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河南省南阳市社旗县第一高级中学2024届高三下学期三模理科数学试题
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这是一份河南省南阳市社旗县第一高级中学2024届高三下学期三模理科数学试题，文件包含2023-2024学年高三下学期三模试题-数学docx、答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知集合，则实数的取值范围是（ ）
B. C. D.
2.（ ）
A. B. C. D.
的二项式系数和为64，则其展开式的常数项为（ ）
-240 B.240 C.60 D.-60
4．已知F是抛物线C：的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，且A，B到直线的距离之和等于，则（ ）
A．6B．8C．12D．14
5．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称为攒尖.通常有圆形攒尖,三角攒尖,四角攒尖,八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥,已知其轴截面是底边长为m,顶角为的等腰三角形,则该屋顶的面积约为（ ）.
A．m2B．m2C．m2D．m2
6．设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7.甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以，，表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以表示事件“取出的是白球”，则下列结论中不正确的是（ ）
A．事件，，是两两互斥的事件B．事件与事件为相互独立事件
C．D．
8.已知中，a､b､c为角A､B､C的对边，，若与的内角平分线交于点I，的外接圆半径为，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二．多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）
已知空间两条异面直线a,b所成的角等于，过点P与a,b所成角均为的直线有且只有一条，则的值可以等于（ ）
A. B. C. D.
10．如图，平面直角坐标系上的一条动直线l和x，y轴的非负半轴交于A，B两点，若恒成立，则l始终和曲线C：相切，关于曲线C的说法正确的有（ ）
A．曲线C关于直线和都对称
B．曲线C上的点到和到直线的距离相等
C．曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是
D．曲线C和坐标轴围成的曲边三角形面积小于
11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点（点A在第一象限），与的等差中项为．抛物线在点A、B处的切线交于点M，过点M且垂直于y轴的直线与y轴交于点N，O为坐标原点，P为抛物线上一点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最大值为D. 的最小值为16
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分。）
12.若，则___________
13.三棱锥中，是边长为3的正三角形，， 若三棱锥的体积为，则PA长度的最小值为___________
14. 关于x的方程有实根，则的最小值为_____________
四．解答题（共5小题，共77分）
（14分）15. 函数．
（1）当时，证明：； （2）讨论函数零点个数．
（14分）16．中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，，是等差数列．
（1）若a，b，c是等比数列，求； （2）若，求．
（15分）17.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，平面ABC，，，E，F分别为PA，PC的中点，平面BEF与平面ABC的交线为l．
（1）证明：
（2）直线l与圆O的交点为B，D，求三棱锥的体积；
（3）点Q在直线l上，直线PQ与直线EF的夹角为，直线PQ与平面BEF的夹角为，是否存在点Q，使得？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．
（16分）18．第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义．已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号．假设德军某月生产的坦克总数为N，随机缴获该月生产的n辆（）坦克的编号为，，…，，记，即缴获坦克中的最大编号．现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N．
甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用估计总体的均值，因此，得，故可用作为N的估计．
乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现的无意义结果．例如，当，时，若，，，则，此时．
（1）当，时，求条件概率；
（2）为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M作为N的估计值．当，时，求随机变量M的分布列和均值；
（3）丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现与N存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷．请判断与N的大小关系，并给出证明．
（18分）19. 平面直角坐标系中，动点满足，点P的轨迹为C，过点作直线l，与轨迹C相交于A，B两点．
（1）求轨迹C的方程；
（2）求面积的取值范围；
（3）若直线l与直线交于点M，过点M作y轴的垂线，垂足为N，直线NA，NB分别与x轴交于点S，T，证明：为定值．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知集合，则实数的取值范围是（ ）
B. C. D.
2.（ ）
A. B. C. D.
的二项式系数和为64，则其展开式的常数项为（ ）
-240 B.240 C.60 D.-60
4．已知F是抛物线C：的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，且A，B到直线的距离之和等于，则（ ）
A．6B．8C．12D．14
5．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称为攒尖.通常有圆形攒尖,三角攒尖,四角攒尖,八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥,已知其轴截面是底边长为m,顶角为的等腰三角形,则该屋顶的面积约为（ ）.
A．m2B．m2C．m2D．m2
6．设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7.甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以，，表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以表示事件“取出的是白球”，则下列结论中不正确的是（ ）
A．事件，，是两两互斥的事件B．事件与事件为相互独立事件
C．D．
8.已知中，a､b､c为角A､B､C的对边，，若与的内角平分线交于点I，的外接圆半径为，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二．多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）
已知空间两条异面直线a,b所成的角等于，过点P与a,b所成角均为的直线有且只有一条，则的值可以等于（ ）
A. B. C. D.
10．如图，平面直角坐标系上的一条动直线l和x，y轴的非负半轴交于A，B两点，若恒成立，则l始终和曲线C：相切，关于曲线C的说法正确的有（ ）
A．曲线C关于直线和都对称
B．曲线C上的点到和到直线的距离相等
C．曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是
D．曲线C和坐标轴围成的曲边三角形面积小于
11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点（点A在第一象限），与的等差中项为．抛物线在点A、B处的切线交于点M，过点M且垂直于y轴的直线与y轴交于点N，O为坐标原点，P为抛物线上一点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最大值为D. 的最小值为16
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分。）
12.若，则___________
13.三棱锥中，是边长为3的正三角形，， 若三棱锥的体积为，则PA长度的最小值为___________
14. 关于x的方程有实根，则的最小值为_____________
四．解答题（共5小题，共77分）
（14分）15. 函数．
（1）当时，证明：； （2）讨论函数零点个数．
（14分）16．中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，，是等差数列．
（1）若a，b，c是等比数列，求； （2）若，求．
（15分）17.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，平面ABC，，，E，F分别为PA，PC的中点，平面BEF与平面ABC的交线为l．
（1）证明：
（2）直线l与圆O的交点为B，D，求三棱锥的体积；
（3）点Q在直线l上，直线PQ与直线EF的夹角为，直线PQ与平面BEF的夹角为，是否存在点Q，使得？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．
（16分）18．第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义．已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号．假设德军某月生产的坦克总数为N，随机缴获该月生产的n辆（）坦克的编号为，，…，，记，即缴获坦克中的最大编号．现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N．
甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用估计总体的均值，因此，得，故可用作为N的估计．
乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现的无意义结果．例如，当，时，若，，，则，此时．
（1）当，时，求条件概率；
（2）为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M作为N的估计值．当，时，求随机变量M的分布列和均值；
（3）丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现与N存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷．请判断与N的大小关系，并给出证明．
（18分）19. 平面直角坐标系中，动点满足，点P的轨迹为C，过点作直线l，与轨迹C相交于A，B两点．
（1）求轨迹C的方程；
（2）求面积的取值范围；
（3）若直线l与直线交于点M，过点M作y轴的垂线，垂足为N，直线NA，NB分别与x轴交于点S，T，证明：为定值．
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