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    2023-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高二(下)期中数学试卷-普通用卷
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    2023-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高二(下)期中数学试卷-普通用卷

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    这是一份2023-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高二(下)期中数学试卷-普通用卷,共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.6个班分别从7个风景点中选择一处游览,不同的安排方法有( )
    A. C76B. A76C. 67D. 76
    2.(1−x)2n(n∈N*,n≥4)的展开式中,第_____项的二项式系数与第8项的二项式系数相等.( )
    A. 第2n−7项B. 第2n−6项C. 第2n−5项D. 第2n−4项
    3.已知等差数列{an},则“k=9”是“a7+a11=2ak”成立的_____条件.( )
    A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
    4.两个单位向量e1与e2满足e1⋅e2= 32,则向量e1− 3e2与e2的夹角为( )
    A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
    5.在(33x−x)n(n∈N*)的展开式中,所有的二项式系数之和为32,则所有项的系数和为( )
    A. 32B. −32C. 0D. 1
    6.学校决定于3月14日∼3月21日举行为期8天的“数学节”活动,现安排A,B,C,D,E五位同学担任本次活动的志愿者.已知五位志愿者要全部安排且每天只安排1位志愿者,要求3月14日、3月15日做志愿者的同学每人安排一天,3月16日到3月21日做志愿者的同学每人安排两天,则不同的安排方法一共有( )
    A. 792种B. 1440种C. 1800种D. 10800种
    7.下列不等式中,所有正确的序号是( )
    ①4tan14>1
    ②tan(π−2)>sin2
    ③10sin110>6πsinπ6
    ④cs45<45
    A. ①③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
    8.已知函数f(x)及其导函数f′(x)定义域均为R,满足f(32+x)−f(32−x)=4x,且f(x+3)为奇函数,记g(x)=f′(x),其导函数为g′(x),则g(152)+g′(2025)=( )
    A. −2B. 2C. 1D. 0
    二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
    9.已知方程x2−y2sin2θ=1,则( )
    A. 存在实数θ,使得该方程对应的图形是圆
    B. 存在实数θ,使得该方程对应的图形是平行于x轴的两条直线
    C. 存在实数θ,使得该方程对应的图形是焦点在x轴上的双曲线
    D. 存在实数θ,使得该方程对应的图形是焦点在y轴上的椭圆
    10.在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别为a1,a2,则( )
    A. 若z12=z22,则a12=a22B. 若a12=a22,则z12=z22
    C. 若z1z2=0,则a1⋅a2=0D. 若a1⋅a2=0,则z1z2=0
    11.在下列底面为平行四边形的四棱锥中,M,S,T,P,Q是四棱锥的顶点或棱的中点(如图),则PQ//平面MST的有( )
    A. B.
    C. D.
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
    12.在(2x−y)6的展开式中,含x5y的项的系数是______.
    13.对于随机事件A,B,记A−为事件A的对立事件,且P(A)=23,P(B|A)=25,P(A−|B)=37,则P(B)=______.
    14.已知函数f(x)=alnx−2x(a>0),若不等式xae−2x≥3f(x)+1对x>0恒成立,则实数a的取值范围为______.
    四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    15.(本小题13分)
    如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PD与底面所成的角为45∘,E为PD的中点.
    (1)求证:AE⊥平面PCD;
    (2)若AB=2,G为△BCD的内心,求直线PG与平面PCD所成角的正弦值.
    16.(本小题15分)
    ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序,是人工智能技术驱动的自然语言处理工具,它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答,但它的回答可能会受到训练数据信息的影响,不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现,如果输入的问题没有语法错误,它回答正确的概率为0.98;如果出现语法错误,它回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1,且每次输入问题,ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT,小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答,已知在这10个问题中,小张能正确作答其中的9个.
    (1)在小张和ChatGPT的这次挑战中,求小张答对的题数X的分布列;
    (2)给ChatGPT输入一个问题,求该问题能被ChatGPT回答正确的概率;
    17.(本小题15分)
    已知函数f(x)=xln(x−1).
    (Ⅰ)求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程;
    (Ⅱ)设g(x)=f′(x),求函数g(x)的最小值;
    (Ⅲ)若f(x)x−a>2,求实数a的值.
    18.(本小题17分)
    如图,已知椭圆C1:x24+y2=1和抛物线C2:x2=2py(p>0),C2的焦点F是C1的上顶点,过F的直线交C2于M、N两点,连接NO、MO并延长之,分别交C1于A、B两点,连接AB,设△OMN、△OAB的面积分别为S△OMN、S△OAB.
    (1)求p的值;
    (2)求OM⋅ON的值;
    (3)求S△OMNS△OAB的取值范围.
    19.(本小题17分)
    已知a>0且a≠1,函数f(x)=ax+ln(1+x)−1.
    (1)记an=f(n)−ln(n+1)+n,n∈N*,Sn为数列{an}的前n项和.当a=89时,试比较S64与2024的大小,并说明理由;
    (2)当a=1e时,证明:xf(x)≥0;
    (3)当a>0且a≠1时,试讨论f(x)的零点个数.
    答案和解析
    1.【答案】D
    【解析】解:因为第1个班有7种选法,第2个班有7种选法,第3个班有7种选法,第4个班有7种选法,第5个班有7种选法,第6个班有7种选法,
    所以由分步计数原理可得不同的选法有:7×7×7×7×7×7=76种,
    故选:D.
    由分步相乘原理直接得结论.
    本题考查分步相乘计数原理,属于基础题.
    2.【答案】A
    【解析】解:(1−x)2n(n∈N*,n≥4)的展开式中,第r+1项的二项式系数与第8项的二项式系数相等,
    故C2nr=C2n7,整理得r=2n−7.
    故选:A.
    直接利用二项式的展开式求出结果.
    本题考查的知识点:二项式的展开式,组合数,主要考查学生的运算能力,属于基础题.
    3.【答案】A
    【解析】解:由等差数列的性质可知,若k=9,则a7+a11=2ak一定成立,
    若a7+a11=2ak,则不一定有k=9,例如等差数列为常数列,
    所以“k=9”是“a7+a11=2ak”成立的充分不必要条件.
    故选:A.
    利用等差数列的性质求解.
    本题主要考查了等差数列的性质,属于基础题.
    4.【答案】D
    【解析】解:两个单位向量e1与e2满足e1⋅e2= 32,
    则(e1− 3e2)⋅e2=e1⋅e2− 3e22= 32− 3=− 32,
    |e1− 3e2|= e12−2 3e1⋅e2+3e22= 1−2 3× 32+3=1,
    cs=− 321×1=− 32,
    可得向量e1− 3e2与e2的夹角为5π6.
    故选:D.
    由向量数量积的性质和夹角公式,计算可得所求值.
    本题考查向量的夹角公式,考查转化思想和运算能力,属于基础题.
    5.【答案】A
    【解析】解:由于所有的二项式系数之和为32,则2n=32,解得n=5;
    令x=1,解得所有项的系数和为25=32.
    故选:A.
    直接利用二项式的展开式的二项式系数,进一步利用赋值法求出结果.
    本题考查的知识点:二项式系数和系数的关系,主要考查学生的运算能力,属于基础题.
    6.【答案】C
    【解析】解:已知五位志愿者要全部安排且每天只安排1位志愿者,要求3月14日、3月15日做志愿者的同学每人安排一天,3月16日到3月21日做志愿者的同学每人安排两天,
    则不同的安排方法一共有C51C41C62C42C22=1800种.
    故选:C.
    由排列、组合及简单计数问题,结合分步乘法计数原理求解.
    本题考查了排列、组合及简单计数问题,重点考查了分步乘法计数原理,属中档题.
    7.【答案】D
    【解析】解:对于①,令f(x)=tanx−x,x∈(0,π2),f′(x)=(sinxcs)′−1=1cs2x−1>0,
    ∴f(x)>f(0)=0,则tanx>x在x∈(0,π2)上恒成立,
    则tan14>14,即4tan14>1,故①正确;
    对于②,tan(π−2)=−tan2,而tan21,
    而sin2<1,则tan(π−2)>sin2成立,故②正确;
    对于③,设h(x)=sinxx,x∈(0,1),则h′(x)=xcsx−sinxx2,
    再令g(x)=xcsx−sinx,则g′(x)=−xsinx,x∈(0,1),
    则g(x)=−xsinx<0在(0,1)上恒成立,则g(x)在(0,1)上单调递减,
    则g(x)因为0<110<π6<1,则f(110)>f(π6),则10sin110>6πsinπ6成立,故③正确;
    对于④,根据余弦函数单调性知cs45故选:D.
    ①构造函数f(x)=tanx−x,x∈(0,π2),利用其单调性即可判断;②和④分别利用正切函数和余弦函数单调即可比较大小;③利用函数h(x)=sinxx,x∈(0,1)的单调性即可.
    本题主要考查导数的应用,三角函数的性质,考查逻辑推理能力,属于中档题.
    8.【答案】B
    【解析】解:因为f(32+x)−f(32−x)=4x,两边同时求导可得:f′(32+x)+f′(32−x)=4,
    又g(x)=f′(x),即g(32+x)+g(32−x)=4,
    可得g(x)关于(32,2)对称,对g(x)两边同时求导可得g′(32+x)−g′(32−x)=0,
    则g(x)关于x=32对称,又f(x+3)为奇函数,则f(x+3)=−f(3−x),
    求导可得g(3+x)=g(3−x),所以g(x)关于x=3对称,
    同时求导得g′(3+x)=−g′(3−x),则g′(x)关于(3,0)对称,
    由g(x)关于(32,2)对称,g(x)关于x=3对称得,g(x)的周期为6;
    同理g′(x)的周期也为6,
    因此g(152)+g′(2025)=g(32+6)+g′(3+6×337)=g(32)+g′(3),
    又g(x)关于(32,2)对称,g(32)=2;由g′(x)关于(3,0)对称,可得g′(3)=0,
    所以g(152)+g′(2025)=g(32+6)+g′(3+6×337)=g(32)+g′(3)=2.
    故选:B.
    根据复合函数的导数,根据函数的对称性,奇偶性,周期性即可求值.
    本题考查复合函数的导数,考查函数的性质,属于中档题.
    9.【答案】ACD
    【解析】解:对于A:sin2θ=−1,方程表示圆,故A正确;
    对于B:不存在实数θ,使得该方程对应的图形是平行于x轴的两条直线,所以B不正确;
    对于C:当sin2θ>0,焦点在x轴上的双曲线,故C正确;
    对于D:当sin2θ∈(−1,0),该方程对应的图形是焦点在y轴上的椭圆,故D正确.
    故选:ACD.
    对于A利用方程表示圆的条件判断;对于B判断直线是否与x轴平行;对于C利用方程表示双曲线的条件判断;对于D利用方程表示椭圆的条件判断.
    本题主要考查曲线的方程,双曲线的性质及其应用等知识,属于中等题.
    10.【答案】AC
    【解析】解:不妨设z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,
    则a1=(x1,y1),a2=(x2,y2),
    若z12=z22,
    此时|z1|2=|z2|2,
    即x12+y12=x22+y22,
    因为a12=x12+y12,a22=x22+y22,
    所以a12=a22,故选项A正确;
    若a12=a22,
    此时x12+y12=x22+y22,
    而z12=x12−y12+2x1y1i,z22=x22−y22+2x2y2i,故选项B错误;
    若z1z2=0,
    此时两复数中至少一个为零,
    即a1,a2中至少一个的坐标为(0,0),
    则a1⋅a2=0,故选项C正确;
    若a1⋅a2=0,
    此时x1x2+y1y2=0,
    由z1z2=0
    可得x1x2−y1y2+(x1y2+x2y1)i=0,故选项D错.
    故选:AC.
    由题意,根据复数的运算,模的定义,向量的数量积的坐标表示对选项进行逐一分析,进而即可求解.
    本题考查复数的运算和平面数量向量积的性质及运算,考查了逻辑推理和运算能力.
    11.【答案】AB
    【解析】解:对于A,设A为MS的中点,底面为平行四边形STFE,连接PA,TA,
    则PA//SE,PA=12SE,而TQ//SE,TQ=12SE,
    所以PA//TQ,PA=TQ,即四边形PATQ为平行四边形,
    故PQ//AT,而AT⊂平面MTS,PQ⊄平面MTS,
    故PQ//平面MST,故A正确;
    对于B,设A为MS的中点,底面为平行四边形STFE,连接AP,AT,
    则AP//ES,AP=12ES,而QT//ES,QT=12ES,
    所以AP//QT,AP=QT,即四边形APQT为平行四边形,
    所以PQ//AT,而AT⊂平面MST,PQ⊄平面MST,
    故PQ//平面MST,故B正确;
    对于C,设A为ME的中点,底面为平行四边形GFES,连接QA,AS,
    设AQ∩MT=H,连接SH,
    则AQ//FE,AQ=12FE,而PS//EF,PS=12EF,
    所以AQ//PS,AQ=PS,即四边形AQPS为平行四边形,
    故AS//PQ,又PQ⊂平面AQPS,PQ⊄平面MST,平面AQPS∩平面MST=SH,
    假设PQ//平面MST,则PQ//SH,即在平面AQPS内过点S有两条直线和PQ都平行,
    这是不可能的,故此时假设不成立,故C错误;
    对于D,设底面为平行四边形MQEF,连接ME,FQ交于点H,FQ∩MT=G,
    则H为FQ的中点,连接SH,SG,
    由于S为PF的中点,故SH//PQ,
    又PQ⊂平面PFQ,PQ⊄平面MST,平面PFQ∩平面MST=SG,
    假设PQ//平面MST,则PQ//SG,
    即在平面PFQ内过点S有两条直线和PQ都平行,这是不可能的,
    故此时假设不成立,故D错误.
    故选:AB.
    根据线面平行的判定定理可判断A,B;假设PQ//平面MST,利用线面平行的性质定理结合平面内过一点有且仅有一条直线和已知直线平行可判断C,D.
    本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力与逻辑能力,属于中档题.
    12.【答案】−192
    【解析】解:根据二项式的展开式Tr+1=C6r⋅26−r⋅(−1)r⋅x6−r⋅yr(r=0,1,2,3,4,5,6),
    当r=1时,x5y的项的系数为C61⋅25⋅(−1)=−192.
    故答案为:−192.
    直接利用二项式的展开式和组合数求出结果.
    本题考查的知识点:二项式的展开式,组合数,主要考查学生的运算能力,属于基础题.
    13.【答案】715
    【解析】解:根据题意,P(A)=23,P(B|A)=25,
    则P(AB)=P(A)P(B|A)=415,
    又由P(A|B)=1−P(A−|B)=1−37=47,
    则有P(A|B)=P(AB)P(B)=415P(B)=47,
    变形可得:P(B)=715.
    故答案为:715.
    根据题意,由概率的乘法公式求出P(AB),进而求出P(A|B),结合条件概率公式可得P(A|B)=P(AB)P(B)=47,变形可得答案.
    本题考查条件概率等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
    14.【答案】(0,2e]
    【解析】解:不等式xae−2x≥3f(x)+1对x>0恒成立,等价于xae2x≥3f(x)+1,即ealnx−2x≥3f(x)+1,
    所以ef(x)−3f(x)−1≥0,
    设g(t)=et−3t−1,其中t=f(x),
    则g′(t)=et−3,令g′(t)=0得t=ln3,
    所以当tln3时,g′(t)>0,g(t)单调递增,
    所以g(t)min=g(ln3)=2−2ln3<0,又g(0)=0,g(2)=e2−7>0,
    所以存在t0=(ln3,2)使得g(t0)=0,
    所以若g(t)≥0,则t≤0或t≥t0,
    即f(x)≤0或f(x)≥t0对x>0恒成立,
    又因为f′(x)=ax−2=a−2xx,x>0,
    所以在(0,a2)上,f′(x)>0,f(x)单调递增,在(a2,+∞)上,f′(x)<0,f(x)单调场减,
    所以f(x)max=f(a2)=alna2−a,
    又因为当x→0+时,f(x)→−∞;当x→+∞时,f(x)→−∞,
    所以f(x)≥t0对x>0恒成立不可能,
    所以f(x)≤0对x>0恒成立,只有alna2−a≤0才能满足要求,
    即a(lna2−1)≤0,
    又因为a>0,解得0所以实数a的取值范围为(0,2e].
    故答案为:(0,2e].
    不等式变形为ef(x)−3f(x)−1≥0,令g(t)=et−3t−1,t=f(x),求导得到其单调性,结合特殊函数值,得到若g(t)≥0,则t≤0或t≥t0,即f(x)≤0或f(x)≥t0,再对f(x)=alnx−2x求导,得到其单调性和最值,得到alna2−a≤0,求出答案.
    本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值,属于中档题.
    15.【答案】(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,
    所以CD⊥PA,而CD⊥AD,AD∩PA=A,
    所以CD⊥平面PAD,AE⊂平面PAD,
    所以CD⊥AE,
    因为PA=AD,E为PD的中点,PD与底面所成的角为45∘,
    所以AE⊥PD,又因为PD∩CD,
    所以AE⊥平面PCD;
    (2)解:以A为坐标原点,以AB,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴,
    建立空间直角坐标系,
    因为正方形中,AB=2,由(1)可得AP=2,
    则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),
    E(0,1,1),AC=(2,2,0),AE=(0,1,1),
    由(1)可知平面PCD的法向量为AE=(0,1,1),
    因为G为△BCD的内心,设圆G与△BCD切于Q,M,N,如图所示:
    由△BCD为等腰直角三角形,可得G在对角线AC上,
    设AC,BD的交点为M,则M为圆的切点,圆的半径为r,
    M(1,1,0),
    则r=CG⋅ 22=GM,而CG+MG=CM=12AC,
    可得MG= 2−12AC,
    可得G( 2, 2,0),
    所以PG=( 2, 2,−2)
    AE⋅PG=0× 2+1× 2+1×(−2)=−2+ 2,|AE|= 2,|PG|=2 2,
    所以cs=AE⋅PG|AE|⋅|PG|=−2+ 2 2⋅2 2=−−2+ 24.
    直线PG与平面PCD所成的角为θ,θ∈[0,π2],
    所以sinθ=|cs|=2− 24.
    【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,进而可证得CD⊥平面PAD,可得CD⊥AE,再由PD与底面所成的角为45∘,可证得AE⊥PD,进而可证得AE⊥平面PCD;
    (2)建立空间直角坐标系,求出各点的坐标,可得平面ACE的法向量n的坐标,由G为△BCD的内心,可得点G的坐标,求出PG的坐标,可得cs的值,进而求出直线PG与平面PCD所成角的正弦值.
    本题考查空间向量的方法求线面角的正弦值,属于中档题.
    16.【答案】解:(1)设小张答对的题数为X,则X的可能取值是8,9,
    P(X=8)=C98C11C109=910,P(X=9)=C99C109=110,
    所以小张答对题数的分布列为:
    (2)设事件A表示“输入的问题没有语法错误”,事件B表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”,
    由题意知P(A−)=0.1,P(B|A)=0.98,P(B|A−)=0.18,
    则P(A)=1−P(A−)=0.9,
    P(B)=P(B∩A)+P(B∩A−)=P(B|A)P(A)+P(B|A−)P(A−)
    =0.98×0.9+0.18×0.1=0.9.
    【解析】(1)设小张答对的题数为X,则X的可能取值是8,9,求出各自对应的概率,即可求解;
    (2)设事件A表示“输入的问题没有语法错误”,事件B表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”,利用对立事件和条件概率的计算公式即可求解.
    本题考查了离散型随机变量的分布列与条件概率的计算,属于中档题.
    17.【答案】解:(Ⅰ)f′(x)=ln(x−1)+xx−1=ln(x−1)+1x−1+1(x>1),
    曲线y=f(x)在x=2处的切线的斜率k=f′(2)=2.
    又因为f(2)=0,所以切点为(2,0).
    曲线y=f(x)在x=2处的切线方程为y=2x−4.
    (Ⅱ)设g(x)=f′(x)=ln(x−1)+1x−1+1(x>1),
    g′(x)=1x−1−1(x−1)2=x−2(x−1)2,
    当x变化时,g′(x)和g(x)的变化如下表:
    所以当x=2时,g(x)min=2.
    (Ⅲ)若a≠2,则f(2)2−a=0,不合题意;
    若a=2,设φ(x)=f(x)−2(x−2),
    由(Ⅱ)知,φ′(x)=f′(x)−2≥0,
    所以φ(x)在(1,+∞)上单调递增.
    又φ(2)=0,所以当x∈(1,2)时,φ(x)<0,x−2<0,φ(x)x−2>0,f(x)x−2>2;
    当x∈(2,+∞)时,φ(x)>0,x−2>0,φ(x)x−2>0,f(x)x−2>2,
    所以a=2符合题意.
    综上所述a=2.
    【解析】(Ⅰ)对f(x)求导,利用导数的几何意义可得切线斜率,求出切点坐标,从而可得切线方程;
    (Ⅱ)对g(x)求导,利用导数判断函数的单调性,从而可得最小值;
    (Ⅲ)若a≠2,则f(2)2−a=0,不合题意;若a=2,构造函数φ(x)=f(x)−2(x−2),利用导数判断函数单调性,从而判断f(x)x−2>2,即可得解.
    本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程,利用导数判断函数的最值,考查运算求解能力,属于中档题.
    18.【答案】解:(1)抛物线C2的焦点为F(0,1),故p=2.
    (2)若直线MN与y轴重合,则该直线与抛物线C2只有一个公共点,不合乎题意,
    所以,直线MN的斜率存在,设直线MN的方程为y=kx+1,点M(x1,y1)、N(x2,y2),
    联立x2=4yy=kx+1,可得x2−4kx−4=0,
    Δ=16k2+16>0恒成立,则x1x2=−4,
    OM⋅ON=x1x2+y1y2=x1x2+x124x224=−4+1=−3.
    (3)设直线NO、MO的斜率分别为k1、k2,其中k1>0,k2<0,
    联立x24+y2=1y=k1x,可得(4k12+1)x2=4,解得x=±2 4k12+1,
    点A在第三象限,则xA=−2 4k12+1,
    点B在第四象限,同理可得xB=2 4k22+1,
    且k1k2=y1y2x1x2=x1x216=−14,
    S△OMNS△OAB=|OM|⋅|ON||OB|⋅|OA|=|x1|⋅|x2|2 4k12+1⋅2 4k22+1
    = (4k12+1)(4k22+1)= 4k12+14k12+2
    ≥ 2 4k12⋅14k12+2=2,
    当且仅当k1=12时,等号成立.
    ∴S△OMNS△OAB的取值范围为[2,+∞).
    【解析】(1)根据题意即可求出p的值.
    (2)设直线MN的方程为y=kx+1,点M(x1,y1)、N(x2,y2),联立直线与抛物线,即可得出OM⋅ON的值.
    (3)联立直线与椭圆方程,根据点所在象限和均值不等式,即可得出答案.
    本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,属于中档题.
    19.【答案】解:(1)∵an=f(n+1)−ln(n+1)+n=(89)n+n−1,
    Sn为数列{an}的前n项和,
    ∴S64=89[1−(89)64]1−89+64(0+63)2=8−8×(89)64+64×632<8+2016=2024.
    (2)证明:当a=1e时,f(x)=1ex+ln(1+x)−1,f′(x)=−1ex+11+x=ex−x−1ex(1+x).
    记g(x)=ex−x−1,g′(x)=ex−1.
    当−10时.g′(x)>0,
    ∴g(x)在(−1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
    ∴g(x)≥g(0)=0,即f′(x)≥0,当且仅当x=0时,取等号,
    ∴f(x)在(−1,+∞)上单调递增,
    ∴当−10时,f(x)>f(0)=0.
    ∴xf(x)≥0.
    (3)f(x)=ax+ln(1+x)−1,f′(x)=axlna+11+x=ax(1+x)lna+11+x,
    ①当a>1时,f′(x)>11+x>0,f(x)是(−1,+∞)上的增函数,
    又当x→−1时,f(x)→−∞;当x→+∞时,f(x)→+∞,
    故f(x)有1个零点.
    ②当0则g′(x)=ax(x+1)ln2a+axlna=axln2a(x+1+1lna),
    当−1−1lna−1时,g′(x)>0,
    故g(x)在(−1,−1lna−1)上单调递减,在(1lna−1,+∞)上单调递增.
    g(−1lna−1)=−1ae+1.
    (i)若1e≤a<1,则g(x)≥g(1lna−1)=−1ae+1≥0,即f′(x)>0,
    故f(x)在(−1,+∞)上单调递增,
    又当x→−1时,f(x)→−∞;当x→+∞时,f(x)→+∞,
    故f(x)有1个零点.
    (Ⅱ)若00,g(0)=lna+1<0,
    易证任意00.
    故存在x1∈(−1,0),x2∈(0,1),使得g(x1)=g(x2)=0.
    当−1x2时,g(x)>0,即f′(x)>0;
    当x1∴f(x)在(−1,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.
    又f(0)=0,∴f(x1)>0,f(x2)<0,
    又当x→−1时,f(x)→−∞;当x→+∞时,f(x)→+∞,
    ∴f(x)有3个零点.
    综上,当0当a≥1e且a≠1时,f(x)有1个零点.
    【解析】(1)利用等比数列和等差数列的求和公式即可;
    (2)f(x)在(−1,+∞)上单调递增,且f(0)=0,即可证明;
    (3)利用f(x)的单调性即可求解.
    本题考查了等比数列和等差数列的求和公式,利用导数研究函数的单调性和最值,属于难题. X
    8
    9
    P
    910
    110
    x
    (1,2)
    2
    (2,+∞)
    g′(x)
    -
    0
    +
    g(x)
    单调递减
    极小值
    单调递增
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