2+4 2k−8k2x+8k2−8 2k−4=0，
则x1xA=8k2−8 2k−42k2+1，故x1=4k2−4 2k−22k2+1，
所以y1=kx1−2+ 2=−4 2k2−4k2k2+1+ 2，
所以M4k2−4 2k−22k2+1,−4 2k2−4k2k2+1+ 2，
因为kAM⋅kAN=12，所以kAN=12k，
同理可得N2−4k2−4 2k2k2+1,−2 2−4k2k2+1+ 2，
所以kMN=−4 2k2−4k2k2+1+ 2−−2 2−4k2k2+1+ 24k2−4 2k−22k2+1−2−4k2−4 2k2k2+1=−4 2k2+2 28k2−4=− 22，
设GxG,yG，则x1+x2=2xG,y1+y2=2yG
将Mx1,y1,Nx2,y2代入椭圆x28+y24=1两式相减得：
x1−x2x1+x28=−y1−y2y1+y24，
即y1−y2x1−x2=−xG2yG，所以kMN⋅kOG=−12，所以kOG= 22，
设OG与y轴的负半轴得夹角为α，则tanα= 2，故sinα= 63,csα= 33，
设OA与x轴的正半轴的夹角为β，
因为A(2, 2)，所以sinβ= 33,csβ= 63，
则cs∠AOG=csα+β+π2=−sinα+β=−sinαcsβ−csαsinβ=−1.


【解析】(1)利用基本不等式求出PF1PF2的最大值，结合已知即可求出a，再根据通径即可求出b，即可得解；
(2)设Mx1,y1,Nx2,y2，直线AM的方程为y=kx−2+ 2,k≠0，联立方程求出点M的坐标，同理可求得N的坐标，进而可求出MN的斜率，再利用点差法可求得OG的斜率，再结合OA的斜率即可得解.
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x1,y1、x2,y2；
(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算Δ；
(3)列出韦达定理；
(4)将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1x2(或y1+y2、y1y2)的形式；
(5)代入韦达定理求解.
19.【答案】(1)
当fx=ex时，fnx=ex,fn0=1，
由泰勒展开式可得ex=1+x+12!x2+13!x3+14!x4+⋯；
(2)
因为ex=1+x+12!x2+13!x3+14!x4+15!x5⋯，
e−x=1−x+12!x2−13!x3+14!x4−15!x5+⋯，
所以fx=2+22!x2+24!x4+26!x6+⋯+1−ax2，
则f′x=42!x+84!x3+126!x5+⋯−2ax=x42!+84!x2+126!x4+⋯−2a，
因为x=0是f(x)的极小值点，且f′0=0，
则当x在0的附近时，42!+84!x2+126!x4+⋯−2a≥0即可，
42!−2a≥0即可，所以a≤1，
综上所述，a∈−∞,1；
(3)
因为ex=1+x+12!x2+13!x3+14!x4+15!x5⋯，
所以e2=1+2+12!22+13!23+14!24+15!25⋯，
所以e2>1+2+12!×22+13!×23+14!×24+15!×25+16!×26+17!×27=7821≈7.38，
e2<1+2+12!×22+13!×23+14!×24+15!×25+16!×26+17!×27+17!×27≈7.41，
即e2∈7.38,7.41，
令e2=7+t，则t∈0.38,0.41，则e8=7+t4，
由二项式定理可知
e8>7+0.384=C40⋅74+C41⋅73×0.38+C42⋅72×0.382+C43⋅7×0.383++C44⋅0.384
≈2966，
e8<7+0.414=C40⋅74+C41⋅73×0.41+C42⋅72×0.412+C43⋅7×0.413++C44⋅0.414
≈3014，
所以e8∈2966,3014，即e8≈3000=100×30，
所以k=30.

【解析】(1)利用泰勒展开式求解即可；
(2)先求出ex,e−x，从而可得fx，由x=0是f(x)的极小值点，得f′0=0，当x>0时，f′x≥0，当x<0时，f′x≤0，进而可得出答案；
(3)先利用泰勒展开式求出e2的取值范围，再将其写成整数部分加上小数部分的形式，再利用二项式定理求出e8的范围，进而可得出答案.
关键点点睛：用导数研究函数的单调性是导数的一个只要应用，在导数解答题中，单调性问题是绕不开的一个问题，因为单调性是解决后续问题的关键，利用导函数求解函数单调性步骤，先求定义域，再求导，根据导函数的正负号，确定函数的单调区间，若不能直接求出，可能需要多次求导.
成绩
40,50
50,60
60,70
70,80
80,90
90,100
人数
6
8
32
34
12
8
X
1
2
3
P
310
35
110