四川省内江市第二中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题（含答案）

这是一份四川省内江市第二中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知，均为平面单位向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，最小正周期为，在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，E为边AB的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知点在角的终边上，若要得到函数的图象，则需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．设，为基底向量，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（ ）
A．2 B． C． D．3
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．若函数在区间恰存在三个零点，两个最值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在中，下列式于与的值相等的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知向量，，则（ ）
A．若与垂直，则 B．若，则的值为
C．若，则 D．若，则与的夹角为
11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则
B．若，则是等腰三角形
C．若为锐角三角形，则
D．若，则是钝角三角形
12．在三角形ABC所在平面内，点P满足，其中，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线AP一定经过三角形ABC的重心
B．当时，直线AP一定经过三角形ABC的外心
C．当，时，直线AP一定经过三角形ABC的垂心
D．当，时，直线AP一定经过三角形ABC的内心
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。
13．已知，，与的夹角是，则________．
14．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则________．
15．瑞云塔位于福清市融城东南龙首桥头，如图，某同学为测量瑞云塔的高度MN，在瑞云塔的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，瑞云塔顶部M的仰角分别为和，在A处测得瑞云塔顶部M的仰角为，瑞云塔的高度为________．
16．已知平面向量、、满足：，，则的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量，，求：
（1）；（2）；（3）．
18．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，F是CD上靠近点C的三等分点．
（1）设，求的值；
（2）若，，求的值．
19．在中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若，，求的面积．
20．在中，．
（1）求的大小；
（2）若，求证：为直角三角形．
21．函数的一段图象如图所示．
（1）求函数的解析式及单调递增区间；
（2）求函数在上的值域；
（3）若不等式对，上恒成立，求实数m的取值范围．
22．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知________．
（1）求角C；
（2）若，的面积，求的周长l的取值范围；
（3）若，，求．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
参考答案
1．C 2．B 3．C 4．D 5．A 6．A 7．C 8．A
9．AC 10．ABC 11．ACD 12．AC
13．15 14． 15．
12．【分析】对于A，点D为BC的中点，根据重心的性质和已知条件分析判断，对于B，由向量的加法法则分析判断，对于C，化简即可得结论，对于D，结合正弦定理得，进一步由A选项分析可知．
【详解】对于A，因为，，设点D为BC的中点，
所以，所以直线AP一定经过三角形ABC的重心，故A正确；
对于B，当时，，
因为为与方向相同的单位向量，为与方向相同的单位向量，
所以平分，即直线AP一定经过三角形ABC的内心，故B错误；
对于C，当，时，，
所以
，
所以，所以直线AP一定经过三角形ABC的垂心，故C正确；
对于D，当，时，，而由正依定理有，即有，
结合A选项分析可知直线AP一定经过三角形ABC的重心，故D错误．故选：AC．
16．
【详解】因，由可得，
即在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于，
又由可得，不妨设，
则，，于是，
因，则，因，当且仅当时，等号成立，
即当时，取得最小值．故答案为：．
17．（1）5；（2）；（3）5
18．（1）；（2）0
19．（1）；（2）
【详解】（1）由，以及正弦定理可得：，
即，即，
又在中，，所以，又，所以，
（2）由余弦定理，得，因为，所以，所以的面积．
20．（1）
【详解】（1）由于在中，，则，
所以，可化简为：，即，
因为，所以．
（2）由（1）知，根据余弦定理得：，
由于，则，所以，则是以为直角的直角三角形．
21．（1）；（2）
【详解】（1）由图象知，，，，
将图象上的点代入中，得，
结合图象可知，，则，，
又，所以，故．
（2）∵，∴，∴当，即时，取最大值3．
又不等式在上恒成立，∴在上恒成立，
故，即，即或．∴t的取值范围为．
22．（1）；（2）；（3）
【详解】（1）若选①：，
由正弦定理得，又，
所以，又，所以，即，
又，所以；
若选②：因为，所以，
所以，所以，所以，
所以，又，所以；
若选③：因为，
即，所以由正弦定理得，
所以，又，所以；
（2）因为的面积，所以，
由余弦定理得，即，
所以，因为，所以，又，
所以的周长l的取值范围为；
（3）因为，所以，所以，
又，所以，，
，
又，所以，，
记，在中，由正弦定理得：，
所以，
在中，由正弦定理得：，所以，
所以，所以，整理化简得，
所以，即．
【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：
①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值．