河北省邯郸市2024届高三下学期第四次调研检测数学试卷(含答案)

这是一份河北省邯郸市2024届高三下学期第四次调研检测数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,.则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足，则( )
A.1B.C.3D.
3．已知,是两个平面,m,n是两条直线,且,.则“”是"”的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．设函数的图像与x种相交于点P,则该曲线在点P处的切线方程为( )
A.B.C.D.
5．由动点P向圆引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若四边形APBM为正方形，则动点P的轨迹方程为( )
A.B.
C.D.
6．某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为( )
A.12B.18C.20D.60
7．已知O为坐标原点.,分别是双曲线的左､右焦点,P足双曲线C上一点,若直线和OP的倾斜角分别为和,且,则双曲线C的离心率为( )
A.B.5C.2D.
8．对任意两个非零的平面向量和，定义：；.若平面向量，满足，且和都在集合中，则( )
A.1B.C.1或D.1或
二、多项选择题
9．已知函数的部分图像如图所示，A，B为的图像与x轴的交点，C为图像上的最高点，是边长为1的等边三角形，，则( )
A.
B.直线是图像的一条对称轴
C.的单调递减区间为
D.的单调递增区间为
10．设拋物线的焦点为F，过点的直线与抛物线E相交于点A，B，与x轴相交于点C，，，则( )
A.E的准线方程为B.p的值为2
C.D.的面积与的面积之比为9
11．已知函数的定义域为R，其导函数为，若函数的图像关于点对称，，且，则( )
A.的图像关于点对称
B.
C.
D.
三、填空题
12．已知,函数是奇函数,则__________,__________.
13．在长方体中，，，，平面平面，则截四面体所得截面面积的最大值为_________.
四、双空题
14．正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，设，则_________，_________.
五、解答题
15．如图，四棱锥的底面是正方形，设平面PAD与平面PBC相交于直线l.
（1）证明：.
（2）若平面平面，，，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值.
16．已知正项数列的前n项和为,,且.
（1）求的通项公式;
（2）若,求数列的前n项和.
17．假设某同学每次投篮命中的概率均为.
（1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率.
（2）该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投n（，）个球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外再投个.试问n为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？
18．已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过，两点.
（1）求C的方程.
（2）A，B是C上两个动点，D为C的上顶点，是否存在以D为顶点，为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由.
19．已知函数，.
（1）是否存在实数m，使得和在上的单调区间相同？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
（2）已知，是的零点，，是的零点.
①证明：；
②证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：,,则.
2．答案：D
解析：令，则，所以，解得，，
所以，故，
故选：D.
3．答案：A
解析：设,当,时,,此时m与不垂直.若,则一定成立.故“”是“”的必要不充分条件.
4．答案：C
解析：令,解得,即点.又,所以.故该曲线在点处的切线方程为.
5．答案：B
解析：因为四边形APBM为正方形，所以.设，则，即.
6．答案：C
解析：先插入第一个新节目，有4种情况，再将第二个新节目插入，有5种情况，故不同的插入种数为.
7．答案：B
解析：由题可知,所以.因为,所以,,则双曲线C的离心率为.
8．答案：C
解析：.设向量和的夹角为，，则.
因为，所以，所以，所以，故，.
当时，，又，所以，符合题意，
当时，，又，所以，符合题意.
所以或.
9．答案：BC
解析：对于A，由图可得：的最小正周期为2，所以，即，
易得，所以，
因为，所以，，，
由五点作图法可得：，即，所以，
所以，故A不正确；
对于B，由于，为最大值，
所以直线是图象的一条对称轴，故B正确；
对于C，令，解得；，
所以单调递减区间为，故C正确；
对于D，令，解得；，
所以的单调递增区间为，故D不正确，
故选：BC，
10．答案：BD
解析：设直线的方程为，，，
联立，可得，
所以，，
因为，所以，故，
因为，由抛物线定义可得，，，
则，解得或，
因为，所以，则E的准线方程为，故B正确，A错误；
又E的方程为，，，
把代入可得，，
不妨设，，则，故C错误；
设F到直线的距离为d，
的面积，的面积，
则的面积与的面积之比，故D正确.
故选：BD.
11．答案：ACD
解析：由的图像关于点对称，得，即，所以的图像关于点对称，A正确.
由，可得.令，则，，所以的图像关于直线对称.由的图像关于点对称，可得，即，所以的图像关于点对称，所以的周期为4，即，则，所以，B错误.
由，可得，所以.由，可得，所以，C正确.
由，，可得，，，，，所以，D正确.故选ACD.
12．答案：;
解析：由,解得,所以,所以1,解得.
13．答案：10
解析：平面截四面体的截面如图所示.
设，则，所以四边形NSRM为平行四边形，且，.
在矩形UVWT中，，，，，，，
则，当且仅当时，等号成立.
14．答案：0；
解析：由题可知，则，.
15．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为，平面，平面PBC，
因为平面PAD与平面PBC相交于l，所以.
（2）如图，取线段AB的中点O，连接PO.
因为，所以.又平面平面ABCD，平面平面，平面PAB，所以平面.
取线段CD的中点M，连接OM.以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.依题意，，，，，
则，，.
设平面PAD的法向量为，则可取.
设直线PC与平面PAD所成的角为，则，
即直线PC与平面PAD所成角的正弦值为.
16．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）当时,,则,解得,
所以,即数列是以1为首项,1为公差的等差数列,
则,即.
当时,,
又满足,所以的通项公式为.
（2）,
所以.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意，该同学投篮4次，恰好投中2次的概率.
（2）设该同学投篮的次数为X，则X的可能值为n，，，，
于是，，
数学期望，
令，，则，
，显然数列是递减的，
当时，，，当时，，，
即有，因此最大，
所以当时，该同学投篮次数的期望值最大.
18．答案：（1）
（2）存在，3个
解析：（1）由题设椭圆C的方程为（，，），
因为椭圆过，两点，
所以，得到，，所以椭圆C的方程为.
（2）由（1）知，易知直线，的斜率均存在且不为0，
不妨设，，直线为，直线为，
由椭圆的对称性知，当时，显然有，满足题意，
当时，由，消y得到，
所以，，即，
同理可得，
所以，
设中点坐标为，则，，
所以中垂线方程为，
要使为为底边的等腰直角三角形，则直中垂线方程过点，
所以，整理得到，
令，则，，
所以t有两根，，且，，即有两个正根，
故有2个不同的值，满足，
所以由椭圆的对称性知，当时，还存在2个符合题意的三角形，
综上所述，存在以D为顶点，为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.
19．答案：（1）存在，且
（2）①证明见解析
②证明见解析
解析：（1）由题意得，，，
当时，，，所以和在上都单调递增，符合题意；
当时，若和在上的单调区间相同，
则和有相同的极值点，即，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
所以无解，
综上，当时，和在上的单调区间相同；
（2）①由题意，有两个零点，，
若，则，所以在R上单调递增，不符合题意，
若，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且当时，，当时，，
所以，解得，得证；
②令，，得，，即，，
令，，则，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
在同一坐标平面内作出函数与函数的图象，
它们有公共点，如图，
故，且有，
由，得，即，又，所以，
由，得，即，又，所以，
由，得，即，
故.