2024年长沙市初中学业水平考试数学押题卷（四）

这是一份2024年长沙市初中学业水平考试数学押题卷（四），共11页。试卷主要包含了4min等内容，欢迎下载使用。

温馨提示：
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．−2的相反数是（ ）
A．2B．−2C．12D．−12
2．下列扑克牌中，牌面是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．4a+b=4abB．a2⋅a3=a5C．3a2−2a2=1D．(a−b)2=a2−b2
4．石墨烯是世界上目前最薄却也是最坚硬的纳米材料，还是导电性最好的材料，其理论厚度仅为0.00000000034m，这里“0.00000000034”用科学记数法表示为（ ）
A．0.34×10−9B．34.0×10−11C．3.4×10−10D．3.4×10−9
5．某空气质量监测点记载的今年三月份某五天的空气质量指数（AQI）为：33,27,34,40,26，则这组数据的中位数是（ ）
A．26B．27C．33D．34
第6题图
6．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，AC与DE相交于点F，∠BCE=30∘，则∠AED的度数为（ ）
A．30∘B．40∘C．60∘D．75∘
7．不等式组3x−1≤5x+1≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．下列各点中，在一次函数y=12x−3的图象上的是（ ）
A．(2,0)B．(0,−3)C．(1,−3)D．(2,−3)
9．如图，在⊙O中，若∠BAC=40°，则∠BOC=（ ）
A．80°B．60°C．40°D．20°
10．在第36届全国中学生物理竞赛决赛中，华师一物理竞赛团队有5位同学获金牌，并全部进入国家集训队．五位同学猜谁是第一名，A说：是B，B说：是D，C说：是A，D说：B说错了，E说：不是我．教练说：你们中只有一人说对了，那么第一名是（ ）
A．BB．CC．DD．E
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．使二次根式x−4有意义的x的取值范围是 ．
12．因式分解：a2−4a+4= ．
13．计算：m+2m+1−1m+1= ．
14．“金山银山不如绿水青山”，我区在今年的3月 12日植树节配合打造全域旅游特色，在各镇大力开展植树活动，林业部门在两个月后统计所栽种树苗成活率，结果如表：
根据统计结果，栽种树苗的成活率可能为 （精确到0.1）
15．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在AB外选一点C连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接DE．现测得DE=24m，则AB= ．
第15题图 第16题图
16．如图，用一个半径为3cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了100°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 cm．
三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分）
17．计算：3sin45°−(−2024)0+−2．
18．先化简，再求值：(x−2)2+x(x+4)，其中x=−5．
19．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）

(1)求登山缆车上升的高度DE；
(2)若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）
（参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
20．设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级，75≤x<85为B级，60≤x<75为C级，x<60为D级．现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了 ___________名学生，α= ___________%；
(2)补全条形统计图；
(3)扇形统计图中C级对应的圆心角为 ___________度；
(4)若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？
21．如图，在△ABC中，AB=AC,AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB,AC分别交于点E,F，连接DE,DF．
(1)求证：△ADE≌△ADF；
(2)若∠BAC=80°，求∠BDE的度数．
22．某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元．
(1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
(2)已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？
23．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

24．如图1，在矩形ABCD中(AB>AD)，对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′，连接AA′交BD于点E，连接CA′．

(1)求证：AA′⊥CA′；
(2)以点O为圆心，OE为半径作圆．
①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA′=3CA′；
②如图3，⊙O与CA′相切，AD=1，求⊙O的面积．
25．新定义：我们把抛物线y=ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y=bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y=2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y=3x2+2x+1．已知抛物线C1:y=4ax2+ax+4a−3a≠0的“关联抛物线”为C2．
(1)写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
(2)若a>0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．
①当MN=6a时，求点P的坐标；
②当a−4≤x≤a−2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
栽种的棵树a
200
500
700
1000
1200
成活的棵树b
182
448
638
895
1084
成活的频率b
0.910
0.896
0.912
0.895
0.903
参考答案与解析
一、选择题
二、填空题
11．x≥4 12．a−22 13．1
14．0.9 15．48m 16．53π
三、解答题
17．【详解】解：3sin45°−(−2024)0+−2
=3×22−1+2
=522−1
18．【详解】解：x−22+xx+4=x2−4x+4+x2+4x=2x2+4
当x=−5时，原式=2x2+4=2×(−5)2+4=14．
19．【详解】（1）解：如图，过B点作BC⊥AF于C，BE⊥DF于E，则四边形BEFC是矩形，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=300m，
∴EF=BC=12AB=150m，
∴DE=DF−EF=600−150=450m，
答：登山缆车上升的高度DE=450m；
（2）解：在Rt△BDE中，∠DEB=90°，∠DBE=53°，DE=450m，
∴BD=DEsin53°=4500.8=562.5m，
∴从山底A处到达山顶D处大约需要：
30030+562.560=19.375≈19.4min，
答：从山底A处到达山顶D处大约需要19.4min.
20．【详解】（1）解：在这次调查中，一共抽取了24÷48%=50（人），
α=1250×100%=24%，
故答案为：50；24．
（2）解：C级学生人数为：50−12−24−4=10（人），补全条形统计图，如图所示：
（3）解：扇形统计图中C级对应的圆心角为：
360°×1050=72°，
故答案为：72．
（4）解：2000×450=160（人），
答：该校D级学生有160名．
21．【详解】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
由作图可得AE=AF，
在△ADE和△ADF中，AE=AF∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△ADE≌△ADF SAS；
（2）∵∠BAC=80°，AD为△ABC的角平分线，
∴∠EAD=40°
由作图可得AE=AD，
∴∠ADE=70°，
∵AB=AC，AD为△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠BDE=20°
22．【详解】（1）解：设一份甲种快餐需x元，一份乙种快餐需y元，根据题意得，
x+2y=702x+3y=120，解得x=30y=20
答：买一份甲种快餐需30元，一份乙种快餐需20元；
（2）设购买乙种快餐a份，则购买甲种快餐55−a份，根据题意得，
3055−a+20a≤1280
解得a≥37
∴至少买乙种快餐37份
答：至少买乙种快餐37份．
23．【详解】解：(1)证明:∵四边形ABCD为菱形，
∴点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形．
(2)∵点E为AD的中点，AD=10，
∴AE=12AD=5
∵∠EFA=90°，EF=4，
∴在Rt△AEF中，AF=AE2−EF2=52−42=3．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=10，
∴OE=12AB=5，
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG=OE=5，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
24．【详解】（1）∵点A关于BD的对称点为A′，
∴点E是AA′的中点，∠AEO=90°，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴O是AC的中点，
∴OE是△ACA′的中位线，
∴OE∥A′C
∴∠AA′C=∠AEO=90°，
∴AA′⊥CA′
（2）①过点O作OF⊥AB于点F，延长FO交CD于点G，则∠OFA=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AO=BO=CO=DO，
∴∠OCG=∠OAF，∠OGC=∠OFA=90°．
∵∠OCG=∠OAF，∠OGC=∠OFA=90°，AO=CO，
∴△OCG≌△OAFAAS，
∴OG=OF．
∵⊙O与CD相切，OE为半径，∠OGC=90°，
∴OG=OE，
∴OE=OF
又∵∠AEO=90°即OE⊥AE，OF⊥AB，
∴AO是∠EAF的角平分线，即∠OAE=∠OAF，
设∠OAE=∠OAF=x，则∠OCG=∠OAF=x，
又∵CO=DO
∴∠OCG=∠ODG=x
∴∠AOE=∠OCG+∠ODG=2x
又∵∠AEO=90°，即△AEO是直角三角形，
∴∠AOE+∠OAE=90°，即2x+x=90°
解得：x=30°，
∴∠OAE=30°，即∠A′AC=30°，
在Rt△A′AC中，∠A′AC=30°，∠AA′C=90°，
∴AC=2CA′，
∴AA′=AC2−CA′2=2CA′2−CA′2=3CA′；
②过点O作OH⊥A′C于点H，
∵⊙O与CA′相切，
∴OE=OH，∠A′HO=90°
∵∠AA′C=∠AEO=∠A′EO=∠A′HO=90°
∴四边形A′EOH是矩形，
又∵OE=OH，
∴四边形A′EOH是正方形，
∴OE=OH=A′H，
又∵OE是△ACA′的中位线，
∴OE=12A′C
∴A′H=CH=12A′C
∴OH=CH
又∵∠A′HO=90°，
∴∠OCH=45°
又∵OE∥A′C，
∴∠AOE=45°
又∵∠AEO=90°，
∴△AEO是等腰直角三角形，AE=OE，
设AE=OE=r，则AO=DO=AE2+OE2=2r
∴DE=DO−OE=2r−r=2−1r
在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，AD=1
即r2+2−12r2=12
∴r2=11+2−12=14−22=2+24
∴⊙O的面积为：S=πr2=2+24π
25．【详解】（1）解：∵抛物线C1:y=4ax2+ax+4a−3a≠0的“关联抛物线”为C2，
根据题意可得，C2的解析式y=ax2+4ax+4a−3a≠0
∵y=ax2+4ax+4a−3=ax+22−3
顶点为−2，−3
（2）解：①设Pp,0，则Mp,4ap2+ap+4a−3，Np,ap2+4ap+4a−3
∴MN=4ap2+ap+4a−3−ap2+4ap+4a−3
=3ap2−3ap
∵ MN=6a
∴3ap2−3ap=6a
∵a≠0
∴p2−p=±2
当p2−p=2时，
解得p1=−1，p2=2
当p2−p=−2时，方程无解
∴P−1,0或2,0
②∵ C2的解析式y=ax2+4ax+4a−3a≠0
∵y=ax2+4ax+4a−3=ax+22−3
顶点为−2，−3，对称轴为x=−2
∵a>0，
∴a−2>−2
当−2−a−4⩾a−2−−2时，即a⩽1时，
函数的最大值为aa−4+22−3，最小值为−3
∵ C2的最大值与最小值的差为2a
∴aa−22=2a
∵a≠0
∴a−2=±2
解得a1=2−2,a2=2+2（a⩽1，舍去）
∴a=2−2
当−2−a−4函数的最大值为aa−2+22−3，最小值为−3
∵ C2的最大值与最小值的差为2a
∴a3=2a
∵a≠0
∴a=±2
解得a1=2,a2=−2（1∴a=2
当a−4⩾−2时，即a⩾2时，抛物线开向上，对称轴右侧y随x的增大而增大，
函数的最大值为aa−2+22−3 =a3−3，最小值为aa−4+22−3=aa−22−3
∵ C2的最大值与最小值的差为2a
∴ a3−3−aa−22+3=2a
即a3−aa−22−2a=0
∵a≠0
即a2−a−22−2=0
解得a=32（a⩾2舍去）
综上所述，a=2−2或a=2．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
A
D
B
C
C
A
B
B
A
D