数学：内蒙古自治区呼和浩特市新城区2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版）

这是一份数学：内蒙古自治区呼和浩特市新城区2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得：，
解得：，
故选：C．
2. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A． ，故该选项正确，符合题意；
B． ，故该选项错误，不符合题意；
C． 和不是同类二次根式，故该选项错误，不符合题意；
D． ，故该选项错误，不符合题意．
故选A．
3. 如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是( )
A. 梯形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
【答案】C
【解析】在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴AO=CO，∠AFO=∠CEO，
∵在△AFO和△CEO中，∠AFO=∠CEO，∠ FOA=∠EOC，AO=CO，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴FO=EO，
∴四边形AECF平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形，
故选：C.
4. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等的正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形A，B，C，D，形成一个“方胜”图案，则点D与之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
由平移性质得，
∴点D，之间的距离为，故选：D．
5. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，则的长是（ ）
A. 1B. 2C. 2.5D. 3
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝3，
同理可证：AE＝AB＝3，
∵AD＝4，
∴AF＝4−3＝1，DE＝4−3＝1，
∴EF＝4−1−1＝2．
故选：B．
6. 对于任意的正数m，n，定义运算※：，计算的结果为（ ）
A. B. C. 4D. 32
【答案】C
【解析】由题意得：
，
故选：C．
7. 如图，四边形中，对角线，垂足为点，点分别为边的中点，若，则四边形的面积为（ ）
A. 12B. 7C. 6D. 3
【答案】D
【解析】点、分别为四边形的边、的中点，
，且，
同理求得，且，
四边形是平行四边形，
又，
，
四边形是矩形，
四边形的面积，即四边形的面积是3．
故选：．
8. 如图，矩形的对角线，交于点O，，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为点F，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴矩形面积为，
∴，
，
∵对角线交于点，
∴的面积为，
∵，
∴，
即，
∴，
∴．
故选：B．
二、填空题
9. 一个长方形的长和宽分别为和，则这个长方形的面积为________．
【答案】
【解析】∵长方形的长和宽分别为和
∴这个长方形的面积为：
故答案为.
10. 已知，则代数式的值为______．
【答案】
【解析】把代入，得
．
故答案为：．
11. 如图，在中，，分别为，的中点，点F在线段上，且．若，，则的长为______．
【答案】
【解析】∵，分别为，的中点，，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
∵是的中点，
∴是的中线，且，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 如图所示的网格是正方形网格，网格中三条线段的端点均是格点，以这三条线段为边的三角形是___三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．
【答案】直角
【解析】∵，，
∴，
∴以这三条线段为边的三角形是直角三角形，
故答案为：直角
13. 如图，矩形中，，，点P从B点沿向D点移动，若过点P作的垂线交于E点，过点P作的垂线交于F点，则的长度最小为______．
【答案】
【解析】如图，连接，
∵，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
∴四边形为矩形．
∴．
∴要求最小值就是要求的最小值．
∵点P从B点沿着往D点移动，
∴当时，取最小值．
在中，∵，，
∴，
∵，
∴．
∴的长度最小为：，
故答案为：．
14. 已知，则的值为______．
【答案】
【解析】∵，
∴
∴
∴
∴，
故答案为：．
15. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2（图中大正方形边长为5），图3（图中小正方形边长为1）所示的正方形，则图1中菱形的面积为_______．
【答案】
【解析】设图1中分成的直角三角形的长直角边为，短直角边为，根据题意得：
，得，
图1中菱形的面积为：，
故答案为：12．
16. 在矩形中，M，N，P，Q分别为边，，，上的点（不与端点重合），对于任意矩形，有下面四个结论：
①存在无数个四边形是平行四边形；
②存在无数个四边形是矩形；
③存在无数个四边形是菱形；
④存在无数个四边形是正方形；
所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②③
【解析】①如图，∵四边形矩形，连接，交于O，
∴，，，，，
∴，，，
过点O的直线和，分别交，，，于M，N，P，Q，
∴，，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
则四边形是平行四边形，
故存在无数个四边形是平行四边形，故①正确；
②如图，当时，四边形是矩形，故存在无数个四边形是矩形；故②正确；
③如图，当时，存在无数个四边形是菱形，故③正确；
④当四边形是正方形时，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
当四边形为正方形时，四边形是正方形，故④错误；
故正确结论的序号是①②③．
故答案为：①②③．
三、解答题
17. 计算
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
18. 如图，在中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，，
∴，
在和中
∴；
（2）解：四边形是菱形
理由如下：
如图，连接，，
由（1）得
∴， ，
∴，
∴四边形是平行四边形
当平分时，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形
由等腰三角形性质三线合一可得，
∴平行四边形是菱形．
19. 勾股定理的证明：
如图1，在中，．求证：．

小丽同学课下探究勾股定理证明方法经历的思考过程：
（1）看到要证明的结论，想到小学学习的正方形的面积计算方法是，受此启发，要证明，于是分别以的三边、、为边向的外面作正方形，如图2，只需证明_____+____即可；

（2）如何将正方形分成两个长方形，使其面积分别等于其余两个正方形的面积呢?此处遇到困难，于是查阅资料，发现欧几里得的《几何原本》中，在图2的基础上作了如图3中的辅助线，小丽尝试理解辅助线是如何想到的．

①首先过点C作边的垂线，垂足为点M，交于点N，就实现将正方形分成两个长方形的目的，只需证明， _______；
②要想建立正方形和长方形面积的关系，只能将其分别建立与和的面积关系，易得，_____，而（ ）（填推理依据），于是、同理将正方形的面积转化为另一长方形的面积，小丽通过体验勾股定理的探索过程，发现利用面积证法将未知问题逐步转化为已知问题．
（1）解：∵，，，
∴当时，，
∴证明，即可得出．
（2）解：①根据作图可知：只需证明：，，
即可证明．
②∵，，
∴；
∵四边形、为正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的依据是图形全等．
20. 在下面数轴上作出表示的点．（利用直尺和圆规，不写作法，保留痕迹）
解：如图，点P即为所求作的点，
根据作图可知：，，，，
∴，
∴，
∴点P表示的数为．
21. 如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB．
(1)求证：PE＝PD；
(2)求∠PED的度数．
（1）证明；∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ACB=∠ACD，
在△PBC和△PDC中，
∵
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴PB=PD，
∵PE=PB，
∴PE=PD；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∵△PBC≌△PDC，
∴∠PBC=∠PDC，
∵PE=PB，
∴∠PBC=∠PEB，
∴∠PDC=∠PEB，
∵∠PEB+∠PEC=180°，
∴∠PDC+∠PEC=180°，
在四边形PECD中，∠EPD=360°−(∠PDC+∠PEC)−∠BCD=360°−180°−90°=90°，
又∵PE=PD，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴∠PED=45°．
22. 如图，在平行四边形中，点，分别是，上的点，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，求的长．
（1）证明：四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
即，
又∵，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过作于，
，
，
，，
，
，
．
23. 在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．

解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点
∴DE为的中位线，且
∴，
∵
∴
∵
∴
∴四边形DECF为矩形
∴
∴
则在中，；
（2）过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG
∵
∴，
∵D是AB的中点∴
在和中，
∴
∴，
又∵
∴DF是线段EG的垂直平分线
∴
∵，
∴
在中，由勾股定理得：
∴．