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2022-2023学年广东省广州六中、二中、广雅、省实、执信五校联考高一（下）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年广东省广州六中、二中、广雅、省实、执信五校联考高一（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知复数z=1-2i1+i（i是虚数单位），则z对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）已知平面向量a→与b→为单位向量，它们的夹角为π3，则|2a→+b→|＝（ ）
A．2B．3C．5D．7
3．（5分）已知函数f(x)=1x，x＞0x+2，x≤0，则方程f（x）﹣3|x|＝0的解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．（5分）函数y＝sin（x+π3）sin（x+π2）的最小正周期是（ ）
A．π4B．π2C．πD．2π
5．（5分）下列不等式恒成立的是（ ）
A．ba+ab≥2B．ab≥(a+b2)2
C．a+b≥2|ab|D．a2+b2≥﹣2ab
6．（5分）已知a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若a∥α，β∥α，则a∥βB．若α⊥β，a⊥β，则a∥α
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD．若a∥α，b⊥α，则a⊥b
7．（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h．将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星．若该观测点的纬度值为a，观测该卫星的仰角为β，则下列关系一定成立的是（ ）
A．r+hcsβ=rcs(α+β)B．hcsβ=rcs(α+β)
C．r+hsinβ=rsin(α+β)D．hsinβ=rsin(α+β)
8．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，M是BB1的中点，点P在正方体内部或表面上，且MP∥平面AB1D1，则动点P的轨迹所形成的区域面积是（ ）
A．3B．23C．33D．43
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
（多选）9．（5分）已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19（单位℃）．则（ ）
A．该组数据的平均数为1157
B．该组数据的中位数为13
C．该组数据的第70百分位数为16
D．该组数据的极差为15
（多选）10．（5分）把函数f（x）＝sinx的图象向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，下列关于函数g（x）的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为π
B．在区间[-π3，π6]上的最大值为32
C．图象的一个对称中心为(-π3，0)
D．图象的一条对称轴为直线x=π12
（多选）11．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b（b+c），则下列结论正确的有（ ）
A．A＝2B
B．B的取值范围为(0，π4)
C．ab的取值范围为(2，3)
D．1tanB-1tanA+2sinA的取值范围为(533，6)
（多选）12．（5分）如图是一个正方体的侧面展开图，A，C，E，F是顶点，B，D是所在棱的中点，则在这个正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．BF与AE异面
B．BF∥平面ACD
C．平面CDF⊥平面ABD
D．DE与平面ABD所成的角的正弦值是23
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上．
13．（5分）已知树人中学高一年级总共有学生n人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取n10名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人，则n＝ ．
14．（5分）在直角三角形ABC中，已知AC＝2，BC=23，∠C＝90°，以AC为旋转轴将△ABC旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为 ．
15．（5分）已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为8π，则此正四棱台的侧棱长为 ．
16．（5分）如图是正八边形ABCDEFGH，其中O是该正八边形的中心，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点．若OA＝2，则该八边形的面积为 ，OP→⋅AB→的最小值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效
17．（10分）已知函数f（x）＝sin（﹣2x）+cs（﹣2x），x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f（x）在[0，π2]上的最小值及相应自变量的值．
18．（12分）5月11日是世界防治肥胖日．我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题．目前，国际上常用身体质量指数（BdyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．我国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图：
（1）求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的70%分位数；
（2）已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数．
19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足2bcsC＝2a﹣c．
（1）求角B；
（2）如图，若△ABC外接圆半径为263，D为AC的中点，且BD＝2，求△ABC的周长．
20．（12分）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=v0lnMm计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中v0（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s．
参考数据：ln230≈5.4，1.648＜e0.5＜1.649．
（1）当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？
21．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为梯形，AB∥CD，PA＝PD＝PB，BC＝CD＝1，AB＝2，∠BCD=π3，直线PA与底面ABCD所成角为π4．
（1）若E为PD上一点且PE＝2ED，证明：PB∥平面ACE；
（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．
22．（12分）设a为正数，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1且f（x）＝f(2a-x)．
（1）若f（1）＝1，求f（x）；
（2）设g（x）＝lg2（x﹣2x+2），若对任意实数t，总存在x1，x2∈[t﹣1，t+1]，使得f（x1）﹣f（x2）≥g（x3）﹣g（x4）对所有x3，x4∈[14，4]都成立，求a的取值范围．
2022-2023学年广东省广州六中、二中、广雅、省实、执信五校联考高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
1．（5分）已知复数z=1-2i1+i（i是虚数单位），则z对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：因为z=1-2i1+i=(1-2i)(1-i)(1+i)(1-i)=-1-3i2=-12-32i，则z=-12+32i，
因此，z对应的点(-12，32)在第二象限．
故选：B．
2．（5分）已知平面向量a→与b→为单位向量，它们的夹角为π3，则|2a→+b→|＝（ ）
A．2B．3C．5D．7
【解答】解：∵a→⋅b→=|a→|⋅|b→|cs＜a→，b→＞=csπ3=12，
∴|2a→+b→|=|2a→+b→|2=4|a→|2+4a→⋅b→+|b→|2=4+2+1=7．
故选：D．
3．（5分）已知函数f(x)=1x，x＞0x+2，x≤0，则方程f（x）﹣3|x|＝0的解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：令f（x）﹣3|x|＝0，得f（x）＝3|x|，
则方程f（x）﹣3|x|＝0的解的个数即函数y＝f（x）与函数y＝3|x|的图象的交点的个数．
作出函数y＝f（x）与函数y＝3|x|的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，
故方程的解的个数为2个．
故选：C．
4．（5分）函数y＝sin（x+π3）sin（x+π2）的最小正周期是（ ）
A．π4B．π2C．πD．2π
【解答】解：∵函数y＝sin（x+π3）sin（x+π2）＝（12sinx+32csx）•csx=12sinxcsx+32cs2x
=14sin2x+32•1+cs2x2=12sin（2x+π3）+34，
∴函数的最小正周期是 2π2=π，
故选：C．
5．（5分）下列不等式恒成立的是（ ）
A．ba+ab≥2B．ab≥(a+b2)2
C．a+b≥2|ab|D．a2+b2≥﹣2ab
【解答】解：对于A：a，b异号是显然不成立，∴A不正确；
对于B：a，b异号是显然不成立，∴B不正确；
对于C：a，b均小于0时，显然不成立，∴C不正确；
对于D：∵（a+b）2≥0 （a，b∈R），∴a2+b2≥﹣2ab （a，b∈R），∴D正确；
故选：D．
6．（5分）已知a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若a∥α，β∥α，则a∥βB．若α⊥β，a⊥β，则a∥α
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD．若a∥α，b⊥α，则a⊥b
【解答】解：对于A：若a∥α，β∥α，则a∥β或a⊂β，故A错误；
对于B：若α⊥β，a⊥β，则a∥α或a⊂α，故B错误；
对于C：若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交；故C错误；
对于D：若a∥α，则过a作平面δ，δ∩α＝m，则a∥m，由b⊥α，则b⊥m，则a⊥b，故D正确．
故选：D．
7．（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h．将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星．若该观测点的纬度值为a，观测该卫星的仰角为β，则下列关系一定成立的是（ ）
A．r+hcsβ=rcs(α+β)B．hcsβ=rcs(α+β)
C．r+hsinβ=rsin(α+β)D．hsinβ=rsin(α+β)
【解答】解：如图所示，∠B=π2-α-β，
由正弦定理可得OAsinB=OBsin∠OAB，
即rsin(π2-α-β)=r+hsin(π2+β)，
化简得rcs(α+β)=r+hcsβ，
故选：A．
8．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，M是BB1的中点，点P在正方体内部或表面上，且MP∥平面AB1D1，则动点P的轨迹所形成的区域面积是（ ）
A．3B．23C．33D．43
【解答】解：如图所示，E，F，G，H，N分别为B1C1，C1D1，DD1，DA，AB的中点，
则EF∥B1D1∥NH，MN∥B1A∥FG，
∴平面MEFGHN∥平面AB1D1，
∴动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部．
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，
∴EF＝FG＝GH＝HN＝NM＝ME=2，
即六边形EFGHNM是边长为2的正六边形，
则其面积S=6×12×2×2×32=33．
故选：C．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
（多选）9．（5分）已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19（单位℃）．则（ ）
A．该组数据的平均数为1157
B．该组数据的中位数为13
C．该组数据的第70百分位数为16
D．该组数据的极差为15
【解答】解：将23，25，13，10，13，12，19从小到大排列为10，12，13，13，19，23，25，
对于A，该组数据的中位数为23+25+13+10+13+12+197=1157，故A正确；
对于B，该组数据的中位数为13，故B正确；
对于C，由7×70%＝4.9，则该组数据的第70百分位数为从小到大排列的第5个数，是19，故C错误；
对于D，该组数据的极差为25﹣10＝15，故D 正确．
故选：ABD．
（多选）10．（5分）把函数f（x）＝sinx的图象向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，下列关于函数g（x）的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为π
B．在区间[-π3，π6]上的最大值为32
C．图象的一个对称中心为(-π3，0)
D．图象的一条对称轴为直线x=π12
【解答】解：f（x）＝sinx的图象向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数g（x）＝sin（2x+π3）的图象；
所以函数的最小正周期为π，
当x=π12时，函数取得最大值1．
故选：AD．
（多选）11．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b（b+c），则下列结论正确的有（ ）
A．A＝2B
B．B的取值范围为(0，π4)
C．ab的取值范围为(2，3)
D．1tanB-1tanA+2sinA的取值范围为(533，6)
【解答】解：因为a2＝b（b+c），又由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsA，
即b（b+c）＝b2+c2﹣2bccsA，
所以bc＝c2﹣2bccsA，所以b＝c﹣2bcsA，即c﹣b＝2bcsA，
由正弦定理可得sinC﹣sinB＝2sinBcsA，
又sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB，
∴sinAcsB+csAsinB﹣sinB＝2sinBcsA，即sinAcsB﹣sinB＝sinBcsA，
∴sinAcsB﹣csAsinB＝sin（A﹣B）＝sinB，
∵A，B，C为锐角，
∴A﹣B＝B，即A＝2B，故选项A正确；
∵0＜2B＜π20＜π-3B＜π2，∴π6＜B＜π4，π3＜A＜π2，故选项B错误；
∵ab=sinAsinB=2sinBcsBsinB=2csB∈(2，3)，故选项C正确；
∵1tanB-1tanA+2sinA=sin(A-B)sinBsinA+2sinA=sin(2B-B)sinBsinA+2sinA=1sinA+2sinA，
又π3＜A＜π2，∴32＜sinA＜1，
令t＝sinA（32＜t＜1），则f(t)=1t+2t(32＜t＜1)，
由对勾函数性质可知，f(t)=1t+2t在t∈(32，1)上单调递增，
又f(32)=132+2×32=533，f(1)=11+2×1=3，
∴1tanB-1tanA+2sinA=1sinA+2sinA∈(533，3)，故选项D错误．
故选：AC．
（多选）12．（5分）如图是一个正方体的侧面展开图，A，C，E，F是顶点，B，D是所在棱的中点，则在这个正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．BF与AE异面
B．BF∥平面ACD
C．平面CDF⊥平面ABD
D．DE与平面ABD所成的角的正弦值是23
【解答】解：由展开图还原正方体如下图所示，其中B，D分别为NP，AM中点，
对于A，∵AE∩平面EFPN＝E，BF⊂平面EFPN，E∉BF，
∴AE与BF为异面直线，A正确；
对于B，连接BD，DG，
∵B，D分别为AM，NP中点，∴BD∥AP，BD＝AP，
又AP∥FG，AP＝FG，∴BD∥FG，BD＝FG，∴四边形BDGF为平行四边形，
∴BF∥DG，又BF⊄平面ACD，DG⊂平面ACD，∴BF∥平面ACD，B正确；
对于C，假设平面CDF⊥平面ABD成立，
∵AG⊥平面ABD，AG⊄平面ABD，∴AG∥平面CDF，
∵AG⊂平面AGCM，平面AGCM∩平面CDF＝CD，∴AG∥CD，显然不成立，
∴假设错误，平面CDF与平面ABD不垂直，C错误；
对于D，连接DN，
直线DE与平面ABD所成角即为直线DE与平面AMNP所成角，
∵EN⊥平面AMNP，∴∠EDN即为直线DE与平面AMNP所成角，
设正方体棱长为2，
∵DE=EN2+DN2=EN2+MN2+(12AM)2=4+4+1=3，
∴sin∠EDN=NEDE=23，即直线DE与平面ABD所成角的正弦值为23，D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上．
13．（5分）已知树人中学高一年级总共有学生n人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取n10名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人，则n＝ 1000 ．
【解答】解：树人中学高一年级总共有学生n人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，
并按比例分配抽取n10名学生参加湿地保护知识竞赛，
已知参赛学生中男生比女生多10人，
按比例分配抽取n10名学生参加湿地保护知识竞赛，
则参赛学生中男生人数为550×110=55人，
参赛学生中女生人数为55﹣10＝45人，
∴n＝（55+45）×10＝1000．
故答案为：1000．
14．（5分）在直角三角形ABC中，已知AC＝2，BC=23，∠C＝90°，以AC为旋转轴将△ABC旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为 8 ．
【解答】解：如图，圆锥任意两条母线为AB，AD，则截面为等腰△ABD，
∴截面面积为S△ABD=12×AB×AD×sin∠BAD，
由图可知当截面为圆锥轴截面时，∠BAD最大，最大为120°，
∴∠BAD∈（0°，120°），∴sin∠BAD最大值为1，
∵AB＝AD=AC2+BC2=4+12=4为定值，
∴当sin∠BAD最大时截面面积最大，
∴截面面积最大为12×42×1=8．
故答案为：8．
15．（5分）已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为8π，则此正四棱台的侧棱长为 2 ．
【解答】解：设上下底面互相平行的两对角线分别为DC，AB，则由球O的表面积为8π，可得球O的半径R=2，
又正四棱台的上下底面边长分别是1和2，故DC=2，AB＝22，
所以球O的球心正好在AB中点，故OA＝OB＝OC＝OD=2，所以△ODC是正三角形，故∠ODC＝∠DOC＝60°，所以△ODA是正三角形，
故此正四棱台的侧棱长AD＝OA=2．
故答案为：2．
16．（5分）如图是正八边形ABCDEFGH，其中O是该正八边形的中心，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点．若OA＝2，则该八边形的面积为 82 ，OP→⋅AB→的最小值为 ﹣22 ．
【解答】解：在正八边形ABCDEFGH中，
OB=OA=2，∠AOB=π4
所以正八边形ABCDEFGH的面积为8S△AOB=8×12×2×2sinπ4=82；
因为AB2=OA2+OB2-2OA⋅OBcsπ4=8-42，
所以AB=8-42，又cs3π4=2cs23π8-1=-22，所以cs3π8=2-22，
所以OA→⋅AB→=2×8-42×cs(π-3π8)=22-4，因为OP→⋅AB→=(OA→+AP→)⋅AB→=OA→⋅AB→+AP→⋅AB→，
因为OP→⋅AB→=(OA→+AP→)⋅AB→=OOA→⋅AB→+AP→⋅AB→，又OA→⋅AB→为定值，所以OP→⋅AB→取最小值时，即AP→⋅AB→取最小值，
又设〈AP→，AB→〉=θ，
所以AP→⋅AB→=|AB→|⋅|AP→|csθ，所以AP→⋅AB→取最小值时，即|AP→|csθ取最小值，
又|AP→|csθ表示向量AP→在向量AB→上的投影，故|AP→|csθ取最小值时，
点P不可能在路径BCDE上（在此路径上θ为锐角），所以点P在路径EFGHAB上，
延长BA与GH，延长线交于M点，
则AMH为等腰直角三角形，且MA=MH=22-2，
所以BM=22-2+8-42，
所以当点P在GH上时，向量AP1→在向量AB→上的投影最小，即|AP→|csθ最小，
即|AP→|csθ=-|AM→|=-22-2，
所以(AP→⋅AB→)min=8-42×(-22-2)=4-42，
所以(OP→⋅AB→)min=22-4+4-42=-22．
故答案为：82；-22．
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效
17．（10分）已知函数f（x）＝sin（﹣2x）+cs（﹣2x），x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f（x）在[0，π2]上的最小值及相应自变量的值．
【解答】解：（1）因为f(x)=cs2x-sin2x=2cs(2x+π4)，
由题意得：T=2π|ω|-2π2=π，即最小正周期为π；
由2kπ⩽2x+π4⩽π+2kπ，k∈Z，
解得：-π8+kπ⩽x⩽3π8+kπ，k∈Z，
故函数f（x）的单调递减区间为[-π8+kπ，3π8+kπ](k∈Z)；
（2）由x∈[0，π2]得2x+π4∈[π4，5π4]，
∴cs(2x+π4)∈[-1，22]，
∴f（x）在区间[0，π2]上的最小值为-2，
当cs(2x+π4)=-1，即2x+π4=π，所以x=3π8时f(x)min=-2．
18．（12分）5月11日是世界防治肥胖日．我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题．目前，国际上常用身体质量指数（BdyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．我国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图：
（1）求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的70%分位数；
（2）已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数．
【解答】解：（1）由题意，2×（0.08+0.13+a+0.06+0.07+0.02+0.01+0.03）＝1，
解得a＝0.10，
因为2×（0.08+0.13+0.10）＝0.62＜0.7，2×（0.08+0.13+0.10+0.06）＝0.74＞0.7，
故70%分位数在[22，24）之间，
设为x，则0.62+0.06×（x﹣22）＝0.7，
解得x=703．
故估计样本中女员工BMI值的中位数为703；
（2）由题意，样本中女员工BMI值的平均数为：
2×（17×0.08+19×0.13+21×0.10+23×0.06+25×0.07+27×0.02+29×0.01+31×0.03）＝21.64，
故估计该公司员工BMI值的平均数x=1100×（22×60+21.64×40）＝21.856．
19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足2bcsC＝2a﹣c．
（1）求角B；
（2）如图，若△ABC外接圆半径为263，D为AC的中点，且BD＝2，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）因为2bcsC＝2a﹣c，由余弦定理可得2b•a2+b2-c22ab=2a﹣c，
整理可得：a2+c2﹣b2＝ac，再由余弦定理可得a2+c2﹣b2＝2accsB，
可得csB=12，B∈（0，π），
可得B=π3；
（2）设△ABC外接圆半径为263，设外接圆的半径为r，由正弦定理可得：bsinB=2r，
由（1）可得AC＝b＝2×263×32=22，
D为AC的中点，可得AD＝CD=12AC=2，
在△ABC中，由余弦定理可得csB=a2+c2-b22ac=12，
可得a2+c2﹣b2＝ac，可得（a+c）2＝b2+3ac＝8+3ac，①
而BD＝2，
在△ADC中，由余弦定理可得cs∠ADC=AD2+BD2-AB22AD⋅BD=2+4-AB22×2×2=6-AB242，
在△BCD中，由余弦定理可得cs∠BDC=DC2+BD2-BC22DC⋅BD=2+4-BC22×2×2=6-BC242，
又因为∠ADC，∠BDC互为补角，所以cs∠ADC+cs∠BDC＝0，
所以6﹣AB2+6﹣BC2＝0，
即a2+c2＝12，所以（a+c）2＝12+2ac②，
由①②可得a+c＝25，
所以△ABC的周长为a+b+c＝25+22．
20．（12分）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=v0lnMm计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中v0（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s．
参考数据：ln230≈5.4，1.648＜e0.5＜1.649．
（1）当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？
【解答】解：（1）v=v0lnMm=2000×ln230≈2000×5.4＝10800m/s；
（2）v1=v0lnMm=2000lnMm．v2=32v0lnM3m=3000lnM3m，
要使火箭的最大速度增加500m/s，
则v2-v1=3000lnM3m-2000lnMm=500，
即：6lnM3m-4lnMm=1，
∴ln(M3m)6-ln(Mm)4=2lnM27m=1，
即M27m=e12，∴Mm=27e12，
∵1.648＜e0.5＜1.649．∴Mm=27e12∈（44.5，44.52）．
不小于T的最小整数为45．
21．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为梯形，AB∥CD，PA＝PD＝PB，BC＝CD＝1，AB＝2，∠BCD=π3，直线PA与底面ABCD所成角为π4．
（1）若E为PD上一点且PE＝2ED，证明：PB∥平面ACE；
（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．
【解答】解：（1）证明：连接AC，BD，设AC∩BD＝M，
因为AB∥CD，CD＝1，AB＝2，
所以DMBM=12，
又因为PE＝2ED，
所以DEPE=12，
所以EM∥PB，
又因为EM⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，
所以PB∥平面ACE；
（2）过P作PF⊥AB于点F，则PF⊥底面ABCD，过F作FO⊥AD于点O，连接PO，
因为PA＝PD，所以DF＝AF，
又因为OF⊥AD，
所以O是AD中点，
∵BC＝CD＝1，∠BCD=π3，
∴△BCD是等边三角形．
∴∠ABD＝60°，
又AB＝2，BD＝1，
∴AD=AB2+BD2-2AB⋅BD⋅cs60°=3，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴AD⊥BD，
∴OF∥BD，
∵O是AD中点，
∴F是AB的中点，
∴PO⊥AD，OF⊥AD，
∴∠FOP为二面角P﹣AD﹣B的平面角，
在△POF中，PO=(2)2-(32)2=52，OF=12BD=12，
PF=PA2-(AB2)2=2-1=1，
所以cs∠FOP=(52)2+(12)2-122×52×12=55．
所以二面角P﹣AD﹣B的余弦值为55．
22．（12分）设a为正数，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1且f（x）＝f(2a-x)．
（1）若f（1）＝1，求f（x）；
（2）设g（x）＝lg2（x﹣2x+2），若对任意实数t，总存在x1，x2∈[t﹣1，t+1]，使得f（x1）﹣f（x2）≥g（x3）﹣g（x4）对所有x3，x4∈[14，4]都成立，求a的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1且f（x）＝f(2a-x)，
可得c＝1且-b2a=1a，即b＝﹣2，
又f（1）＝1，可得a+b+c＝1，解得a＝2，
则f（x）＝2x2﹣2x+1；
（2）g（x）＝lg2（x﹣2x+2）＝lg2[（x-1）2+1]，
当x∈[14，4]可得g（x）的最小值为g（1）＝0，最大值为g（4）＝1，
g（x3）﹣g（x4）的最大值为1﹣0＝1，
所以对任意的实数t，总存在x1，x2∈[t﹣1，t+1]，使得f（x1）﹣f（x2）≥1．
设f（x）＝ax2﹣2x+1在[t﹣1，t+1]上最大值为M（t），最小值为m（t），
f（x）的对称轴为直线x=1a，
令h（t）＝M（t）﹣m（t），则对任意的实数t，h（t）≥1．
①当1a≤t﹣1时，f（x）在[t﹣1，t+1]上递增，可得M（t）＝f（t+1），m（t）＝f（t﹣1），
则h（t）＝M（t）﹣m（t）＝4at﹣4，此时h（t）≥4a（1a+1）﹣4＝4a≥1，∴a≥14；
②当t﹣1＜1a≤t时，M（t）＝f（t+1），m（t）＝f（1a）＝1-1a，
h（t）＝M（t）﹣m（t）≥f（1a+1）﹣（1-1a）＝a（1a+1）2﹣2（1+1a）+1﹣（1-1a）＝a≥1，
∴a≥1．
③当t＜1a＜t+1时，M（t）＝f（t﹣1），m（t）＝f（1a）＝1-1a，
h（t）＝M（t）﹣m（t）≥f（1a-1）﹣（ 1-1a）＝a（1a-1）2﹣2（1a-1）+1﹣（1-1a）＝a≥1，∴a≥1；
④当1a≥t+1时，f（x）在[t﹣1，t+1]递减，可得M（t）＝f（t﹣1），m（t）＝f（t+1），
则h（t）＝M（t）﹣m（t）＝﹣4at+4，
此时h（t）≥﹣4a（1a-1）+4＝4a≥1，∴a≥14，
综上，a的取值范围是[1，+∞）．
1．（5分）已知复数z=1-2i1+i（i是虚数单位），则z对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）已知平面向量a→与b→为单位向量，它们的夹角为π3，则|2a→+b→|＝（ ）
A．2B．3C．5D．7
3．（5分）已知函数f(x)=1x，x＞0x+2，x≤0，则方程f（x）﹣3|x|＝0的解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．（5分）函数y＝sin（x+π3）sin（x+π2）的最小正周期是（ ）
A．π4B．π2C．πD．2π
5．（5分）下列不等式恒成立的是（ ）
A．ba+ab≥2B．ab≥(a+b2)2
C．a+b≥2|ab|D．a2+b2≥﹣2ab
6．（5分）已知a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若a∥α，β∥α，则a∥βB．若α⊥β，a⊥β，则a∥α
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD．若a∥α，b⊥α，则a⊥b
7．（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h．将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星．若该观测点的纬度值为a，观测该卫星的仰角为β，则下列关系一定成立的是（ ）
A．r+hcsβ=rcs(α+β)B．hcsβ=rcs(α+β)
C．r+hsinβ=rsin(α+β)D．hsinβ=rsin(α+β)
8．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，M是BB1的中点，点P在正方体内部或表面上，且MP∥平面AB1D1，则动点P的轨迹所形成的区域面积是（ ）
A．3B．23C．33D．43
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
（多选）9．（5分）已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19（单位℃）．则（ ）
A．该组数据的平均数为1157
B．该组数据的中位数为13
C．该组数据的第70百分位数为16
D．该组数据的极差为15
（多选）10．（5分）把函数f（x）＝sinx的图象向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，下列关于函数g（x）的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为π
B．在区间[-π3，π6]上的最大值为32
C．图象的一个对称中心为(-π3，0)
D．图象的一条对称轴为直线x=π12
（多选）11．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b（b+c），则下列结论正确的有（ ）
A．A＝2B
B．B的取值范围为(0，π4)
C．ab的取值范围为(2，3)
D．1tanB-1tanA+2sinA的取值范围为(533，6)
（多选）12．（5分）如图是一个正方体的侧面展开图，A，C，E，F是顶点，B，D是所在棱的中点，则在这个正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．BF与AE异面
B．BF∥平面ACD
C．平面CDF⊥平面ABD
D．DE与平面ABD所成的角的正弦值是23
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上．
13．（5分）已知树人中学高一年级总共有学生n人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取n10名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人，则n＝ ．
14．（5分）在直角三角形ABC中，已知AC＝2，BC=23，∠C＝90°，以AC为旋转轴将△ABC旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为 ．
15．（5分）已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为8π，则此正四棱台的侧棱长为 ．
16．（5分）如图是正八边形ABCDEFGH，其中O是该正八边形的中心，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点．若OA＝2，则该八边形的面积为 ，OP→⋅AB→的最小值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效
17．（10分）已知函数f（x）＝sin（﹣2x）+cs（﹣2x），x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f（x）在[0，π2]上的最小值及相应自变量的值．
18．（12分）5月11日是世界防治肥胖日．我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题．目前，国际上常用身体质量指数（BdyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．我国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图：
（1）求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的70%分位数；
（2）已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数．
19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足2bcsC＝2a﹣c．
（1）求角B；
（2）如图，若△ABC外接圆半径为263，D为AC的中点，且BD＝2，求△ABC的周长．
20．（12分）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=v0lnMm计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中v0（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s．
参考数据：ln230≈5.4，1.648＜e0.5＜1.649．
（1）当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？
21．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为梯形，AB∥CD，PA＝PD＝PB，BC＝CD＝1，AB＝2，∠BCD=π3，直线PA与底面ABCD所成角为π4．
（1）若E为PD上一点且PE＝2ED，证明：PB∥平面ACE；
（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．
22．（12分）设a为正数，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1且f（x）＝f(2a-x)．
（1）若f（1）＝1，求f（x）；
（2）设g（x）＝lg2（x﹣2x+2），若对任意实数t，总存在x1，x2∈[t﹣1，t+1]，使得f（x1）﹣f（x2）≥g（x3）﹣g（x4）对所有x3，x4∈[14，4]都成立，求a的取值范围．
2022-2023学年广东省广州六中、二中、广雅、省实、执信五校联考高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
1．（5分）已知复数z=1-2i1+i（i是虚数单位），则z对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：因为z=1-2i1+i=(1-2i)(1-i)(1+i)(1-i)=-1-3i2=-12-32i，则z=-12+32i，
因此，z对应的点(-12，32)在第二象限．
故选：B．
2．（5分）已知平面向量a→与b→为单位向量，它们的夹角为π3，则|2a→+b→|＝（ ）
A．2B．3C．5D．7
【解答】解：∵a→⋅b→=|a→|⋅|b→|cs＜a→，b→＞=csπ3=12，
∴|2a→+b→|=|2a→+b→|2=4|a→|2+4a→⋅b→+|b→|2=4+2+1=7．
故选：D．
3．（5分）已知函数f(x)=1x，x＞0x+2，x≤0，则方程f（x）﹣3|x|＝0的解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：令f（x）﹣3|x|＝0，得f（x）＝3|x|，
则方程f（x）﹣3|x|＝0的解的个数即函数y＝f（x）与函数y＝3|x|的图象的交点的个数．
作出函数y＝f（x）与函数y＝3|x|的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，
故方程的解的个数为2个．
故选：C．
4．（5分）函数y＝sin（x+π3）sin（x+π2）的最小正周期是（ ）
A．π4B．π2C．πD．2π
【解答】解：∵函数y＝sin（x+π3）sin（x+π2）＝（12sinx+32csx）•csx=12sinxcsx+32cs2x
=14sin2x+32•1+cs2x2=12sin（2x+π3）+34，
∴函数的最小正周期是 2π2=π，
故选：C．
5．（5分）下列不等式恒成立的是（ ）
A．ba+ab≥2B．ab≥(a+b2)2
C．a+b≥2|ab|D．a2+b2≥﹣2ab
【解答】解：对于A：a，b异号是显然不成立，∴A不正确；
对于B：a，b异号是显然不成立，∴B不正确；
对于C：a，b均小于0时，显然不成立，∴C不正确；
对于D：∵（a+b）2≥0 （a，b∈R），∴a2+b2≥﹣2ab （a，b∈R），∴D正确；
故选：D．
6．（5分）已知a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若a∥α，β∥α，则a∥βB．若α⊥β，a⊥β，则a∥α
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD．若a∥α，b⊥α，则a⊥b
【解答】解：对于A：若a∥α，β∥α，则a∥β或a⊂β，故A错误；
对于B：若α⊥β，a⊥β，则a∥α或a⊂α，故B错误；
对于C：若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交；故C错误；
对于D：若a∥α，则过a作平面δ，δ∩α＝m，则a∥m，由b⊥α，则b⊥m，则a⊥b，故D正确．
故选：D．
7．（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h．将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星．若该观测点的纬度值为a，观测该卫星的仰角为β，则下列关系一定成立的是（ ）
A．r+hcsβ=rcs(α+β)B．hcsβ=rcs(α+β)
C．r+hsinβ=rsin(α+β)D．hsinβ=rsin(α+β)
【解答】解：如图所示，∠B=π2-α-β，
由正弦定理可得OAsinB=OBsin∠OAB，
即rsin(π2-α-β)=r+hsin(π2+β)，
化简得rcs(α+β)=r+hcsβ，
故选：A．
8．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，M是BB1的中点，点P在正方体内部或表面上，且MP∥平面AB1D1，则动点P的轨迹所形成的区域面积是（ ）
A．3B．23C．33D．43
【解答】解：如图所示，E，F，G，H，N分别为B1C1，C1D1，DD1，DA，AB的中点，
则EF∥B1D1∥NH，MN∥B1A∥FG，
∴平面MEFGHN∥平面AB1D1，
∴动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部．
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，
∴EF＝FG＝GH＝HN＝NM＝ME=2，
即六边形EFGHNM是边长为2的正六边形，
则其面积S=6×12×2×2×32=33．
故选：C．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
（多选）9．（5分）已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19（单位℃）．则（ ）
A．该组数据的平均数为1157
B．该组数据的中位数为13
C．该组数据的第70百分位数为16
D．该组数据的极差为15
【解答】解：将23，25，13，10，13，12，19从小到大排列为10，12，13，13，19，23，25，
对于A，该组数据的中位数为23+25+13+10+13+12+197=1157，故A正确；
对于B，该组数据的中位数为13，故B正确；
对于C，由7×70%＝4.9，则该组数据的第70百分位数为从小到大排列的第5个数，是19，故C错误；
对于D，该组数据的极差为25﹣10＝15，故D 正确．
故选：ABD．
（多选）10．（5分）把函数f（x）＝sinx的图象向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，下列关于函数g（x）的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为π
B．在区间[-π3，π6]上的最大值为32
C．图象的一个对称中心为(-π3，0)
D．图象的一条对称轴为直线x=π12
【解答】解：f（x）＝sinx的图象向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数g（x）＝sin（2x+π3）的图象；
所以函数的最小正周期为π，
当x=π12时，函数取得最大值1．
故选：AD．
（多选）11．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b（b+c），则下列结论正确的有（ ）
A．A＝2B
B．B的取值范围为(0，π4)
C．ab的取值范围为(2，3)
D．1tanB-1tanA+2sinA的取值范围为(533，6)
【解答】解：因为a2＝b（b+c），又由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsA，
即b（b+c）＝b2+c2﹣2bccsA，
所以bc＝c2﹣2bccsA，所以b＝c﹣2bcsA，即c﹣b＝2bcsA，
由正弦定理可得sinC﹣sinB＝2sinBcsA，
又sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB，
∴sinAcsB+csAsinB﹣sinB＝2sinBcsA，即sinAcsB﹣sinB＝sinBcsA，
∴sinAcsB﹣csAsinB＝sin（A﹣B）＝sinB，
∵A，B，C为锐角，
∴A﹣B＝B，即A＝2B，故选项A正确；
∵0＜2B＜π20＜π-3B＜π2，∴π6＜B＜π4，π3＜A＜π2，故选项B错误；
∵ab=sinAsinB=2sinBcsBsinB=2csB∈(2，3)，故选项C正确；
∵1tanB-1tanA+2sinA=sin(A-B)sinBsinA+2sinA=sin(2B-B)sinBsinA+2sinA=1sinA+2sinA，
又π3＜A＜π2，∴32＜sinA＜1，
令t＝sinA（32＜t＜1），则f(t)=1t+2t(32＜t＜1)，
由对勾函数性质可知，f(t)=1t+2t在t∈(32，1)上单调递增，
又f(32)=132+2×32=533，f(1)=11+2×1=3，
∴1tanB-1tanA+2sinA=1sinA+2sinA∈(533，3)，故选项D错误．
故选：AC．
（多选）12．（5分）如图是一个正方体的侧面展开图，A，C，E，F是顶点，B，D是所在棱的中点，则在这个正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．BF与AE异面
B．BF∥平面ACD
C．平面CDF⊥平面ABD
D．DE与平面ABD所成的角的正弦值是23
【解答】解：由展开图还原正方体如下图所示，其中B，D分别为NP，AM中点，
对于A，∵AE∩平面EFPN＝E，BF⊂平面EFPN，E∉BF，
∴AE与BF为异面直线，A正确；
对于B，连接BD，DG，
∵B，D分别为AM，NP中点，∴BD∥AP，BD＝AP，
又AP∥FG，AP＝FG，∴BD∥FG，BD＝FG，∴四边形BDGF为平行四边形，
∴BF∥DG，又BF⊄平面ACD，DG⊂平面ACD，∴BF∥平面ACD，B正确；
对于C，假设平面CDF⊥平面ABD成立，
∵AG⊥平面ABD，AG⊄平面ABD，∴AG∥平面CDF，
∵AG⊂平面AGCM，平面AGCM∩平面CDF＝CD，∴AG∥CD，显然不成立，
∴假设错误，平面CDF与平面ABD不垂直，C错误；
对于D，连接DN，
直线DE与平面ABD所成角即为直线DE与平面AMNP所成角，
∵EN⊥平面AMNP，∴∠EDN即为直线DE与平面AMNP所成角，
设正方体棱长为2，
∵DE=EN2+DN2=EN2+MN2+(12AM)2=4+4+1=3，
∴sin∠EDN=NEDE=23，即直线DE与平面ABD所成角的正弦值为23，D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上．
13．（5分）已知树人中学高一年级总共有学生n人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取n10名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人，则n＝ 1000 ．
【解答】解：树人中学高一年级总共有学生n人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，
并按比例分配抽取n10名学生参加湿地保护知识竞赛，
已知参赛学生中男生比女生多10人，
按比例分配抽取n10名学生参加湿地保护知识竞赛，
则参赛学生中男生人数为550×110=55人，
参赛学生中女生人数为55﹣10＝45人，
∴n＝（55+45）×10＝1000．
故答案为：1000．
14．（5分）在直角三角形ABC中，已知AC＝2，BC=23，∠C＝90°，以AC为旋转轴将△ABC旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为 8 ．
【解答】解：如图，圆锥任意两条母线为AB，AD，则截面为等腰△ABD，
∴截面面积为S△ABD=12×AB×AD×sin∠BAD，
由图可知当截面为圆锥轴截面时，∠BAD最大，最大为120°，
∴∠BAD∈（0°，120°），∴sin∠BAD最大值为1，
∵AB＝AD=AC2+BC2=4+12=4为定值，
∴当sin∠BAD最大时截面面积最大，
∴截面面积最大为12×42×1=8．
故答案为：8．
15．（5分）已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为8π，则此正四棱台的侧棱长为 2 ．
【解答】解：设上下底面互相平行的两对角线分别为DC，AB，则由球O的表面积为8π，可得球O的半径R=2，
又正四棱台的上下底面边长分别是1和2，故DC=2，AB＝22，
所以球O的球心正好在AB中点，故OA＝OB＝OC＝OD=2，所以△ODC是正三角形，故∠ODC＝∠DOC＝60°，所以△ODA是正三角形，
故此正四棱台的侧棱长AD＝OA=2．
故答案为：2．
16．（5分）如图是正八边形ABCDEFGH，其中O是该正八边形的中心，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点．若OA＝2，则该八边形的面积为 82 ，OP→⋅AB→的最小值为 ﹣22 ．
【解答】解：在正八边形ABCDEFGH中，
OB=OA=2，∠AOB=π4
所以正八边形ABCDEFGH的面积为8S△AOB=8×12×2×2sinπ4=82；
因为AB2=OA2+OB2-2OA⋅OBcsπ4=8-42，
所以AB=8-42，又cs3π4=2cs23π8-1=-22，所以cs3π8=2-22，
所以OA→⋅AB→=2×8-42×cs(π-3π8)=22-4，因为OP→⋅AB→=(OA→+AP→)⋅AB→=OA→⋅AB→+AP→⋅AB→，
因为OP→⋅AB→=(OA→+AP→)⋅AB→=OOA→⋅AB→+AP→⋅AB→，又OA→⋅AB→为定值，所以OP→⋅AB→取最小值时，即AP→⋅AB→取最小值，
又设〈AP→，AB→〉=θ，
所以AP→⋅AB→=|AB→|⋅|AP→|csθ，所以AP→⋅AB→取最小值时，即|AP→|csθ取最小值，
又|AP→|csθ表示向量AP→在向量AB→上的投影，故|AP→|csθ取最小值时，
点P不可能在路径BCDE上（在此路径上θ为锐角），所以点P在路径EFGHAB上，
延长BA与GH，延长线交于M点，
则AMH为等腰直角三角形，且MA=MH=22-2，
所以BM=22-2+8-42，
所以当点P在GH上时，向量AP1→在向量AB→上的投影最小，即|AP→|csθ最小，
即|AP→|csθ=-|AM→|=-22-2，
所以(AP→⋅AB→)min=8-42×(-22-2)=4-42，
所以(OP→⋅AB→)min=22-4+4-42=-22．
故答案为：82；-22．
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效
17．（10分）已知函数f（x）＝sin（﹣2x）+cs（﹣2x），x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f（x）在[0，π2]上的最小值及相应自变量的值．
【解答】解：（1）因为f(x)=cs2x-sin2x=2cs(2x+π4)，
由题意得：T=2π|ω|-2π2=π，即最小正周期为π；
由2kπ⩽2x+π4⩽π+2kπ，k∈Z，
解得：-π8+kπ⩽x⩽3π8+kπ，k∈Z，
故函数f（x）的单调递减区间为[-π8+kπ，3π8+kπ](k∈Z)；
（2）由x∈[0，π2]得2x+π4∈[π4，5π4]，
∴cs(2x+π4)∈[-1，22]，
∴f（x）在区间[0，π2]上的最小值为-2，
当cs(2x+π4)=-1，即2x+π4=π，所以x=3π8时f(x)min=-2．
18．（12分）5月11日是世界防治肥胖日．我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题．目前，国际上常用身体质量指数（BdyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．我国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图：
（1）求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的70%分位数；
（2）已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数．
【解答】解：（1）由题意，2×（0.08+0.13+a+0.06+0.07+0.02+0.01+0.03）＝1，
解得a＝0.10，
因为2×（0.08+0.13+0.10）＝0.62＜0.7，2×（0.08+0.13+0.10+0.06）＝0.74＞0.7，
故70%分位数在[22，24）之间，
设为x，则0.62+0.06×（x﹣22）＝0.7，
解得x=703．
故估计样本中女员工BMI值的中位数为703；
（2）由题意，样本中女员工BMI值的平均数为：
2×（17×0.08+19×0.13+21×0.10+23×0.06+25×0.07+27×0.02+29×0.01+31×0.03）＝21.64，
故估计该公司员工BMI值的平均数x=1100×（22×60+21.64×40）＝21.856．
19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足2bcsC＝2a﹣c．
（1）求角B；
（2）如图，若△ABC外接圆半径为263，D为AC的中点，且BD＝2，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）因为2bcsC＝2a﹣c，由余弦定理可得2b•a2+b2-c22ab=2a﹣c，
整理可得：a2+c2﹣b2＝ac，再由余弦定理可得a2+c2﹣b2＝2accsB，
可得csB=12，B∈（0，π），
可得B=π3；
（2）设△ABC外接圆半径为263，设外接圆的半径为r，由正弦定理可得：bsinB=2r，
由（1）可得AC＝b＝2×263×32=22，
D为AC的中点，可得AD＝CD=12AC=2，
在△ABC中，由余弦定理可得csB=a2+c2-b22ac=12，
可得a2+c2﹣b2＝ac，可得（a+c）2＝b2+3ac＝8+3ac，①
而BD＝2，
在△ADC中，由余弦定理可得cs∠ADC=AD2+BD2-AB22AD⋅BD=2+4-AB22×2×2=6-AB242，
在△BCD中，由余弦定理可得cs∠BDC=DC2+BD2-BC22DC⋅BD=2+4-BC22×2×2=6-BC242，
又因为∠ADC，∠BDC互为补角，所以cs∠ADC+cs∠BDC＝0，
所以6﹣AB2+6﹣BC2＝0，
即a2+c2＝12，所以（a+c）2＝12+2ac②，
由①②可得a+c＝25，
所以△ABC的周长为a+b+c＝25+22．
20．（12分）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=v0lnMm计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中v0（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s．
参考数据：ln230≈5.4，1.648＜e0.5＜1.649．
（1）当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？
【解答】解：（1）v=v0lnMm=2000×ln230≈2000×5.4＝10800m/s；
（2）v1=v0lnMm=2000lnMm．v2=32v0lnM3m=3000lnM3m，
要使火箭的最大速度增加500m/s，
则v2-v1=3000lnM3m-2000lnMm=500，
即：6lnM3m-4lnMm=1，
∴ln(M3m)6-ln(Mm)4=2lnM27m=1，
即M27m=e12，∴Mm=27e12，
∵1.648＜e0.5＜1.649．∴Mm=27e12∈（44.5，44.52）．
不小于T的最小整数为45．
21．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为梯形，AB∥CD，PA＝PD＝PB，BC＝CD＝1，AB＝2，∠BCD=π3，直线PA与底面ABCD所成角为π4．
（1）若E为PD上一点且PE＝2ED，证明：PB∥平面ACE；
（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．
【解答】解：（1）证明：连接AC，BD，设AC∩BD＝M，
因为AB∥CD，CD＝1，AB＝2，
所以DMBM=12，
又因为PE＝2ED，
所以DEPE=12，
所以EM∥PB，
又因为EM⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，
所以PB∥平面ACE；
（2）过P作PF⊥AB于点F，则PF⊥底面ABCD，过F作FO⊥AD于点O，连接PO，
因为PA＝PD，所以DF＝AF，
又因为OF⊥AD，
所以O是AD中点，
∵BC＝CD＝1，∠BCD=π3，
∴△BCD是等边三角形．
∴∠ABD＝60°，
又AB＝2，BD＝1，
∴AD=AB2+BD2-2AB⋅BD⋅cs60°=3，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴AD⊥BD，
∴OF∥BD，
∵O是AD中点，
∴F是AB的中点，
∴PO⊥AD，OF⊥AD，
∴∠FOP为二面角P﹣AD﹣B的平面角，
在△POF中，PO=(2)2-(32)2=52，OF=12BD=12，
PF=PA2-(AB2)2=2-1=1，
所以cs∠FOP=(52)2+(12)2-122×52×12=55．
所以二面角P﹣AD﹣B的余弦值为55．
22．（12分）设a为正数，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1且f（x）＝f(2a-x)．
（1）若f（1）＝1，求f（x）；
（2）设g（x）＝lg2（x﹣2x+2），若对任意实数t，总存在x1，x2∈[t﹣1，t+1]，使得f（x1）﹣f（x2）≥g（x3）﹣g（x4）对所有x3，x4∈[14，4]都成立，求a的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1且f（x）＝f(2a-x)，
可得c＝1且-b2a=1a，即b＝﹣2，
又f（1）＝1，可得a+b+c＝1，解得a＝2，
则f（x）＝2x2﹣2x+1；
（2）g（x）＝lg2（x﹣2x+2）＝lg2[（x-1）2+1]，
当x∈[14，4]可得g（x）的最小值为g（1）＝0，最大值为g（4）＝1，
g（x3）﹣g（x4）的最大值为1﹣0＝1，
所以对任意的实数t，总存在x1，x2∈[t﹣1，t+1]，使得f（x1）﹣f（x2）≥1．
设f（x）＝ax2﹣2x+1在[t﹣1，t+1]上最大值为M（t），最小值为m（t），
f（x）的对称轴为直线x=1a，
令h（t）＝M（t）﹣m（t），则对任意的实数t，h（t）≥1．
①当1a≤t﹣1时，f（x）在[t﹣1，t+1]上递增，可得M（t）＝f（t+1），m（t）＝f（t﹣1），
则h（t）＝M（t）﹣m（t）＝4at﹣4，此时h（t）≥4a（1a+1）﹣4＝4a≥1，∴a≥14；
②当t﹣1＜1a≤t时，M（t）＝f（t+1），m（t）＝f（1a）＝1-1a，
h（t）＝M（t）﹣m（t）≥f（1a+1）﹣（1-1a）＝a（1a+1）2﹣2（1+1a）+1﹣（1-1a）＝a≥1，
∴a≥1．
③当t＜1a＜t+1时，M（t）＝f（t﹣1），m（t）＝f（1a）＝1-1a，
h（t）＝M（t）﹣m（t）≥f（1a-1）﹣（ 1-1a）＝a（1a-1）2﹣2（1a-1）+1﹣（1-1a）＝a≥1，∴a≥1；
④当1a≥t+1时，f（x）在[t﹣1，t+1]递减，可得M（t）＝f（t﹣1），m（t）＝f（t+1），
则h（t）＝M（t）﹣m（t）＝﹣4at+4，
此时h（t）≥﹣4a（1a-1）+4＝4a≥1，∴a≥14，
综上，a的取值范围是[1，+∞）．
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