2024长沙雅礼中学高二下学期5月检测数学试题含解析

这是一份2024长沙雅礼中学高二下学期5月检测数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．3男3女站成一排拍照，两端恰好是一男一女，则不同的排法种数为（ ）
A．240B．720C．432D．216
3．已知定义在上的奇函数满足则（8）的值为（ ）
A．－lB．0C．1D．2
4．已知直线的倾斜角满足方程则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图像与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．2020年12月17日，嫦娥五号的返回器携带1731克月球样本成功返回地球，我国成为第三个实现月球采样返回的国家，中国人朝着成功登月又迈进了重要一步．如图展示了嫦娥五号采样返回器从地球表面附近运行到月球表面附近的大致过程、点表示地球中心，点表示月球中心．嫦娥五号采样返回器先沿近地球表面轨道做圆周运动，轨道半径约为地球半径．在地球表面附近的点处沿圆的切线方向加速变轨后，改为沿椭圆轨道运行，并且点为该椭圆的一个焦点．一段时间后，再在近月球表面附近的点处减速变轨做圆周运动，此时轨道半径约为月球半径．已知月球中心与地球中心之间距离约为月球半径的222倍，地球半径约为月球半径的3.7倍．则椭圆轨道的离心率约为（ ）
A．0.67B．0.77C．0.87D．0.97
8．如图，在中，在边上，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．2017年至2022年湖南省年生产总量及其增长速度如图所示，则（ ）
A．2017年至2022年湖南省年生产总量逐渐增加
B．2017年至2022年湖南省年生产总量的极差为14842.3亿元
C．2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度的众数为
D．2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度的分位数为
10．已知数列满足则下列结论正确的是（ ）
A．B．是递增数列
C．是等比数列D．数列的前5项和为
11．如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则（ ）
A．当为的中点时，异面直线与所成角为
B．当平面时，点的轨迹长度为
C．当时，点到的距离可能为
D．存在一个体积为的圆柱体可整体放入内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．在二项式的展开式中的系数为______．
13．抛物线的焦点为准线为为上一点，以点为圆心，以为半径的圆与交于点与轴交于点若则______．
14．已知均为正实数，其中满足：则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，四棱锥中，底面是矩形，PD垂直底面，E，F分别是棱PC，PA上的点，满足已知
（1）求证：平面平面（2）求直线与平面所成角的正弦值．
16．甲、乙两人比赛投篮，每人投三次，进球数多者获胜．设甲进球数为X．乙进球数为Y．已知X的分布列为
乙每次投球进球的概率都为．设．“乙获胜”．
（1）当时，请根据全概率公式，求乙获胜的概率；
（2）当两人进球数相同时记为“平局”，设“甲、乙达成平局”的概率为，当取最大值时，求的均值与方差．
17．已知
（1）当时，求证：
（2）若恒成立，求的取值范围．
18．如图，圆与轴相切于圆心在直线上运动．过点向圆作非轴的切线，切点分别为两条切线交于点设点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设为线段上一点（不含端点），过的直线交曲线于两点，且为的中点，求面积的最大值．
19．我们称各项均不相等的正项数列为“冒泡数列”，对任意冒泡数列，我们按如下步骤进行操作，称为“冒泡操作”
比较的大小，若则交换的位置；
设前述所有步骤后数列变为比较的大小，若则交换的位置，再继续比较的大小，若再交换；…
设前述所有步骤后数列变为比较的大小，若则交换的位置，再继续比较的大小，直到比较得到时或者调整位置至首位时停止比较和交换位置，并进行下一步….
设前述所有步骤后数列变为比较的大小，若则交换的位置，再继续比较的大小，…，直到比较得到或者调整位置至首位时结束操作．
（1）请对数列5，3，2，9，7作冒泡操作，可表示为请写出操作结束后得到的数列，并计算交换位置的次数．
（2）对于某个项冒泡数列当其完成冒泡操作时的总的交换位置的次数称为其“交换复杂度”，记为
（i）求的最小值和最大值；
（ii）对于某个项冒泡数列及其各项全排列产生的所有不同数列，其交换复杂度的平均数记为求的通项．
雅礼中学高二年级5月检测（数学）答案
1．解析：B．若取但是无意义，若“”则可得所以“”是“”的必要不充分条件．
2．解析：C．先排左右两端，有种排法，再排中间4个位置，有种排法，所以不同的排法种数为种．
3．解析：B．由为定义在上的奇函数得由得的周期为4，所以（8）
4．解析：A．所以即直线的斜率为
5．解析：D．如图，作函数的大致图像（实线），平移直线由可得故当时，直线与曲线相切：当时，直线经过点且与曲线有2个不同的交点；当时，直线经过点且与的图像有3个不同的交点．由图分析可知，当时，的图像与直线有3个不同的交点．
6．解析：C．连接设连接，依题意得则因为所以所以
7．解析：D．设该椭圆的半长轴为半焦距为月球半径为则根据题意可知地球半径为月球中心与地球中心距离为所以又所以所以离心率
8．解析：B．设则在中，；
在中，又得所以所以即又可得故所以
9．解：对于A，2017年至2022年湖南省年生产总量逐渐增加，故A正确；
对于B，2017年至2022年湖南省年生产总量的极差为（亿元）；故B错误；；
对于C，2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度的众数为故C正确；
对于D，2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度从小到大依次为：而所以该组数据的分位数为故D错误：故选：AC．
10．解：由可得故A正确；
由可得数列不为单调函数，故B错误；
可得是首项为公比为的等比数列，即有
即有故C正确．数列满足：故其前5项和为：故D正确、故选：ACD．
11．解：对于A，因为为正方形，如图，连接与相交于点连接则两两垂直，故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则
为的中点，则当为的中点时，设异面直线与所成角为，
则故故A正确；
对于B，如图，设为的中点，为的中点，则平面平面
则平面又平面又设
故平面？平面平面平面平面平面
则则为的中点，点在四边形内（包含边界）运动，则
点的轨迹是过点与平行的线段长度为4，故B错误；
对于C，当时，设得即
即点的轨迹以中点为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧（如下图），
到的距离为3，弧上的点到的距离最小值为
因为所以存在点到的距离为故C正确；
对于D，如图，由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥内接最大圆柱的体积，设圆柱底面半径为高为为的中点，为的中点，根据得即则圆柱体积
设求导得
令得，或因为所以舍去，即
所以当时，当时，即当时，
则所以
故存在一个体积为的圆柱体可整体放入内，故D正确．
12．解：展开式的通项公式为
令解得则的系数为故答案为：
13．解：抛物线的焦点为准线为设由可得垂足为且由抛物线的定义可得且四边形为菱形，由解得则故答案为：
14．解：令则
令且当时，当时；
故在↑，在故
又则故
令则
易得从而当且仅当时取等故答案为0．
15．［解]（1）平面平面
底面是矩形，
平面
平面平面平面
（2）由（1）得平面平面平面
平面平面平面
平面同理可证：
平面
直线与平面所成角为其正弦值为1．
【另解】（2）如图建系，
由平面几何知识可求得
设平面的法向量为则可取
设直线与平面所成角为
16．［解]（1）由得得的分布列为
（2）
在故取最大值时，
17．解：（1）即证
设则在即
设则在
即故证得
（1）［另解]如图所示，在单位圆中，设锐角则劣弧
的面积扇形的面积的面积故证得
（2）变形得得恒成立．
令
当时，由（1）知得得
当时，得
在
18．［解]（1）
由双曲线的定义知曲线为双曲线，且
不在轴上，曲线的方程为
［解]（1）
由双曲线的定义知曲线为双曲线，且
不在轴上，曲线的方程为
（2）设与联立得由题意
设则
由条件得解得
点到直线距离令则
在
当时，直线不经过点满足题意，面积的最大值为
19．［解]（1）
故操作结束后得到的数列为2，3，5，7，9，交换位置的次数为4．
（2）（i）当时，无需交换位置，此时
当时，时需要交换位置的次数最多，为次，
此时的最小值为0，最大值为
（ii）时，不妨设则其各项全排列产生的不同数列为1，2和2，1．
数列其各项全排列产生的不同数列数为
考虑数列将插入到产生的每个数列的首项，将增加次位置交换；
将插入到产生的每个数列的第2项，将增加次位置交换；…
将插入到产生的每个数列的末项，将增加0次位置交换；
故
由
累加得
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P