库车市第二中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份库车市第二中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,,则( )
A.B.C.D.
2．下列函数中,即是偶函数又在单调递增的函数是( )
A.B.C.D.
3．已知,,则( )
A.B.C.D.
4．已知角的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边经过点,则的值是( )
A.B.C.D.
5．已知向量,且,则实数( )
A.-3B.C.D.3
6．已知复数,则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
7．已知,函数在上单调递减,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．如图,在直三棱柱中,,,,侧面的对角线交点O,点E是侧棱上的一个动点,下列结论错误的是( )
A.直三棱柱的体积是1
B.直三棱柱的外接球表面积是
C.三棱锥的体积与点E的位置有关
D.的最小值为
二、多项选择题
9．对于任意实数a,b,c,d,则下列命题正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
10．下列各式中值为1的是( )
A.B.
C.D.
11．下列说法正确的是( )
A.向量在向量上的投影向量表示为
B.向量,,,与的夹角为钝角,则的取值范围是
C.在中,若,则为等腰三角形
D.在中,角A,B,C,的对边分别是a,b,c,若,,,则此三角形有两解
12．如图,已知在四棱锥中,底面为矩形,侧面为等边三角形,且平面平面,,,,分别为,的中点,则下列说法中正确的是( )
A.平面B.三棱锥的体积为
C.二面角的大小为D.直线与平面所成角的余弦值
三、填空题
13．已知,与的夹角为,则___________.
14．中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,,的面积,则___________.
15．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一,其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现——圆柱容球定理.如图,一个“圆柱容球”的几何图形,即圆柱容器里放了一个球,该球顶天立地,四周碰边（即圆柱的底面直径和高都等于球的直径）,则该球与圆柱的体积之比为__________.
四、双空题
16．为等边三角形,且边长为2,则与的夹角大小为___________,若,,则的最小值为___________.
五、解答题
17．已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,母线长为6,,、是底面半径,且,M为线段的中点,如图所示．
（1）求圆锥的侧面积和体积;
（2）求异面直线与所成的角的余弦值．
18．在中,,,,D是边BC上一点,,设,．
（1）试用,表示;
（2）求值．
19．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）若，D为AC边上的一点，，且___________，求的面积.
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题.
①BD是的平分线；②D为线段AC的中点.
20．已知向量，函数.
（1）求函数的最大值及相应自变量的取值集合；
（2）在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，求面积的最大值.
21．如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,,,,平面.
（1）求证：面
（2）若_______,求点到平面的距离．
在①;②二面角的正切值为;③,这三个条件中,任选一个,补充在问题中,并加以解答．
22．已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式;
（2）在中,A为锐角且,,猜想的形状并证明.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,
又,
所以.
故选：C.
2．答案：B
解析：A选项：函数为奇函数,故A错;
B选项：函数的定义域为R,且,所以函数为偶函数,当时,,单调递增,故B正确;
C选项：,所以函数非奇非偶,故C错.
D选项：定义域为,不关于原点对称,所以函数非奇非偶,故D错.
故选：B.
3．答案：B
解析：由条件可知,,,,
所以.
故选：B.
4．答案：B
解析：因为角的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边经过点,
所以,
则．
故选：B．
5．答案：D
解析：由,,得,
因为,所以,所以,所以.
故选：D.
6．答案：D
解析：,
故对应的点为,位于第四象限,
故选：D.
7．答案：A
解析：由题意可得,,
,
,．故A正确．
8．答案：C
解析：直三棱柱中,,,,如图所示,
直三棱柱的体积为,故A选项正确;
直三棱柱是长宽高分别为的长方体的一半,点为三棱柱外接球的球心,外接球的半径为,外接球表面积是,
故B选项正确;
因为O是与的交点,则的面积为定值,由,平面,平面,
可得平面,所以E到平面的距离为定值,三棱锥的体积为定值,与点E的位置无关,故C选项错误;
把侧面和侧面展开在一个平面上,当E为的中点时,的最小值等于,故D正确.
故选：C.
9．答案：AB
解析：若，两边同乘以则，A对，由不等式同向可加性，若 ,，则,B对，当令,，,则,C错，令，则，D错.
故选:AB.
10．答案：CD
解析：对于A，，所以A错误；
对于B，，所以B错误；
对于C，，所以C正确；
对于D，，所以D正确.
故选：CD.
11．答案：AD
解析：A：由,则在上的投影向量表示为,对;
B：当时,即与反向共线,此时夹角不是钝角,错;
C：由,且三角形内角,则或,即或,错;
D：由,故此三角形有两解,对.
故选：AD.
12．答案：AB
解析：对于A：连接,因为底面为矩形,则,且O为的中点,又N是的中点,
所以,平面,平面,所以平面,故A正确;
对于B：取的中点H,连接,因为为等边三角形,所以,
又平面平面,平面平面,平面,
所以平面,又,,
所以,故B正确;
对于C：因为平面,平面,所以,又,
,,平面,所以平面,
平面,所以,所以为二面角的平面角,
易知,所以二面角的大小为,故C错误;
对于D：连接,因为平面,所以为直线与平面所成角,
又,,
所以,即直线与平面所成角的余弦值为,故D错误;
故选：AB.
13．答案：0
解析：因为,与的夹角为,
所以.
故答案为：0.
14．答案：
解析：根据三角形面积公式得,解得,
根据余弦定理得,解得.
故答案为：.
15．答案：
解析：若球体半径为R,则圆柱体的底面半径和高分别为R，,
所以球体体积为,圆柱体体积为,故该球与圆柱的体积之比为.
故答案为：.
16．答案：①②.
解析：由题意知,如图,
由为等比三角形,得,
所以;
因为,所以点E为AC的中点,
则,又,
所以
,
,
又,所以,
所以.
故答案为：;.
17．答案：（1）侧面积为体积为
（2）
解析：（1）由题意,,
则圆锥的侧面积,
圆锥的体积
（2）取的中点,设为N,连接,,,
因为N为的中点,M为的中点,
所以,
于是是异面直线与所成的角（或其补角）.
M为线段的中点,,且,
则,
又,
,
所以
则异面直线与所成角的余弦值为
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）D是边BC上一点,,
,又,,得,
．
（2）,,,
,
．
19．答案：（1）
（2）选①或②：
解析：（1）由，结合正弦定理知，
将代入上式得
，，，
，，.
（2）若选①：平分，，
，即.
在中，由余弦定理得，
又，.
联立得，
解得或（舍去），
.
若选②：由题可得，
，
即，得.
在中，由余弦定理得，
又，即，联立
可得，.
20．答案：（1），此时自变量的取值集合为
（2）
解析：（1）由题知，，
当，即，时，最大，且最大值为1，即，此时自变量的取值集合为.
（2）由（1）知，，则，
因为在中，，所以，
所以，所以，
又由余弦定理及，得：，
即，
所以，即（当且仅当时等号成立）.
所以.
21．答案：（1）证明过程见解析;
（2）无论选哪一个条件,点A到平面的距离都为.
解析：（1）因为为平行四边形,
所以,
因为,
所以,
因为平面,平面,
所以,而,,面,
所以面;
（2）若选①：因为平面,,平面,
所以,,
因此,,
因为为平行四边形,
所以,
因为,
所以,设点A到平面的距离为h,
若选②：因为平面,平面,
所以,
由（1）可知：,因为为平行四边形,
所以,因此,
而,,平面,
所以平面,而平面,
因此,所以是二面角的平面角,
,以下过程见选①解答过程;
若选③：因为,
所以,以下过程见选①的解答过程.
22．答案：（1）
（2）直角三角形,证明见解析
解析：（1）由题意可得,,,
故,,
又因为,故,,
所以,,所以.
（2）为直角三角形.证明如下：
因为,所以,又A为锐角,所以,解得,
由得,所以,
所以,所以,即,
又,所以,所以,所以为直角三角形.