人教版九年级数学上册专题04圆中的重要模型-四点共圆模型(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册专题04圆中的重要模型-四点共圆模型(原卷版+解析)，共56页。试卷主要包含了定点定长共圆模型，定边对双直角共圆模型，定边对定角共圆模型，对角互补共圆模型等内容，欢迎下载使用。
四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）
【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。
条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，
结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。
例1．（2022·江苏·二模）如图，点为线段的中点，点到点的距离相等，若则的度数是
例2．（2022·安徽合肥·校考一模）如图，O是的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．平分
例3．（2022春·福建厦门·九年级校考阶段练习）如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．（1）求BC的长．（2）如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF．求EF的最小值．

例4．（2022·河北·唐山九年级阶段练习）如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=26°，∠CAD=74°，则∠BCD=_______°，∠DBC_______°．
模型2、定边对双直角共圆模型

同侧型 异侧型
1）定边对双直角模型（同侧型）
条件：若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
2）定边对双直角模型（异侧型）
条件：若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AC为直径。
例1．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）如图在四边形中，，若，则的值为（ ）

A．B．C．D．
例2．（2022春·山东国·九年级专题练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是 ；
②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．
例3．（2022春·山东九年级课时练习）如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．（1）求证：ME=MF．（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．
例4．（2022·四川成都·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则＝ ．
模型3、定边对定角共圆模型

条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆．
条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆.
例1．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝ ．
例2．（2022秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）如图，已知中，，，，，过点作的垂线，与的延长线交于点，则的最大值为（ ）
A．4B．5C．D．
例3．（2023·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（ ）
A．1B．C．D．
例4．（2023·浙江·九年级假期作业）请阅读以下材料，完成相应任务．
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：
如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．
已知：如图1，点，是线段同侧两点，且．
求证：点，，，四点共圆．
证明：作的外接圆，假设点在外或在内．
如图2，若点在外．设与交于点，连接，
则（依据一），
又（依据二），
．
．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立；
如图3，若点在内，
（请同学们补充完整省略的部分证明过程）
综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆．
(1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整；依据一： ； 依据二： ．
(2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(3)填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则 ．
模型4、对角互补共圆模型

条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆．
条件：如图2，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆.
例1．（2022春·九年级课时练习）如图所示，正方形中，为对角线，点为上一点，过作，交于，求证：.
例2．（2023·河南周口·校考三模）在中，，M是外一动点，满足，若，，，则的长度为 ．
例3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，，，点、分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 ．

例4．（2023·河南南阳·校考三模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．

特殊情况分析：(1)如图1，正方形中，点为对角线上一个动点，连接，将射线绕点顺时针旋转的度数，交直线于点．
小明的思考如下：
填空：①依据1应为___________，②依据2应为___________，③依据3应为___________；
一般结论探究：(2)将图1中的正方形改为菱形，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由；
结论拓展延伸：(3)如图2，若，，当为直角三角形时，请直接写出线段的长．
课后专项训练
1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）

A．B．C．2D．1
2．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ）
A．B．C．D．4
3．（2023·山东威海·统考二模）如图，等边的边长为4，点F在内运动，运动过程始终保持，则线段长度的最大值与最小值的差约为（ ）

A．B．2C．D．
4．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，，于点F，于点E，交于点O，点D是的中点，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤为等边三角形．正确结论个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边重合（），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是 ．

6．（2023春·江苏·八年级期末）如图，在菱形中，，P为上一动点，于点Q，则的最小值为 ．

7．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，将矩形的边绕点A逆时针旋转得到，连接，过点D作的垂线，垂足E在线段上，连接．若，，则的度数为 ．

8．（2022·浙江九年级课时练习）如图所示，在平行四边形中，点为，的垂直平分线的交点，若，求.
9．（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．
探究展示：如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1）

点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点，在点，，所确定的上（依据2）
点，，，四点在同一个圆上
(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________；依据2：__________．
(2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________．

(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．
①求证：，，，四点共圆；
②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
10．（2022春·广东九年级课时练习）阅读以下材料，并完成相应的任务：
西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，已知内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上
以下是他们的证明过程：
如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF，
则（依据1），
∴E，F，P，C四点共圆．
∴（依据2）．
又∵，
∴．
∵，
∴B，D，P，E四点共圆．
∴（依据3）．
∵，
∴（依据4）．
∴点D，E，F在同一条直线上．
任务：(1)填空：①依据1指的的是中点的定义及______；②依据2指的是______；
③依据3指的是______；④依据4指的是______．
(2)善于思考的小英发现当点P是的中点时，．请你利用图2证明该结论的正确性．
11．（2022春·九年级课时练习）如图1，ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F．直线BE交直线CD于G点．
(1)小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：
∵AC＝BC＝EC，
∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，
∴∠AEB＝ ∠ACB，（填写数量关系）
∴∠AEB＝ °．
(2)如图2，连接BF，求证A、B、F、C四点共圆；
(3)线段AE最大值为 ，若取BC的中点M，则线段MF的最小值为 ．
12．（2023春·广东广州·八年级统考期末）已知，如图①，在中，， ，点E为上的一动点，连接，过点C作于点H，以为腰作等腰直角连接．

(1)求证：四边形为正方形；(2)如图②，当D，H，G三点共线时，求的值；(3)求的最小值．
13．（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）已知：菱形的对角线交于点，以为斜边构造等腰，连接．

(1)如图1，若，，求的面积．(2)如图2，延长交于点，过点作于点，过点作于点，与交于点，且．求证：．
14．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题提出 如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：．
尝试应用 如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：．
问题拓展 如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度（用含a，b的式子）．
15．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期末）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上
如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则．
(1)请完善探究展示 (2)如图3，在四边形中，，则∠4的度数为 ．
(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接．①求证：A，D，B，E四点共圆；②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由
连接，∵，，
∴，（依据1）
∵，∴，
∴点共圆，
∴，，（依据2）
∴，∴．（依据3）
专题04 圆中的重要模型-四点共圆模型
四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。
四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）
【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。
条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，
结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。
例1．（2022·江苏·二模）如图，点为线段的中点，点到点的距离相等，若则的度数是
【答案】130
【分析】根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．
【详解】解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，
∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝50°，∴∠ADC＝130°，故答案为：130．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．
例2．（2022·安徽合肥·校考一模）如图，O是的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接．下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．平分
【答案】D
【分析】以点O为圆心，长为半径作圆．再根据圆内接四边形的性质，圆周角定理逐项判断即可．
【详解】如图，以点O为圆心，长为半径作圆．
由题意可知：．即点A、B、C、D都在圆O上．
A．∵，∴，故A不符合题意；
B．∵，∴，故B不符合题意；
C．∵四边形是的内接四边形，∴，故C不符合题意；
D．∵和不一定相等，∴和不一定相等，
∴不一定平分，故D符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，充分理解圆周角定理是解答本题的关键．
例3．（2022春·福建厦门·九年级校考阶段练习）如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．（1）求BC的长．（2）如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF．求EF的最小值．

【答案】（1）BC=；（2）EF的最小值为
【分析】（1）过点A作AM⊥BC于点M，根据等腰三角形的性质得∠B=30°，BM=CM，由直角三角形的性质得BM=，进而即可求解；
（2）连接BD，取BD的中点O，连接OE，OF，易得B，D，E，F四点共圆，从而得∆OEF是等边三角形，进而得EF=BD，由BD⊥CD时， BD的值最小，进而即可求解．
【详解】（1）过点A作AM⊥BC于点M，
∵等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3，∴∠B=(180°-120°)÷2=30°，BM=CM，
∴BM=3÷2×=，∴BC=2 BM=2×=3；
（2）连接BD，取BD的中点O，连接OE，OF，∵DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∴在Rt∆BDF与Rt∆BDE中，OB=OD=OE=OF=BD，
∴B，D，E，F四点共圆，∴∠EOF=2∠EBF=2×30°=60°，
∴∆OEF是等边三角形，∴EF=OF=BD，
∵∠C=∠EBF =30°，∴当BD⊥CD时，BD=BC=，此时，BD的值最小，
∴EF的最小值=BD =×=．

【点睛】本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形，直角三角形的性质定理，添加辅助线，构造四边形的外接圆，是解题的关键．
例4．（2022·河北·唐山九年级阶段练习）如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=26°，∠CAD=74°，则∠BCD=_______°，∠DBC_______°．
【答案】 130 37
【分析】根据题意可得点B，C，D在以A为圆心的圆上，根据圆周角定理求得∠BDC，∠DBC，根据三角形内角和定理求得∠BCD．
【详解】∵AB=AC=AD，∴点B，C，D在以A为圆心的圆上，
∵∠BAC=26°∴∠BDC=∠BAC=13°， ∵∠CAD=74°，∴∠DBC=∠CAD=37°．
∴∠BCD=180∠DBC∠BDC=180°13°37°=130° 故答案为：130，37
【点睛】此题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键．
模型2、定边对双直角共圆模型

同侧型 异侧型
1）定边对双直角模型（同侧型）
条件：若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
2）定边对双直角模型（异侧型）
条件：若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AC为直径。
例1．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）如图在四边形中，，若，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据题意得到点A，B，C，D四点共圆，然后证明出，进而得到，然后利用直角三角形的性质得到，进而求解即可．
【详解】如图所示，∵ ∴点A，B，C，D四点共圆，

∵∴∵∴∴
∵，∴ ∴∴．故选：D．
【点睛】此题考查了四点共圆，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
例2．（2022春·山东国·九年级专题练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是 ；
②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．
【答案】（1）①20°；②，理由见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）①根据题目定义推出∠E＝∠A，从而得出结论；②直接根据求解①过程证明即可；
（2）首先根据题意推出A、B、C、D四点共圆，然后作四边形ABCD的外接圆交CE于点F，连接AF，DF，再根据圆的内接四边形的性质等推出∠AFD＝∠DFE，然后根据“遥望角”的定义推出∠E＝∠DAF，即可证△DAF≌△DEF，从而得出结论．
【详解】（1）解：①∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，
∵∠A＝40°，∴∠E＝20°．故答案为：20°；
②，理由如下：∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A；
（2）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、B、C、D四点共圆，
作四边形ABCD的外接圆交CE于点F，连接AF，DF，
∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠DFC+∠DBC＝180°，∵∠DFC+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ABD＝∠AFD，∴∠AFD＝∠DFE，
∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，由（1）得∠E＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BDC，∴∠E＝∠BDC，∵∠E+∠DCE＝∠BAC，∴∠E＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠DAF，∴∠E＝∠DAF，∵DF＝DF，∠AFD＝∠DFE，
∴△DAF≌△DEF（AAS），∴DA＝DE．
【点睛】本题考查新定义问题，涉及三角形角平分线的拓展运用，圆的内接四边形的性质等，理解题目定义，灵活运用“四点共圆”的证明方法是解题关键．
例3．（2022春·山东九年级课时练习）如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．（1）求证：ME=MF．（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．
【答案】（1）证明见解析（2）80°．
【详解】试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到ME=BC，MF=BC，得到答案；（2）根据四点共圆的判定得到B、C、E、F四点共圆，根据圆周角定理得到答案．
试题解析：（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M为BC的中点，
∴ME=BC，MF=BC，∴ME=MF；
（2）解：∵CF⊥AB，∠A=50°，∴∠ACF=40°，
∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴B、C、E、F四点共圆，∴∠FME=2∠ACF=80°．
考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．等腰三角形的判定与性质．
例4．（2022·四川成都·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则＝ ．
【答案】
【分析】作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，根据三角形中位线定理分别求出OM、ON，根据勾股定理求出OE，根据相似三角形的性质求出FN，得到FC的长，证明△GFC∽△GOE，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】解：作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，
∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=90°，∠ABC=90°，∴OM∥AD，ON∥AB，
∵点O为AC的中点，∴OM=AD=3，ON=AB=4.5，CM=4.5，CN=3，
∵CE=1.5，∴ME=CM+CE=6，在Rt△OME中，OE==3，
∵∠MON=90°，∠EOF=90°，∴∠MOE+∠NOE=∠NOF+∠NOE=90°，
∴∠MOE=∠NOF，又∠OME=∠ONF=90°，∴△OME∽△ONF，
∴，即，解得，FN=9，∴FC=FN+NC=12，
∵∠FOE=∠FCE=90°，∴F、O、C、E四点共圆，∴∠GFC=∠GOE，又∠G=∠G，∴△GFC∽△GOE，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
模型3、定边对定角共圆模型

条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆．
条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆.
例1．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝ ．
【答案】17
【分析】用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，得到∠AFE=60°，延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，AT，得到△AFG是等边三角形，证明A、B、D、T四点共圆，设法证明△FAT≌△GAE（ASA），即可求得答案．
【详解】∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，
在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；
延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，AT，
∵∠AFE=60°，∴△AFG是等边三角形，∴AG=AF=FG=50，∠AGF=∠FAG=60°，
∵∠BAF+∠EAF =∠CAG+∠EAF =60°，∴∠BAF=∠CAG，
∵DT=CE，∴∠DBT=∠BTD，∵∠BAD=∠CBE，∴∠BAD=∠BTD，
∴A、B、D、T四点共圆，∴∠BAD=∠DAT，∴∠FAT=∠GAE，
在△FAT和△GAE中，，∴△FAT≌△GAE（ASA），∴FT= GE，
∵FG=50，TE=16，∴FT=(FG- TE)=17．故答案为：17．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等，作出辅助线，判断出△FAT≌△GAE是解本题的关键．
例2．（2022秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）如图，已知中，，，，，过点作的垂线，与的延长线交于点，则的最大值为（ ）
A．4B．5C．D．
【答案】C
【分析】由，，证明，推出，当有最大值时，有最大值，根据，得到点A、C、B、P四点共圆，若有最大值，则应为直径，由，得到是圆的直径，勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：∵∴∵∴
∴∴∴，∴当有最大值时，有最大值，
∵，∴点A、C、B、P四点共圆，
若有最大值，则应为直径，∵，∴是圆的直径，
∴，∴的最大值为，故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，四点共圆的判定和性质，正确掌握四点共圆的性质是解题的关键．
例3．（2023·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】只要证明，得，求出、即可解决问题．
【详解】解：，，
，，，，
，，，，
，，，
，即，，，
，、、、四点共圆，
，，，
，．故选：．
【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题．
例4．（2023·浙江·九年级假期作业）请阅读以下材料，完成相应任务．
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：
如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．
已知：如图1，点，是线段同侧两点，且．
求证：点，，，四点共圆．
证明：作的外接圆，假设点在外或在内．
如图2，若点在外．设与交于点，连接，
则（依据一），
又（依据二），
．
．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立；
如图3，若点在内，
（请同学们补充完整省略的部分证明过程）
综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆．
(1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整；
依据一： ； 依据二： ．
(2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(3)填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则 ．
【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和(2)见解析(3)
【分析】（1）由圆周角定理和三角形的外角性质即可得出结论；
（2）作的外接圆，假设点在外或在内．由反证法、圆周角定理以及三角形的外角性质即可得出结论；（3）证点，，，四点共圆，再由相似三角形得，然后由为中点，得，即可解决问题．
【详解】（1）解：依据一：同弧所对的圆周角相等；
依据二：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）如图3，若点在内，延长与交于点，连接，
则，又，
．．
这与已知条件“”矛盾，故点在内不成立；
（3），点，，，四点共圆，
∵，∴，∴，，
为中点，，
，，，，
解得：（负值已舍去），故答案为：．
【点睛】本题是四点共圆综合题目，考查了四点共圆、反证法、圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理，证明四点共圆是解题的关键，属于中考常考题型．
模型4、对角互补共圆模型

条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆．
条件：如图2，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆.
例1．（2022春·九年级课时练习）如图所示，正方形中，为对角线，点为上一点，过作，交于，求证：.
【答案】见解析.
【分析】先根据正方形的性质可得∠CDA=90°，再根据得到∠AEF=90°，从而得证，，，共圆，，继而得出AE=FE.
【详解】在正方形ABCD中，,∠BDC=45°
∵∴∴∠ADC+∠AEF=180°
∴，，，共圆，∴，
∴∴.
【点睛】本题考查了正方形的性质，四点共圆，以及等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键
例2．（2023·河南周口·校考三模）在中，，M是外一动点，满足，若，，，则的长度为 ．
【答案】/
【分析】过点B作交的延长线于点H，过点D作于点E，过点D作于点F，点A,M,B,C四点共圆，得，解直角三角形，，面积法求解，，得．
【详解】解析：过点B作交的延长线于点H，过点D作于点E，过点D作于点F，如图所示：
∵∴点A,M,B,C四点共圆
∵∴∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴
【点睛】本题考查四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，角平分线性质定理，添加辅助构造直角三角形是解题的关键．
例3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，，，点、分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】连接并延长，利用四点共圆的判定定理得到，，，四点共圆，再利用等腰直角三角形的性质和圆周角定理得到，得到点的轨迹，最后利用垂线段最短和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论．
【详解】解：连接并延长，如图，

，，，，，，，四点共圆，
为等腰直角三角形，，
，，点的轨迹为的平分线上，
垂线段最短，当时，取最小值，
的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，点的轨迹，垂线段的性质，利用已知条件求得点D的轨迹是解题的关键．
例4．（2023·河南南阳·校考三模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．

特殊情况分析：(1)如图1，正方形中，点为对角线上一个动点，连接，将射线绕点顺时针旋转的度数，交直线于点．
小明的思考如下：
填空：①依据1应为___________，②依据2应为___________，③依据3应为___________；
一般结论探究：(2)将图1中的正方形改为菱形，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由；
结论拓展延伸：(3)如图2，若，，当为直角三角形时，请直接写出线段的长．
【答案】(1)两直线平行，内错角相等；同弧所对的圆周角相等；等角对等边
(2)成立，理由见解析(3)或3
【分析】（1）根据材料中的证明过程，即可得到答案；（2）连接DQ，如图1所示，由菱形的性质得到，从而确定点共圆，再由圆周角定理得到，，进而结合菱形性质及等腰三角形的性质即可得证；（3）如图2所示，当时，，从而由为直角三角形可分两种情况讨论求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知：①两直线平行，内错角相等，
②同弧所对的圆周角相等，③等角对等边，
故答案为：两直线平行，内错角相等；同弧所对的圆周角相等；等角对等边；
（2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：连接DQ，如图1所示：

∵在菱形中，∴，，
∵，∴点共圆，∴，，
∵为菱形的对角线，∴，∴，∴；
（3）解：或3． 由于点为对角线上一个动点，分两类情况讨论如下：
①当时，如图2所示：
∵在菱形中，，，∴，
∵，∴，∴，
由（2）中知点共圆，知，，
∴，∴，即，
∴在中，，则，∴由（2）知；
②当时，如图3所示：
在菱形中，，则，
，点与点重合，
由（2）可知，，，综上所述：或3．
【点睛】本题考查特殊平行四边形综合，涉及正方形性质、菱形性质、含的直角三角形三边关系、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识，熟练掌握相关几何知识并灵活运用是解决问题的关键．
课后专项训练
1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）

A．B．C．2D．1
【答案】A
【分析】先根据等腰三角形的性质可得，，，再判断出点四点共圆，在以为直径的圆上，连接，根据圆周角定理可得，，然后根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质即可得．
【详解】解：是以为腰的等腰直角三角形，
，，，
，， ，
点四点共圆，在以为直径的圆上，如图，连接，

由圆周角定理得：，，，
，，
在和中，，，
，，故选：A．
【点睛】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确判断出点四点共圆，在以为直径的圆上是解题关键．
2．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【分析】连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解．
【详解】解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB
∵在中，，点G是DE的中点，∴AG=DG=EG
又∵AG=FG∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径∴∠DFE=90°
∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点，∴CF=BF=，FN=FM=
又∵FN⊥AC，FM⊥AB，∴四边形NAMF是正方形∴AN=AM=FN=
又∵，∴
∴△NFD≌△MFE∴ME=DN=AN-AD=∴AE=AM+ME=3
∴在Rt△DAE中，DE=故选：A．
【点睛】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
3．（2023·山东威海·统考二模）如图，等边的边长为4，点F在内运动，运动过程始终保持，则线段长度的最大值与最小值的差约为（ ）

A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】根据运动过程始终保持，可知点F在以为直径的圆上，该圆记作圆O，连接，交圆O于点F，此时满足最短（图1）；设交圆O于F，此时满足最长（图2）．据此利用勾股定理即可作答．
【详解】∵运动过程始终保持，∴点F在以为直径的圆上，该圆记作圆O，
连接，交圆O于点F，此时满足最短．如图1，
图1
∵等边的边长为4，∴，，
∵点O为中点，∴，∴，
∴最短为：，
如图2，假如当点F运动到与的交点时，最长．
图2
∵（直径所对的圆周角为直角），
又，∴F为的中点，∴．即长度的最大值为2．
故线段长度的最大值与最小值的差约为：．故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质等知识，判断出点F在以为直径的圆上，是解答本题的关键．
4．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，，于点F，于点E，交于点O，点D是的中点，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤为等边三角形．正确结论个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】求解，可得，，即，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；证明，故④符合题意；证明， 可得为等边三角形．故⑤符合题意；证明在以为圆心，为半径的圆上，可得，，，故③不符合题意；从而可得答案．
【详解】解：∵，， ∴，
∵， ∴，
∴，，∴，故①符合题意；
∵，∴，∴，故②符合题意；
∵点D是的中点，，∴，故④符合题意；
∴，，
∵， ，
∴，
∴， ∴为等边三角形．故⑤符合题意；
∵点D是的中点，，∴，
∴在以为圆心，为半径的圆上，∴，，
∴，故③不符合题意；故选C
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理的应用，熟练的证明三角形相似是解本题的关键．
5．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边重合（），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是 ．

【答案】
【分析】首先连接，由，易得点，，，C共圆，然后由圆周角定理，求得点E在量角器上对应的读数．
【详解】解：连接，

∵，∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上，∴点E，A，B，C共圆，
∵，∴．
∴点E在量角器上运动路径长，故答案为：2π．
【点睛】本题考查的是圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
6．（2023春·江苏·八年级期末）如图，在菱形中，，P为上一动点，于点Q，则的最小值为 ．

【答案】/
【分析】根据垂直的定义得到，推出点Q在以为直径的圆上运动，取的中点O，连接交PD于Q，则的值最小，连接，推出为等边三角形，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【详解】解：∵于点Q，∴，∴点Q在以为直径的圆上运动，
取的中点O，连接交于Q，则的值最小，连接，

在菱形中，，∴为等边三角形，
∴，∴，
∵，∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
7．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，将矩形的边绕点A逆时针旋转得到，连接，过点D作的垂线，垂足E在线段上，连接．若，，则的度数为 ．

【答案】
【分析】连接与，与相交于点O，可知点五点共圆，从而得到，又易知在中，，，从而得到，从而得解．
【详解】解：连接与，与相交于点O，连接，

∵四边形形是矩形，∴，，O是的中点，，
又∵于E，即是直角三角形，
∴，∴，∴点五点共圆，作出这个圆如图所示：

则有，由旋转的性质可知：，
又∵，，∴，在中，，，
∴，∴．故答案为：30．
【点睛】本题考查隐圆问题，根据题意找出这个隐圆，从而得到是解题的关键．
8．（2022·浙江九年级课时练习）如图所示，在平行四边形中，点为，的垂直平分线的交点，若，求.
【答案】
【分析】由点为，的垂直平分线的交点知，，所以，，在以为圆心，为半径的圆上，由圆的性质知，再由平行四边形的性质，问题得解.
【详解】连结，∵点为，的垂直平分线的交点
∴，∴，，在以为圆心，为半径的圆上，
作出辅助圆，由圆的性质知，
又平行四边形中， ∴
【点睛】作辅助圆，可以将直线型问题转化为曲线型问题，为我们解决问题时提供更开阔思路，更简捷的方法.
9．（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．
探究展示：如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1）

点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点，在点，，所确定的上（依据2）
点，，，四点在同一个圆上
(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________；依据2：__________．
(2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________．
(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．
①求证：，，，四点共圆；
②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等
(2)45°(3)①见解析；②不发生变化，值为8
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等作答即可；
（2）根据同弧所对的圆周角相等即可求解；（3）①根据（1）中的结论证明即可得证；②证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补）

点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点，在点，，所确定的上（同圆中，同弧所对的圆周角相等）
点，，，四点在同一个圆上
故答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等
（2）在线段同侧有两点，， 四点共圆，
故答案为：
（3）①∵，，
点与点关于对称，，
，四点共圆；
②，理由如下，
如图，四点共圆，，
关于对称，，，
，，
，，，
又，，，，
，．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
10．（2022春·广东九年级课时练习）阅读以下材料，并完成相应的任务：
西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，已知内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上
以下是他们的证明过程：
如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF，
则（依据1），
∴E，F，P，C四点共圆．
∴（依据2）．
又∵，
∴．
∵，
∴B，D，P，E四点共圆．
∴（依据3）．
∵，
∴（依据4）．
∴点D，E，F在同一条直线上．
任务：(1)填空：①依据1指的的是中点的定义及______；②依据2指的是______；
③依据3指的是______；④依据4指的是______．
(2)善于思考的小英发现当点P是的中点时，．请你利用图2证明该结论的正确性．
【答案】(1)①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④等量代换(2)见解析
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质，圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等进行求解即可；（2）如图，连接PA，PB，PC，只需要证明即可证明结论．
【详解】（1）解：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
②圆内接四边形对角互补；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④等量代换；
（2）证明：如图，连接PA，PB，PC．
∵点P是的中点，∴．∴，．
又∵，，∴．∴（HL）．∴．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，全等三角形的性质与判定，弧，弦，圆周角的关系，同弧或等弧所对的圆周角相等等等，正确作出辅助线和熟知相关知识是解题的关键．
11．（2022春·九年级课时练习）如图1，ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F．直线BE交直线CD于G点．
(1)小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：
∵AC＝BC＝EC，
∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，
∴∠AEB＝ ∠ACB，（填写数量关系）
∴∠AEB＝ °．
(2)如图2，连接BF，求证A、B、F、C四点共圆；
(3)线段AE最大值为 ，若取BC的中点M，则线段MF的最小值为 ．
【答案】(1)，45；(2)见解析；(3)8，
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答；
（2）由题意知，CD垂直平分BE，连接BF，则BF=EF，求得∠EBF=∠AEB＝45°，利用外角的性质得到∠AFB=∠EBF+∠AEB＝90°，即可得到结论；
（3）当点A、C、E在一条直线上时，线段AE最大，最大值为4+4=8，当MF⊥BC时线段MF最小，根据BC的中点M，得到CF=BF，设BG=FG=x，则CF=BF=x，CG=(+1)x，由勾股定理得，求出，根据，即可求出．
【详解】（1）解：∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，
∴∠AEB＝∠ACB， ∴∠AEB＝45°．故答案为：，45；
（2）解：由题意知，CD垂直平分BE，连接BF，则BF=EF，
∴∠EBF=∠AEB＝45°．∴∠AFB=∠EBF+∠AEB＝90°．
∵∠ACB＝90°，∴A、B、F、C在以AB为直径的圆上，即A、B、F、C四点共圆；
（3）解：当点A、C、E在一条直线上时，线段AE最大，最大值为4+4=8，
当MF⊥BC时线段MF最小，∵BC的中点M，∴CF=BF，
设BG=FG=x，则CF=BF=x，CG=(+1)x，
∵，∴，得，
∵，∴，得，故答案为：8， ．
．
【点睛】此题考查了圆周角定理，四点共圆的判定及性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟记各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．
12．（2023春·广东广州·八年级统考期末）已知，如图①，在中，， ，点E为上的一动点，连接，过点C作于点H，以为腰作等腰直角连接．

(1)求证：四边形为正方形；(2)如图②，当D，H，G三点共线时，求的值；(3)求的最小值．
【答案】(1)见解析(2)160(3)
【分析】（1）先证四边形是矩形，再证四边形是正方形；
（2）形式联想到勾股定理，证明三角形是直角三角形即可；
（3）D，H两点一定一动，由联想到隐圆．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，∴四边形是矩形，
又∵，∴四边形是正方形．
（2）解：连接
在中，

（3）解：∵，∴点H在以的中点O为圆心，以为半径的圆上运动．
∴∴的最小值

【点睛】本题考查了正方形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、隐圆等知识点．综合性较强，需要学生具备丰富的几何知识以及严密的逻辑推理能力．
13．（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）已知：菱形的对角线交于点，以为斜边构造等腰，连接．

(1)如图1，若，，求的面积．(2)如图2，延长交于点，过点作于点，过点作于点，与交于点，且．求证：．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）根据菱形性质，证明是等边三角形，再利用全等三角形判定证明，得，求出及即可求的面积．
（2）如同，连接，根据题意，菱形性质及点，点，点，点 四点共圆，证得，，进而证得，得到，再由点，点，点，点四点共圆证得，进而证得，再证得是等腰直角三角形，进而得到，根据与的关系即可得出结论．
【详解】（1）解：四边形是菱形，，且，是等边三角形，
，且，，，，
．
（2）解：连接，

四边形是菱形，，，，，，
，且，，
，点，点，点，点 四点共圆，
，且，，，
，点，点，点，点四点共圆，
，且，，
，，且，
，．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形判定及性质，圆周角定理推论，勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定与性质，灵活运用圆周角定理推论和勾股定理是解题关键．
14．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题提出 如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：．
尝试应用 如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：．
问题拓展 如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度（用含a，b的式子）．
【答案】见解析
【分析】问题提出：由旋转的性质可证得，，进而得证，即可利用证明．
尝试应用：延长，使，连接，由题意可知、、、四点共圆，可得，进而可得，利用SAS可证得，根据其性质得，，，进而可证得，，即可得证．
问题拓展：将绕点逆时针旋转至，则为等边三角形，由，可知、、、、五点共圆，可得，，，根据，，可得，进而得证，可得，则，作交于，则，可求得，，即可求得的长度．
【详解】解：问题提出：
证明：∵，，将绕着点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，即：，
在与中，，
∴．
尝试应用：延长，使，连接，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
又∵，即：，
∴、、、四点共圆，
∴，
∴，
在与中，，
∴．
∴，，
∴，即：，
∴
∵
∴，
∴
即：．
问题拓展：将绕点逆时针旋转至，则为等边三角形，
∴，，
∵，
∴、、、、五点共圆，
则：，，，
，，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴
∴，
∵，，，
∴
∴，
∴，则，
作交于，则，
∵，
∴，
∴，
则：．
【点睛】本题属于几何综合，考查全等三角的判定及性质，等腰三角形的性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，添加辅助线构造全等三角形和利用圆周角定理转化角是解决问题的关键，属于中考压轴题．
15．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期末）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上
如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则．
(1)请完善探究展示 (2)如图3，在四边形中，，则∠4的度数为 ．
(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由
【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆
(2)45°(3)①见解析；②的值不会发生变化，值为8
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可；
（2）根据四点共圆、圆周角定理解答；
（3）①根据轴对称的性质得到，，，，进而得到，证明结论；
②连接，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】（1）解：如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接，，则，
∵，∴，
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），
∴点B，D在点A，C，E所确定的上，∴点A，B，C，D四点在同一个圆上；
（2）解：∵，
∴点四点在同一个圆上，∴，
∵，∴，故答案为：；
（3）①证明：∵，∴，
∵点与点关于的对称，∴，，
∴，，∴，
∴，∴A，D，B，E四点共圆；
②解：的值不会发生变化，
理由如下：如图4，连接，
∵点与点关于的对称，∴，∴，∴，
∵A，D，B，E四点共圆，∴，
∴，∴A，B，F，C四点共圆，∴，
∵，∴，∴，∴．
【点睛】本题考查的是四点共圆、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质，正确理解四点共圆的条件是解题的关键．
连接，∵，，
∴，（依据1）
∵，∴，
∴点共圆，
∴，，（依据2）
∴，∴．（依据3）