新疆维吾尔自治区阿克苏地库车市第二中学2023-2024学年高二上学期第二次月考（12月）数学试卷(含答案)

这是一份新疆维吾尔自治区阿克苏地库车市第二中学2023-2024学年高二上学期第二次月考（12月）数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若椭圆上一点M到椭圆的一个焦点的距离为5，则点M到另外一个焦点的距离( )
A.6B.7C.8D.9
2．直线被圆截得的弦长为( )
A.B.C.D.
3．鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点到准线距离为( )
A.B.5C.10D.20
4．在等比数列中,若,则( )
A.6B.9C.D.
5．已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，P为椭圆上一点，的最大值为3，且，则椭圆的标准方程为( )
A.B.C.D.
6．希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的圆锥曲线为( )
A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不对
7．如图，二面角等于，A、B是棱l上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于( )
A.B.C.4D.2
8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于A，B，的内切圆的圆心为I，若，则该椭圆的离心率是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知圆与圆,下列说法正确的是( )
A.与的公切线恰有4条
B.与相交弦的方程为
C.与相交弦的弦长为
D.若P,Q分别是圆,上的动点,则
10．已知等差数列的前n项和为，且，则下列命题中正确的是( )
A.B.
C.D.数列中最大项为
11．已知A，B，C是抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，直线l为抛物线的准线，AB的中点为，则( )
A.当时，的最小值为6
B.当时，直线AB的斜率为1
C.当A，B，F三点共线时，点P到直线l的距离的最小值为2
D.当时，的最小值为3
12．已知数列满足（m为正整数），，则下列选项正确的是( )
A.若，则
B.若，则m所有可能取值的集合为
C.若，则
D.若，k为正整数，则的前k项和为
三、填空题
13．记为等差数列的前n项和，公差为d，若，，，则整数d的一个值可以为______.
14．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的概率分别为、、，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个的概率是____________.
15．已知双曲线的左、右焦点分别为,，Q为双曲线C的渐近线上一点，且,，则双曲线C的渐近线方程为________.
四、双空题
16．设A，B是半径为8的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，，则动点P的轨迹为________（在直线，圆，椭圆，双曲线，抛物线选择）则点P的轨迹长度为________.
五、解答题
17．已知数列的前n项和为，，.
（1）证时：为等比数列.
（2）求数列的前n项和.
18．2023年9月，第19届亚洲运动会将在中国杭州市举行，某调研机构为了了解人们对“亚运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“亚运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和上四分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“亚运会”宣传使者：
（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率；
（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差.
19．如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，、、、，E、F分别为、的中点，.
（1）证明：平面平面；
（2）若与所成角为，求二面角的余弦值.
20．已知经过点的圆C的圆心在x轴上，且与y轴相切.
（1）求圆C的方程；
（2）若，，点M在圆C上，求的取值范围.
21．设A，B为抛物线（）上两点，直线的斜率为4，且A与B的纵坐标之和为2.
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，直线l交抛物线C于M，N两点（异于点O），以为直径的圆经过点O，求面积的最小值.
22．已知双曲线的离心率为，且过.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C交于P,Q两点，M是C的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
参考答案
1．答案：B
解析：由椭圆方程可知，解得.
又椭圆上一点M到两焦点的距离和为，
所以M到另一个焦点的距离为.
故选：B
2．答案：D
解析：由圆，
得圆心，半径，
所以圆心到直线l的距离为，
所以直线l被圆C截得的弦长为.
故选：D.
3．答案：C
解析：依题意，设该抛物线的方程为，显然点在此抛物线上，
因此，解得，
所以该抛物线的焦点到准线距离为10.
故选：C
4．答案：A
解析：在等比数列中,,
由等比数列的基本性质可得,故.
故选:A.
5．答案：B
解析：因为的最大值为3，所以.
因为，所以，即，所以，.
又，所以，所以椭圆的标准方程为
故选：B
6．答案：B
解析：方程即为方程表示：
动点到定点的即可与到定直线的距离的比为5且大于1，
所以其轨迹为双曲线，
故选：B
7．答案：C
解析：由二面角的平面角的定义知，
∴，
由，，得，，又，
∴
，
所以，即.
故选：C.
8．答案：A
解析：因，所以，
如图，在上取一点M，使得，连接，则，
则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，
所以，
设，则,，
由椭圆定义可知：，即，所以，
所以，,，
故点A与上顶点重合，
在中，由余弦定理得：
，
在中，，
解得：，
所以椭圆离心率为.
故选：A
9．答案：BCD
解析：由已知得圆的圆心,半径,圆的圆心,半径,
,,
故两圆相交,所以与的公切线恰有2条,故A错误;
两圆方程相减可得与相交弦的方程为,
所以到相交弦的距离为,
故相交弦的弦长为,故B,C正确;.
若P,Q分别是圆,上的动点,则,故D正确.
故选:BCD.
10．答案：ABC
解析：，，，，，，故A正确；
又，故B正确；
，故C正确；
由，可得中最大项为，故D错误.
故选：ABC.
11．答案：BCD
解析：A选项，，过点A，B分别作于点M，于点N，
由抛物线定义得，
当A，B，F三点共线时，有最大值6，故A错误；
B选项，设，，由得，
所以，故B正确；
C选项，当A，B，F三点共线时，点P到直线l的距离，
而，所以，故C正确；
D选项，过点C作于点E，过点P作于点T，
由抛物线定义，，所以，
故的最小值为点P到直线l的距离，即，
所以，故D正确.
故选：BCD
12．答案：AC
解析：A选项，若，则，，，，，，，，故A正确；
B选项，若，则，或7.
当时，，，，或，，；
当时，，，，或，，，
或，，，或，，，
故m所有可能取值的集合为，故B不正确；
C选项，若，则，，，，，，，，…，
所以从第5项开始为周期数列，且周期为3，则，
，故，C正确；
D选项，若，则，，…，，，
所以的前k项和为，故D不正确.
故选：AC
13．答案：-17（或-19，-18，只需填写一个答案即可）
解析：因为，所以，.因为，，所以，故d的整数解为-19，-18，-17.
14．答案：
解析：考生至少拿到两个的事件为A，三门科目为事件B，恰好两门科目为事件C，由题意，，且B,C互斥.
三门科目，
恰好两门科目，.
根据互斥事件的加法公式，.
故答案为：
15．答案：
解析：
如图，设QO所在直线方程为：，
则到直线的距离为，
因为，所以，所以，
在中，，
整理得，又，所以，得，即，
故双曲线C的渐近线方程为.
故答案为：
16．答案：①.圆；②.
解析：设以所在的平面建立直角坐标系，为x轴，的垂直平分线为y轴，，依题意可得，则，，
由，则，
又，即，
则点P的轨迹满足，
故点P轨迹是以为圆心，半径3的圆，
转化到空间中，当点P绕为轴旋转一周时，，不变，依然满足，
故空间中点P的轨迹为以D为球心，半径为3的球，
又点P在球O上，故点P在两球的交线上，其轨迹为圆，
球心距为，
中，，
设边上的高为h，
由等面积法得,
即，解得，
则点P的轨迹对应圆的半径为，
所以点P的轨迹长度为.
故答案为：圆；.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）当时，由，得，而，即，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.
（2）由（1）得，即，
因此，
所以
.
18．答案：（1）31.75岁；36.25；
（2）（i）；（ii）10
解析：（1）设这m人的平均年龄为x，则
（岁）
设上四分位数（第75百分位数）为a，
，，
a位于第四组：内；
方法一：由，解得.
方法二：由，解得.
（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙，对应的样本空间为：
，
共15个样本点.
设事件“甲､乙两人至少一人被选上”，则
，
共有9个样本点.所以，.
（ii）设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.
设第四组的宣传使者的年龄分别为,,,，平均数为，方差为，
设第五组的宣传使者的年龄分别为，，平均数为，方差为，
则，，，
，
可得，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.
则，
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为38，
法一：
.
法二：
.
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10；
据此估计这m人中年龄在岁的所有人的年龄的平均数为38，方差约为10.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：
，E是的中点，，
又，，平面，
平面，平面，
平面平面；
（2）、、，，
以E为坐标原点，、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图所示，
连接，
、，四边形为平行四边形，
，是异面直线与所成的角，则，
，则、、、，
，
设平面的法向量为，又、，
∴，令，则、，
∴，又平面的法向量，
设二面角的平面角为，经观察为钝角，
∴.
20．答案：（1）；
（2）
解析：（1）设圆（），
由题意得，解得，
所以圆C的方程为.
（2）设，，由，得，
则.
当时，取得最小值，最小值为10；
当时，取得最大值，最大值为34.
故的取值范围为.
21．答案：（1）；
（2）48
解析：（1）设，，则，，.
直线的斜率，
解得，所以抛物线C的方程为.
（2）
设直线l的方程为，，，
联立，消去x得，且，
由韦达定理得，.
以MN为直径的圆经过点O，即，
因为M，N两点异于点O，所以解得，
即，则，直线l恒过定点.
易知，，当且仅当，即直线l的方程为时取等号；
故面积的最小值为48.
22．答案：（1）；
（2）证明见解析，定点.
解析：（1）根据题意可得，解得，，
所以双曲线C的方程为.
（2）设，，
联立，得，
，
，，又
所以
，
所以，
所以直线的方程为，恒过定点.