2024年湖南省长沙市长郡集团中考数学押题金卷(二)（全解全析）

这是一份2024年湖南省长沙市长郡集团中考数学押题金卷(二)（全解全析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）的相反数是
A．B．C．D．5
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：的相反数是．
故选：c．
【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义（如果一个图形沿着一个点转180°后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做中心对称图形）对四个选项进行分析．
【解答】解：根据中心对称图形的定义可知：、、D都不是中心对称图形，只有c是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义，难度不大，掌握定义是解答的关键．
3．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简，进而判断即可．
【解答】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意；
．，故此选项不合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（3分）2023年，长沙市全年地区生产总值约为1400000000000元，比上年增长．其中数据1400000000000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
5．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是
A．1，3，4B．2，2，7C．4，5，7D．3，3，6
【分析】根据三角形的三边关系分别判断即可．
【解答】解：，
，3，4不能组成三角形，
故选项不符合题意；
，
，2，7不能组成三角形，
故不符合题意；
，
，5，7能组成三角形，
故符合题意；
，
，3，6不能组成三角形，
故不符合题意，
故选：．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
6．（3分）如图，直线直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知条件即可求出的度数．
【解答】解：直线直线，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
7．（3分）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为
A．B．C．D．
【分析】先罗列出所有等可能结果，从中找到“平稳数”的结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数出现的等可能结果有：
123、132、213、231、312、321，
其中恰好是“平稳数”的有123、321，
所以恰好是“平稳数”的概率为，
故选：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
8．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A．B．
C．D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：由得，
由得，
解集在数轴上表示为：
，
则不等式组的解集为．
故选：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“ ”要用实心圆点表示；“”，“ ”要用空心圆点表示．
9．（3分）下列函数中，的值随值的增大而减小的是
A．B．C．D．
【分析】根据各函数解析式可得随的增大而减小时的取值范围．
【解答】解：选项中，函数，时，随的增大而减小；故不符合题意；
选项中，函数，时，随的增大而减小；故不符合题意；
选项中，函数，随的增大而增大；故不符合题意；
选项中，函数，随的增大而减小．故符合题意；
故选：．
【点评】本题考查二次函数，一次函数的性质，解题关键是掌握二次函数，一次函数图象与系数的关系．
10．（3分）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则
A．B．C．D．
【分析】根据相似三角形的判定结合正方形的性质证得，求得，根据相似三角形的性质求得，，证得，根据相似三角形的性质得到，证得，求出，根据勾股定理即可求出．
【解答】解：四边形是正方形，，，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式： ．
【分析】根据公式法因式分解即可．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查了运用公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．（3分）“千门万户瞳瞳日，总把新桃换旧符”．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片（分别写有“福”字、春联、灯笼）的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品，现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是
【分析】画出树状图，利用概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
一共有9种等可能得情况，他们恰好领取同一类礼品的情况有3种，
他们恰好领取同一类礼品的概率是：，
13．（3分）如图，正五边形内接于，连接，，则
A．B．C．D．
【分析】根据多边形的内角和可以求得的度数，根据周角等于，可以求得的度数，然后即可计算出的度数．
【解答】解：五边形是正五边形，
，，
，
14．（3分）如图，点，，在半径为2的上，，，垂足为，交于点，连接，则的长度为 1 ．
【分析】连接，利用圆周角定理及垂径定理易得，则，结合已知条件，利用直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．
【解答】解：如图，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：1．
【点评】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得是解题的关键．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则 ．
【分析】由的几何意义可得，从而可求出的值．
【解答】解：的面积为，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了的几何意义．用表示三角形的面积是本题的解题关键．
16．（3分）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，，时， 1 ．
【分析】根据和，，，可以计算出的长，再根据的长，即可计算出的长．
【解答】解：，，，，
，
，
故答案为：1．
【点评】本题考查新定义、直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
【分析】分别根据绝对值、零指数幂的运算法则及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查绝对值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值，熟知各个运算法则是解答此题的关键．
先化简，再求值：，其中．
【分析】直接将分式的分子分解因式，进而化简，把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式，
当时，
原式
．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
19．（6分）2023年12月26日11点14分，“神舟十七号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把汤洪波、唐胜杰、江新林三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．
（1）求点离地面的高度；
（2）求飞船从处到处的平均速度．（结果精确到，参考数据：
【分析】（1）根据直角三角形到现在即可得到结论；
（2）在中，根据直角三角形的性质得到，在中，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论．
【解答】解：（1）在中，，，，
，
（2）在中，，，，
，
在中，，，
，
，
，
飞船从处到处的平均速度．
【点评】本题考查了解直角三角形方向角问题，正确地求得结果是解题的关键．
20．（8分）如图，，，，垂足分别为，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）利用“”可证明；
（2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可．
【解答】（1）证明：，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
在中，，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
21．（8分）为增强学生消防意识，某校举行了一次全校2400名学生参加消防知识竞赛．从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级；；；，并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： 150 ， ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数为 度；
（4）若把等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的2400名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
【分析】（1）根据等级的频数和所占的百分比，可以求得的值，根据等级的频数和的值，可以求得的值；
（2）根据（1）中的值和频数分布直方图中的数据，可以计算出等级的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整；
（3）利用乘以等级的百分比即可；
（4）利用2400乘以等级的百分比即可．
【解答】解：（1），
，
；
故答案为：150，36；
（2）等级学生有：（人，
补全的频数分布直方图，如图所示：
（3）扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数为；
故答案为：144；
（4）（人，
答：估计该校参加竞赛的2400名学生中达到“优秀”等级的学生人数有374人．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确统计图的特点，利用数形结合的思想解答．
22．（9分）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加．
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？
（2）根据比赛情况，学校商店对某篮球在甲、乙两校区的销售单价进行了如下调整：甲校区上涨，乙校区降价5元．已知销售单价调整前甲校区比乙校区少10元，调整后甲校区比乙校区少1元，求调整前甲、乙两校区该篮球的销售单价？
【分析】（1）设胜了场，负了场，根据15场比赛中获得总积分为41分可列方程组，求解即可．
（2）设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元，根据销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）设胜了场，负了场，
根据题意得：，
解得，
答：该班级胜负场数分别是13场和2场；
【解答】解：设调整前甲校区该商品的销售单价为元，乙校区该商品的销售单价为元，
由题意得：，
解得：，
答：调整前甲校区该篮球的销售单价40元，乙校区该篮球的销售单价为50元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
23．（9分）已知是四边形的外接圆， 的直径为对角线．
（1）如图1，连接，，若，求证：平分；
（2）如图2，为内一点，满足，．若，，求弦的长．
【分析】（1）由垂径定理证出，则可得出结论；
（2）延长交于，延长交于，证明四边形是平行四边形，则，根据勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：，
，
，
即平分；
（2）延长交于，延长交于，
，，
，
是的直径，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
24．（10分）在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接，．
（1）如图1，求的大小；
（2）已知点和边上的点满足，．
如图2，连接，求证：；
如图3，连接，若，，求的值．
【分析】（1）证，得，，再由三角形内角和定理得即可；
（2）证四边形是平行四边形，得，再证四边形是平行四边形，进而得平行四边形是菱形，则，然后证、、、四点共圆，由圆周角定理得，即可得出结论；
过点作于点，由勾股定理得，再由菱形的性质得，进而由锐角三角函数定义得，则，，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．
【解答】（1）解：是的中点，
，
由旋转的性质得：，
，，
，
，
即的大小为；
（2）证明：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
，
又，
、、、四点共圆，
，
，
；
解：如图3，过点作于点，
则，
在中，由勾股定理得：，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
即的值为．
【点评】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，四点共圆，圆周角定理以及锐角三角函数定义等知识，本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质、等腰三角形的性质以及锐角三角函数是解题的关键，属于中考常考题型．
25．（10分）约定：若关于的二次函数与同时满足，，则称函数与函数互为“和谐”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）在同一平面直角坐标系中，若关于的二次函数与它的“和谐”函数的图象顶点分别为点，点，函数的图象与轴交于不同两点，，函数的图象与轴交于不同两点，．当时，以，，，为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
（2）对于任意非零实数，，点与点，始终在关于的函数的图象上运动，函数与互为“和谐”函数．
①求函数的图象的对称轴；
②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
【分析】（1）根据题意得到，，，即可求解．
（2）①求出的对称轴，得到，表示出的解析式，即可求解．
②，令，求解即可．
（3）由题意可知，，得到，的坐标，表示出，，根据且，得到，分情况讨论：若时，若时，求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知，，
，
，，
且，
．
若，则，
要使以，，，为顶点的四边形能构成正方形，
则，为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
若，则、关于轴对称，以，，，为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，当时，以，，，为顶点的四边形能构成正方形，此时．
（2）①点与点，始终在关于的函数的图象上运动，
对称轴为，
，
，
对称轴为．
答：函数的图象的对称轴为．
②，
令，
解得，
过定点，．
答：函数的图象过定点，．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．