精品解析：北京师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题

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考生须知
1.本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分.
2.考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效.
3.考试结束后，考生应将答题纸交回.
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义直接计算作答.
【详解】因为角的终边经过点，所以.
故选：A
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则复数的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出复数，再求出共轭复数作答.
【详解】依题意，，所以复数的共轭复数.
故选：B
3. 已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行与垂直关系相关定理依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，若，，则可能平行、相交或异面，A错误；
对于B，若，，则与可能平行或相交，B错误；
对于C，由线面垂直性质可知：若，，则，C正确；
对于D，若，，则或，D错误.
故选：C.
4. 已知正方体，直线与直线所成角的余弦值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据线线平行得异面直线所成的角，即可由三角形边角关系求解.
【详解】由于,所以即为直线与直线所成的角或其补角，
不妨设正方体的棱长为，则，
所以,
故选：D
5. 在中，若，，，则（ ）
A. B. 4C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理求解.
【详解】因为，
所以，
又，，
由余弦定理得：，
，
所以，
故选：A
6. 函数部分图象如图所示，那么（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】
，选C.
7. 已知是边长为的正△边上的动点，则的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量数量积的几何意义可得，再由即可求范围.
【详解】由在边上运动，且△为边长为2的正三角形，
所以，则，
由.
故选：D
8. 在 中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先判断如果 能不能推出 是钝角三角形，
再判断如果 是钝角三角形，是否一定有即可.
【详解】如果，由于B是三角形的内角，并且, 则，
，是钝角三角形，
所以是充分条件；
如果 是钝角三角形，不妨设 ，则 ，
所以不是必要条件；
故选：A.
9. 将边长为的正方形沿对角线折起，折起后点记为．若，则四面体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先将正方形折起得到四面体，由，得平面，再求出，的长度，证明，最后把四面体看做两个同底的三棱锥和拼接而成，即可用三棱锥的体积公式求体积.
【详解】如图1，连接与相交于点，则.
如图2，将正方形沿对角线折起，折起后点记为．
因为，，，平面，平面，
所以平面，
因为正方形边长为，所以,，
又因为,所以,所以.
所以四面体的体积为
．
故选：A
10. 如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（ ）

A. 26B. 13C. 10D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由中点关系可得，利用为的外接圆的圆心，可得，同理可得，即可得出结论．
【详解】由于是边的中点，可得，
是的外接圆的圆心，
，
同理可得，
．
故选：B
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知复数，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的除法运算可得，结合复数的几何意义即可求出模.
【详解】由，得，
所以，
故答案为：
12. 已知正方形的边长为2，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量数量积以及模长公式即可求解.
【详解】由题意可知，
故，
故答案为：
13. 如图，在直三棱柱中，，，，点在棱上，且，点在棱上，若三棱锥的体积是，则棱的长度可以是_________.（写出一个符合要求的值）

【答案】3（只要满足均可）
【解析】
【分析】根据锥体的体积公式结合等体积法即可求解.
【详解】由题意可知,
所以的长度不小于2即可，不妨取，
故答案为：3（只要满足均可）
14. 已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则________，________．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【详解】由图知函数的周期是，又知，，时，，故答案为(1)；(2).
【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，可以先求出的所有的值，再根据题设中的条件，取特殊值即可.
15. 如图，在正方体中，，点为直线上的动点，则下列四个命题：
①连接，总有平面；
②平面；
③动点到直线的距离的最小值是；
④设，则三棱锥的体积随着增大而增大.
其中正确的命题的序号是_________.

【答案】①②③
【解析】
【分析】利用面面平行的性质推理判断①；利用线面垂直的判定推理判断②；利用线面平行结合等体积法计算判断③；利用等体积法计算判断④作答.
【详解】在正方体中，对角面是矩形，则平面，平面，
于是平面，同理平面，而平面，
则有平面平面，而平面，因此平面，①正确；

平面平面，则，而，平面，
则有平面，而平面，因此，同理，
平面，所以平面，②正确；
由①知，平面平面，由于与是异面直线，则点到直线的距离最小值等于点到平面的距离，
正方体棱长为1，则，由，
得，即，解得，③正确；
因为平面，平面，则平面，
因此点到平面的距离为定值，而的面积为定值，
于是三棱锥的体积为定值，④错误，
所以正确的命题的序号是①②③.
故答案为：①②③
【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用等体积法，求出三棱锥某个底面上的高即可.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中，，，.
（1）求的值：
（2）求的值和的面积
【答案】（1）；
（2），.
【解析】
【分析】（1）利用平方关系、正弦定理求值作答.
（2）利用余弦定理、三角形面积公式计算作答.
【小问1详解】
在中，，，，则，
由正弦定理得，所以.
【小问2详解】
在中，由余弦定理得，即，而，解得；
的面积，
所以，.
17. 如图，在正方体中，，，分别是线段，的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求证：平面；
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直即可求证面面垂直，
（2）根据等体积法即可求解，
（3）由中位线得线线平行，即可得到线面平行，进而可证面面平行，即可求解.
【小问1详解】
在正方体中，由于平面,平面,
所以平面平面
【小问2详解】
【小问3详解】
取中点为，连接,
由于均为中点，所以,
平面,平面,所以平面,
平面,平面,所以平面,
平面，所以平面平面，
由于平面,所以平面.

18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，分别为，的中点.
（1）求证：；
（2）若，求点到平面的距离：
（3）直线上是否存在一点，使得，，，四点共面?若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析 （2）
（3）1
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直即可求证线线垂直，
（2）根据等体积法，结合棱锥的体积公式即可求解，
（3）根据线线平行可得线面平行，进而根据中位线，由线线平行的传递性即可求解.
【小问1详解】
连接相交于，由于底面是菱形，所以，
又平面，平面,所以,
平面,所以平面,
平面,所以
【小问2详解】
由题意可知：点到平面的距离即为点到平面的距离，
设点到平面的距离为，
由于，平面,所以,
所以,
,
，
【小问3详解】
取中点为，连接,延长,使得，连接,
由于均为中点，所以且,
又所以且，
故四边形为平行四边形，故,
由于是的中点，是中点，所以,
因此,所以,,,四点共面，故
19. 已知有限数列共M项，其任意连续三项均为某等腰三角形的三边长，且这些等腰三角形两两均不全等.将数列的各项和记为．
（1）若，直接写出的值；
（2）若，求的最大值；
（3）若，求的最小值
【答案】（1）；
（2）8； （3）50
【解析】
【分析】（1）直接列举出数列，即可求得；
（2）先构造数列使，再说明不同的等腰三角形只有6个，故，即可求得的最大值；
（3）先构造数列使，再设T为数列的每一组连续三项的和的和，得，列举出不同的等腰三角形，使和最小，进而得到，即可求解.
【小问1详解】
边长为1或2的等腰三角形只有1，1，1；1，2，2；2，2，2；若前三项为1，1，1，则该数列只有3项，不合题意；
若前三项为1，2，2，该数列只有4项，该数列只能为1，2，2，2；若前三项为2，2，2，该数列只有4项，该数列只能为2，2，2，1；
综上：；
【小问2详解】
①构造数列：1，2，2，2，3，3，3，1，此时.
②当存在连续三项为1，1，1时，本题中有两条边为1，1的等腰三角形仅有1，1，1，即数列只有3项，与矛盾，舍去.
③当不存在连续三项为1，1，1时，连续三项（不考虑这三项顺序）共以下6种可能：
1，2，2；1，3，3；2，2，2；2，2，3；2，3，3；3，3，3.
又相邻的4项组成的2个等腰三角形中间2项是共用的，则总的项数为不同的等腰三角形的个数加上首尾2项，所以.
④由①②③，M的最大值为8.
【小问3详解】
①构造数列：1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，5，5，5，3，3，1，此时.
②设T为数列每一组连续三项的和的和，则
，即.
③连续三项（不考虑这三项的顺序）及这三项的和（标注在下面的括号内）有以下可能：
其中画横线的连续三项不能同时满足和前一项、后一项构成3个等腰三角形，故必为数列的首三项或尾三项，
故其对应的三角形在14个三角形中至多出现两个.
④由③，要使最小，则使和最小，在画横线的连续三项中取和最小的2组，
在没画横线的连续三项中取合最小的12组，同时令，
则，
，又由②，，
所以.
⑤由①④，S的最小值为50.
【点睛】本题关键点在于设T为数列的每一组连续三项的和的和，得，将最小，转化为和最小，列举出不同的等腰三角形，使和最小，进而得到，再构造数列使即可求解.