北京市通州区潞河中学2023-2024学年高三下学期第三次模拟数学试卷（含答案）

这是一份北京市通州区潞河中学2023-2024学年高三下学期第三次模拟数学试卷（含答案），共13页。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知U为整数集，，则
A．{-1，0，1} B．{-1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{-2，-1，0，1，2}
2．记等差数列的前n项和为．若，，则
A．49 B．63 C．70 D．126
3．若，则
A． B．1 C．2 D．4
4．若，则
A．80 B．-80 C．40 D．81
5．已知，，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数在区间的图象如下图所示，则的解析式可能为
A． B． C． D．
7．已知，，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知等轴双曲线的渐近线与抛物线的准线交于A，B两点，抛物线焦点为F，的面积为4，则AF的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
9．已知函数（，）的图象在y轴上的截距为，是该函数的最小正零点，则（ ）
A．
B．恒成立
C．在上单调递减
D．将的图象向右平移个单位，得到的图象关于y轴对称
10．在平面直角坐标系xOy中，已知A（-3，0），B（1，0），P为圆C：上动点，则的最小值为（ ）
A．34 B．40 C．44 D．48
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知随机变量，，且，，则________．
12．已知，，，则三者大小关系为________（按从小到大顺序）
13．已知过点P（4，-3）的直线（不过原点）与圆C：相切，且在x轴、y轴上的截距相等，则a的值为________．
14．已知函数的值域是[-1，1]，若，则m的取值范围是________．
15．若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列结论中正确的是________．
①存在等差数列，使得是的“M数列”
②存在等比数列，使得是的“M数列”
③存在等差数列，使得是的“M数列”
④存在等比数列，使得是的“M数列”
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题13分）
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设，，求的值．
17．（本小题13分）
如图，在三棱锥P-ABC中，，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，，求二面角P-AB-C大小的正切值．
18．（本小题14分）
某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A在次日早上8:30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作．每个工人独立维修A元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：
从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数．
（Ⅰ）求X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若，且，求最大值；
（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）
19．（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）求证：当时，关于x的不等式在区间[1，e]上无解．（其中）
20．（本小题15分）
已知椭圆E：的上、下顶点为B、C，左焦点为F，定点，．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）过点B作斜率为k（）的直线l交椭圆E于另一点D，直线l与x轴交于点M（M在B，D之间），直线PM与y轴交于点N，若，求k的值．
21．（本小题15分）
约数，又称因数．它的定义如下：若整数a除以整数m（）除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．
设正整数a有k个正约数，即为，，⋯，，（）．
（Ⅰ）当时，是否存在，，…，构成等比数列，若存在请写出一个满足条件的正整数a的值，若不存在请说明理由；
（Ⅱ）当时，若，，⋯构成等比数列，求正整数a．
（Ⅲ）当时，若，，…，是a的所有正约数的一个排列，那么，，，⋯，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论．
三模数学答案：
一．选择题：ABACB CDDCB
二．填空：11、；12、；13、18；14、；15、①④
9．【解】函数（，）的图象在y轴上的截距为，
所以，因为，所以，故A正确；
又因为是该函数的最小正零点，
所以，所以，
解得，所以，，
所以，故B错误；
当时，，故C正确；
将的图象向右平移个单位，得到，
是非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，故D错误．
故选：C．
10．【详解】设P（x，y），则，
即等价于点P到点Q（-1，0）的距离的平方的两倍加八，
又，
即．
故选：B．
14．【详解】当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以在（-1，1）上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，为，作出与在上的图象如图所示：
当，时，，此时，此时，因为的值域为[-1，1]，则时，必有解，即，解得，由图知
15．【解析】①：，，恒成立，正确
②、④：，，故④正确
③：，，当时，
存在且故C为假命题，选C
16．【解】（1）在中，由正弦定理得：，
因为，所以，
可得，
即，，
又，可得；
（2）在中，由余弦定理得：，，
由，以及，可得，
因为，所以A是锐角，所以，
因此，
，
所以，，
综上，，．
17．【解】（1）在中，由余弦定理得
，
所以，所以，
又，，，，
所以，
又，所以．
（2）以C为原点，CA，CB所在直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
则A（2，0，0），，设P（x，0，z），其中，
由，得，
所以，，即，
所以，，
设平面PAB的法向量为，
则，即，
取，则，，所以．
又平面ABC的法向量为，
设二面角P-AB-C的大小为。
因为为锐角，所以，
所以，二面角P-AB-C的平面角的余弦值为
18．【解】（Ⅰ）X的取值为：9，12，15，18，24；
，，
，，
X的分布列为：
故X的数学期望；
（Ⅱ）当取到最大值时，
a，b的值可能为：，或，或．
经计算，，，
所以的最大值为．
（Ⅲ）至少增加2人．
19．解：（Ⅰ）
因为，
所以，
当时，．
令，得，，
所以，随x的变化情况如下表：
所以在处取得极大值，
在处取得极小值．
函数的单调递增区间为（0，1），，的单调递减区间为（1，2）．
（Ⅱ）证明：
不等式在区间[1，e]上无解，等价于在区间[1，e]上恒成立，
即函数在区间[1，e]上的最大值小于等于1．
因为，
令，得，．
因为时，所以．
当时，对成立，函数在区间[1，e]上单调递减，
所以函数在区间[l，e]上的最大值为，
所以不等式在区间[1，e]上无解；
当时，，随x的变化情况如下表：
所以函数在区间[1，e]上的最大值为或．
此时，，
所以
综上，当时，关于x的不等式在区间[1，e]上无解．
20．【详解】（1）由题意，，则F为P、C的中点，
所以，，
，，即，
，
所以椭圆E的标准方程为．
（2）法一：设直线l的方程为，
与椭圆E的方程联立，，整理得，
，
，
直线l与x相交于点M，令，，
所以直线PM的斜率为，
直线PM的方程为，
令，，
因为
，
所以，
所以，
所以，解得或，
所以k的值为或．
（2）法二：设直线l的方程为，
与椭圆E的方程联立，，整理得，
，
所以，，，
直线l与x相交于点M，令，，
所以直线PM的斜率为，
直线PM的方程为，
令，，
由，
又，
，
，
即，
所以，
所以，
所以，解得或，
所以k的值为或
21．解：
（1）存在，比如1，2，4，8，16为16的所有约数．
（2）易知，，，
，依题意可知
，化简可得
因此可知是完全平方数，
由于是整数a的最小非1因子，所以
所以，，…为，，⋯，
因此
（3）假设，，，⋯，是否是另一个正整数b的所有正约数的一个排列．
，
易知（），而，故
又知，所以b是奇数．
所以为奇数，又，故是偶数
其中A中最大的两个元素为a，，显然B中每个元素都不超过，
特别地，
设，，其中（因为a有k（）个正约数，）
于是B中存在两个元素，，它们都大于，进而都大于
且都是b的约数．
这表明b可以被2整除，与b为奇数矛盾．
因此假设不成立．
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
8日
9日
10日
元件A个数
9
15
12
18
12
18
9
9
24
12
日期
11日
12日
13日
14日
15日
16日
17日
18日
19日
20日
元件A个数
12
24
15
15
15
12
15
15
15
24
X
9
12
15
18
24
P
x
（0，1）
1
（1，2）
2
＋
0
-
0
＋
↗
极大值
↘
极小值
↗
x
-
0
＋
↘
极小值
↗