2024年湖南省长沙市长郡集团中考数学押题金卷(四)（考试版）

这是一份2024年湖南省长沙市长郡集团中考数学押题金卷(四)（考试版），共4页。

数 学
温馨提示:
1. 答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号;
2. 必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效;
3. 答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示;
4. 请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁:
5. 答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸;
6. 本学科试卷共 25 个小题，考试时量 120 分钟，满分 120 分。
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中，最小的是
A．2024 B．1 C．0 D．
2．（3分）若直线与相交于点，且，则
A．B．C．D．
3．（3分）分式方程的解是
A． B． C． D．
4．（3分）图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角
A．B．C．D．
5．（3分）在中国象棋棋盘上建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为
A．B．C．D．
6．（3分）下列运算正确的是
A．B．C．D．
7．（3分）近期我国新能源汽车销量持续增长，连续8年位居全球第一，全年销量约为572.6万辆，如图反映了新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况，年同比增长速度，根据统计图中信息，下列推断不合理的是
A．2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆
B．2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个
C．相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了
D．相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低
8．（3分）以下调查中，适合全面调查的是
A．了解全国中学生的身高情况
B．检测“神舟十八号”飞船的零部件
C．检测长沙的城市空气质量
D．调查某草原中现有兔子的数量
9．（3分）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方：操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康，则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线和直线外一定点，过点作直线与平行．（1）以为圆心，单位长为半径作圆，交直线于点，；（2）分别在的延长线及上取点，，使；（3）连接，取其中点，过，两点确定直线，则直线．按以上作图顺序，若，则
A．B．C．D．
10．（3分）已知抛物线与直线交于，，，两点，若，则直线一定经过
A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）请任意写出一个大小在3与4之间的无理数： .
12．（3分）因式分解： .
13．（3分）有5个除颜色以外大小触感完全相同的小球装在一个不透明的口袋中，其中2个红球，3个白球．随机摸出一个小球，摸出红球的概率是 .
14．（3分）如图所示，面积为9的正方形和将面积为6的正方形分别绕原点顺时针旋转，使，落在数轴上，点，在数轴上对应的数字分别为、，则 .
15．（3分）如图所示的矩形中，已知，．在边上取一点，使，过点作，垂足为点，则的长为 .
16．（3分）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式 .
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）求解不等式组：．
19．（6分）某会议室的投影仪投影时，可以把投影光线，及在黑板上的投影图象高度抽象成如图所示的，，屏幕上投影图象的高度，与的夹角，求的长．（结果精确到．参考数据：，，
20．（8分）某校在体育中考中，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．
信息一：九年级共有男生300人，排球垫球成绩如图所示（成绩用表示，分成六组：、；、；、；、；、；、．
信息二：
排球垫球成绩在、这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24；
信息三：掷实心球成绩（成绩用表示，单位：米）的人数（频数）分布表如表：
信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ；
（2）下列结论正确的是 ；（填序号）
①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于；
②掷实心球成绩的中位数记为，则；
③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀；
（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．
21．（8分）如图，矩形的对角线与相交于点，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当时，求的长．
22．（9分）“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
(1)综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表所示，请分别计算表中每隔水面高度观察值的变化量．
（2）小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系．试利用时，；时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式；
（3）经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为；越小，偏差越小．
①计算任务2得到的函数解析式的值；
②请确定经过的一次函数解析式，使得的值最小；
23．（9分）（1）李老师在一堂数学活动课上出示了一个问题：如图1，在矩形中，是边上一点，于点，，，，试猜想四边形的形状，并说明理由；
（2）小梅受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，是边上一点，于点，于点，交于点，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；
（3）小郡深入研究小梅提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，是边上一点，于点，点在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．
24．（10分）在平面直角坐标系中，点Q（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们约定点Q（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点Q（x，y）的勾股值，记为[Q]，即[Q]＝|x|+|y|．
（1）已知点A（﹣1，3），，则[A]＝ ，[B]＝ ；
（2）若点C在一次函数y＝2x+2的图象上，且[C]＝4，求点C的坐标；
（3）若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点D，已知点D在第一象限，且2≤[D]≤4，令t＝2b2﹣4a+2022，试求t的取值范围．
25．（10分）投影几何，是研究图形的投影性质，即它们经过投影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。在经典几何学中，投影几何处于一个特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．
（1）如图1，当，长为时，求的长；
（2）如图2，当，时，求的值；
（3）如图3，当，时，连接，，直接写出的值．
分组
人数
2
10
9
6
2
学生
学生1
学生2
学生3
学生4
学生5
学生6
排球垫球
26
25
23
22
22
15
掷实心球
▲
7.8
7.8
▲
8.8
9.2
流水时间
0
10
20
30
40
水面高度（观察值）
30
29
28.1
27
25.8
水面高度的变化量