2024年河南省焦作市五城区中考联考数学试题

这是一份2024年河南省焦作市五城区中考联考数学试题，共24页。试卷主要包含了 下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟.
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上.答在试卷上的答案无效.
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1. 的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：的相反数是，
故选：A．
2. 中国首位女航天员刘洋曾经两次进入太空，分别执行了神舟九号、神舟十四号载人飞行任务．刘洋出生于河南郑州，她是河南9872万人的骄傲．将数据“9872万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法，进行表示即可．
【详解】解：9872万；
故选D．
【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：，n为整数，是解题的关键．
3. 如图所示的移动台阶，它的俯视图是（ ）
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C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据俯视图的意义判断即可．
【详解】∵ 的俯视图是 ，
故选A．
【点睛】本题考查了几何体的俯视图，正确理解俯视图的意义是解题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，完全平方公式，合并同类项，根据运算法则逐一计算判断即可，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键．
【详解】解：∵不是同类项，无法计算，故A不合题意．
∵，
∴B合题意．
∵，
∴C不合题意．
∵，
∴D不合题意．
故选：B．
5. 如图，和内接于，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理得，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6. 已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．
【详解】∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴k﹤0，
A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；
B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；
C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；
D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=﹥0，此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
7. 如图，中，，平分，交于点，，点，分别是和的中点，则的长为（ ）
A. 3B. 2.5C. 2D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据平行四边形的性质可得，，再结合角平分线的定义和平行线的性质证明为等腰三角形，易得，进而可得，然后结合点，分别是和的中点，易得是的中位线，结合三角形中位线的性质即可获得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点，分别是和的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线的性质是解题关键．
8. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，图是它的部分示意图，测得，，则点到的距离（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了三角函数的应用、点到直线的距离等知识点，过作于点，利用三角函数即可求解，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
【详解】过作于点，
∴，
在中，，
∴，
∴，即点到的距离为米，
故选：．
9. 某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率=）随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是（ ）
A. 本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量
B. 本次充电40分钟，汽车电池含电率达到
C. 本次充电持续时间是120分钟
D. 若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由函数图像读取信息，仔细观察函数图像，正确读取信息逐项进行分析解答即可
【详解】解：A、由函数图像可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，不符合题意；
B、由函数图像可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，不符合题意；
C、由函数图像可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，不符合题意；
D、若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时，
到的电量变化对应的耗电量为千瓦，错误，符合题意，
故选：D
10. 如图，正六边形的边长为，是对角线上一动点，动点从点出发且以的速度在点和点间往返匀速平移．过点作直线与垂直，设直线被正六边形区域截得的长度为，当点的运动时间为时，的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查动点规律问题，三角函数，根据题意求出长，然后得到点P往返一次需，即可得到时点P的位置，然后利用三角函数解题即可．
详解】连接，
∵是正六边形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴点P往返一次需，
∴，
∴，
∴，
故选D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若与互为相反数，则的值为_______.
【答案】1.
【解析】
【分析】根据相反数的性质即可求解.
【详解】m+1+(-2)＝0，所以m＝1.
【点睛】此题主要考查相反数的应用，解题的关键是熟知相反数的性质.
12. 不等式组的解集为______．
【答案】##
【解析】
【分析】分别求出每个不等式的解集，然后再取它们的公共部分即可确定式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以，不等式组的解集为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，要注意不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找．
13. 今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．甲、乙两位同学打算去观看这四部影片的其中一部，则这两位同学选择观看相同影片的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用列表或画树状图法求概率和概率公式．画树状图，共有16种等可能的结果，甲、乙两人选择同一部电影的结果有4种，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：A表示《热辣滚烫》、B表示《飞驰人生2》、C表示《熊出没逆转时空》、D表示《第二十条》，
画树状图如下：
共由16种等可能的结果，其中，甲、乙两人选择同一部电影的结果有4种，
甲、乙两人选择观看相同影片的概率为：．
故答案为：．
14. 如图，矩形中，，，点、分别是、上的动点，，则的最小值是______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得出当A、F、G三点共线时，的值最小，是解题的关键．延长到G，使，连接，证明四边形是平行四边形，得出，得出当点A、F、G三点共线时，的值最小，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：延长到G，使，连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当点A、F、G三点共线时，的值最小为，
由勾股定理得，，
∴的最小值为10，
故答案为：10．
15. 如图，菱形中，，，将菱形绕点逆时针旋转，当时，的长度为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，解直角三角形．分两种情况讨论，作于，延长交于，交于，连接，利用三角函数的定义求得，和的长，在中，求得，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，作于，延长交于，交于，连接，
由旋转的性质得，，，
∴，
∴，
∴三点共线，
在中，，，
∴，
∵菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴；
如图，
同理，，，
，
∴；
综上，的长度为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）0；（2）．
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，分式的混合运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据零指数幂，负整数指数幂，算术平方根化简计算即可；
（2）先化简括号内分式，再进行乘法运算．
详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17. 在最新版《义务教育课程方案》和《课程标准》中，劳动教育课程从原来的综合实践课程中独立出来，某校为了了解学生做家务的情况，对本校七、八年级学生寒假期间平均每天在家做家务时长进行了调查，并从七、八年级中各随机抽取10名学生做家务的时长，进行整理和分析（做家务时长用x（单位：分钟）表示，共分为四个等级：A.，B.，C.，D.），下面给出了部分信息.
七年级10名学生平均每天做家务的时长：42，42，42，48，60，60，90，96，108，132.
八年级10名学生平均每天做家务的时长在B等级的数据：66，66，66，66，72.
抽取的七、八年级学生做家务时长统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）______，______.
（2）根据以上数据分析，你认为从七、八年级学生在家做家务的时长来看，哪个年级学生在家更会积极主动做家务？请说明理由（写一条理由即可）.
（3）分析以上数据，根据本校学生寒假做家务时长的情况，给学校提一条合理化建议.
【答案】（1）42；66
（2）因为八年级的学生做家务时长的中位数和众数都比七年级的学生做家务时长大，所以八年级学生学生更会积极主动做家务
（3）只有约30%的学生做家务时长达到90分钟，建议学校增设特色劳动课程，加强家校沟通，布置合适的劳动作业
【解析】
【分析】本题主要考查了样本估计总体，中位数，众数，平均数．
（1）根据中位数与众数的意义结合统计图即可求出a和b的值；
（2）根据中位数与众数的意义分析即可；
（3）根据数据结合实际给出建议即可．
【小问1详解】
七年级10名学生平均每天做家务的时长中，出现的次数最多，即众数，
八年级学生超过90分钟人数为人，
∴八年级10名学生平均每天做家务的时长从小到大排列后的第5和6个数据都是，即中位数，
故答案为：42；66；
【小问2详解】
∵八年级的学生做家务时长的中位数和众数都比七年级的学生做家务时长大，
∴八年级学生学生更会积极主动做家务；
【小问3详解】
只有约30%的学生做家务时长达到90分钟，建议学校增设特色劳动课程，加强家校沟通，布置合适的劳动作业．
18. 如图，矩形中，．
（1）请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：
（不写作法，保留作图痕迹）
①在边上取一点，使；
②在上作一点，使点到点和点的距离相等．
（2）在（1）中，若，，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）①以A为圆心，以为半径画弧，交于点，则点E即为所求；
②连接,作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求．
（2）根据勾股定理先求得的长，继而求得,设，则，利用勾股定理计算即可．
本题考查了基本作图，勾股定理，熟练掌握基本作图，活用勾股定理是解题的关键．
【小问1详解】
解：①以A为圆心，以为半径画弧，交于点，
则点E即为所求；
②连接，作线段的垂直平分线，交于点，
则点即为所求．
【小问2详解】
，，
，
设，则，
在中，
即．
19. 如图所示，矩形的边在x轴上，在y轴上，点B的坐标是反比例函数的图象经过点B，以点A为圆心，为半径作 交边于点 C， 连接．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求的度数．
（3）请直接写出图中阴影部分的面积．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）由勾股定理求出，的长，然后证明是等边三角形，进而可求出．
（3）根据求解即可．
【小问1详解】
把点 代入 ，得 ．
∴反比例函数的解析式是．
【小问2详解】
∵矩形 中 ，
∴， ，，
由题意知．
由勾股定理得 ，
∴．
由勾股定理得，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
【小问3详解】
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，以及扇形的面积公式，证明是等边三角形是解答本题的关键．
20. 数学小组研究如下问题：某市的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：
（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；
（2）如图，是经过南、北极的圆，地球半径约为．弦，过点作于点，连接．若，则以为半径的圆的周长是北纬纬线的长度；
（3）参考数据：取，，．
请求出北纬纬线的长度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，平行线性质，解题关键是熟练三角函数的含义及解直角三角形的方法．由平行线的性质，锐角三角函数的定义求解即可，
【详解】，
．
在中，
∴北纬纬线的半径：
∴
答：纬线长度为．
21. 某超市购进甲、乙两种水果的进价分别为10 元/、15元/，乙种水果在销售后采取降价销售，这个价格保持到销售完这批水果．这两种水果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数关系如图所示．
（1）甲种水果每千克的销售价为 元；
（2）求乙种水果销售额y（单位：元）与销售量 x（单位：）之间的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围；
（3）当两种水果销售额相同，且销售额大于0时，请直接写出销售这两种水果的利润和．
【答案】（1）20 （2）当时，；当时，；
（3）900
【解析】
【分析】（1）根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元，得到单价为元；
（2）当时，是正比例函数；当时，是一次函数，利用待定系数法解答即可．
（3）确定甲水果的解析式，结合乙的解析式，分类计算即可．
本题考查了图象信息，待定系数法，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
c
【小问1详解】
根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元，
故单价为元；
故答案为：20．
【小问2详解】
当时，是正比例函数，
设解析式，
把点代入解析式，得，
解得，
故解析式为；
当时，是一次函数，
设解析式为，
把点，代入解析式，得，
解得，
故解析式为．
【小问3详解】
根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元，
故单价为元；
故甲的解析式为．
由两种水果销售额相同，且销售额大于0，
得，
解得，
∴甲水果销售额为；乙水果销售额为
∴甲水果销售利润；乙水果销售利润
∴两种水果的总利润为(元)．
22. 在平面直角坐标系中，正方形的边长为（为正整数），点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．若点在正方形的边上，且，均为整数，定义点为正方形的“点”．
若某函数的图象与正方形只有两个交点，且交点均是正方形的“点”，定义该函数为正方形的“函数”．
例如：如图1，当时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形的“函数”．
图（1） 图（2） 图（3）
（1）当时，若一次函数是正方形的“函数”，则一次函数的表达式是______（写出一个即可）；
（2）如图2，当时，正方形的“整点函数的图象经过边上的点，与边相交于点，请直接写出的值______．
（3）当时，二次函数的图象经过点.若该函数是正方形的“函数”，求的取值范围；
【答案】（1）（或）
（2）的值为3或6
（3）或
【解析】
【分析】（1）当时，，，，写出一个一次函数，其图象过，即可；
（2）求出，点的坐标为，可知函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”，故函数 是正方形的“函数”； 求出，点的坐标为，可知函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”，故函数 是正方形的“函数”；
（3）当时，把点代入二次函数 可得，故，该函数图象的顶点坐标为，可知点在函数 的图象上，①当时，抛物线顶点在轴上方，即可得，；②当时，函数 图象经过点，，一定是正方形的“函数”；从而可得的取值范围为；
【小问1详解】
解：如图：
当时，，，，
当一次函数图象过，时，
，
解得：，
∴此时解析式为，且直线与正方形只有两个交点，
一次函数是正方形的“函数”；
当一次函数图象过，时，
，
解得：，
∴此时解析式为，且直线与正方形只有两个交点，
一次函数是正方形的“函数”；
故答案为：（或）；
【小问2详解】
解：当点时，代入中得：，
解得，
，
把代入得，
点的坐标为，
函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”，
函数是正方形的“函数”；
当点时，代入中得：，
解得，
，
把代入得，
点的坐标为，
函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”，
函数是正方形的“函数”；
综上分析可知：或．
【小问3详解】
解：当时，点的坐标为，点的坐标为，
把点代入二次函数 中得：，
，
，
该函数图象的顶点坐标为，
在中，令得，
点在函数的图象上，
函数 是正方形的“函数”，其图象经过点，，
①当时，抛物线顶点在轴上方，
，
解得，
；
②当时，函数 图象经过点，，则函数 一定是正方形的“函数”；
综上所述，的取值范围为或；
【点睛】本题考查二次函数综合应用，求反比例函数、一次函数解析式，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“函数”的定义．
23. 综合实践：
数学活动课上，老师让同学们用矩形纸片进行折叠探究，，分别为边、上的动点，将沿折叠，点的对应点为，点的对应点为．
（1）如图①，当与边交于点时，则与的数量关系为______．
（2）如图②，当的延长线与的延长线交于点时，且，交边于点，连接、，试判断和的数量关系并说明理由．
（3）若交边于点，交边于点，，．当恰为的三等分点时，请直接写出的长______．
【答案】（1）
（2）和的数量关系；理由见解析
（3）或4
【解析】
【分析】（1）根据矩形对边平行得出，再根据折叠性质得出，即可得出；
（2）连接交于，连接．先证明共线，再利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．
（3）分为①当时，②当时，证明，根据相似三角形的性质和勾股定理算出，，再根据，算出，，即可求解；
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
故答案为：；
小问2详解】
证明：如图，连接交于，连接．
，
，
，
，
，
同（1）得：，
平分，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
，
，
，
，
平分，
三点共线，
，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴．
【小问3详解】
解：①当时，
根据折叠可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据（1）同理可得，
∴，
∴；
②当时，
根据折叠可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据（1）同理可得，
∴，
∴．
综上，的长或4．
【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定，折叠的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．年级
平均数
中位数
众数
七年级
72
60
a
八年级
72
b
66