2023年香港大湾杯八年级竞赛决赛数学试卷

这是一份2023年香港大湾杯八年级竞赛决赛数学试卷，共12页。试卷主要包含了甲部，乙部，丙部等内容，欢迎下载使用。

1、【来源】
求2000位數20232023⋯2023除以7時的餘數．
求2000位数20232023⋯2023除以7时的余数．
Find the remainder f 2000-digit number 20232023⋯2023 divided by 7.
2、【来源】
求正整數n的數量使得n2+2023被n+1整除．
求正整数n的数量使得n2+2023被n+1整除．
Find the number f all psitive integers n such that n2+2023 is divisible by n+1.
3、【来源】
求20234+20232+120233−1−2023的值．
求20234+20232+120233−1−2023的值．
Find the value f 20234+20232+120233−1−2023.
4、【来源】
已知正整數N被2023除時餘數為2019．求N被289除的餘數．
已知正整数N被2023除时余数为2019．求N被289除的余数．
Given the remainder f psitive integer N divided by 2023 is 2019. Find the remainder f N divided by 289.
5、【来源】
ABCD為邊長16的正方形．若M、N、O和P為ABCD上的點使得MNOP為正方形，求MNOP面積的最小值．试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。ABCD为边长16的正方形．若M、N、O和P为ABCD上的点使得MNOP为正方形，求MNOP面积的最小值．
ABCD is a square with side length 16. If M, N, O and P are the pints lying n the sides f ABCD such that MNOP is a square, find the smallest area f MNOP.
6、【来源】
假設a為合成數，p和q為質數使得5a−p=q，且p>q．求q的最小可能值．
假设a为合成数，p和q为质数使得5a−p=q，且p>q．求q的最小可能值．
Suppse a is a cmpsite number, p and q are prime numbers such that 5a−p=q , and p>q. Find the smallest pssible value f q.
7、【来源】
若三角形的三邊為45、60和75，求三角形三個高之和．
若三角形的三边为45、60和75，求三角形三个高之和．
If the three sides f a triangle are 45, 60 and 75, find the sum f three altitudes f the triangle.
8、【来源】
求方程x3(x3−1)(x3−2)(x3−3)⋯(x3−199)=0的整數解的數量．
求方程x3(x3−1)(x3−2)(x3−3)⋯(x3−199)=0的整数解的数量．
Find the number f integral slutins f
x3(x3−1)(x3−2)(x3−3)⋯(x3−199)=09、【来源】
求剛好有3個因數的兩位數的數量．
求刚好有3个因子的两位数的数量．
Find the number f 2-digit number(s) such that the number has exactly 3 factrs.
10、【来源】
求方程x+y+z=24的解的數量，當中正整數x、y與z大於3．
求方程x+y+z=24的解的数量，当中正整数x、y与z大于3．
Find the number f slutin(s) f x+y+z=24 fr psitive integers x, y and z greater than 3.
二、乙部：第11至20題（每題5分） 乙部：第11至20题（每题5分） Sectin B: 11th t 20th Questin (Each carries 5 marks)
11、【来源】
求3336除以777的餘數．
求3336除以777的余数．
Find the remainder f 3336 divided by 777.
12、【来源】
若直角三角形的周界和面積分別為70和105，求三角形斜邊的長度．
若直角三角形的周界和面积分别为70和105，求三角形斜边的长度．
If the perimeter and the area f a right-angled triangle are 70 and 105 respectively, find the length f the hyptenuse f the triangle.
13、【来源】
若長方形的面積和對角線為188和182，求長方形的周界．
若长方形的面积和对角线为188和182，求长方形的周界．
If the area and the diagnal f a rectangle are 188 and 182, find the perimeter f the rectangle.
14、【来源】
若(a2−11a+29)a2−6a+8=1，求a的所有可能值之和．
若(a2−11a+29)a2−6a+8=1，求a的所有可能值之和．
If (a2−11a+29)a2−6a+8=1, find the sum f all pssible values f a.
15、【来源】
投擲4顆六面骰子，請問其骰子面熟字總和為12的機率是多少？
投掷4颗六面骰子，请问其骰子面数字总和为12的机率是多少？
What is the prbability f rlling a sum f 12 with 4 six-sided dices?
16、【来源】
定義n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1，若2023!能被2k整除，求正整數k的最大可能值．
定义n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1，若2023!能被2k整除，求正整数k的最大可能值．
Define n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1, if 2023! is divisible by 2k, find the maximum pssible value f psitive integer k.
17、【来源】
定義n!=n×(n−1)×(n−2)×…×3×2×1．已知(p−1)!除以質數p的餘數為p−1，求28!除以31的餘數．
定义n!=n×(n−1)×(n−2)×…×3×2×1．已知(p−1)!除以质数p的余数为 p−1，求28!除以31的余数．
Define n!=n×(n−1)×(n−2)×…×3×2×1. Given that the remainder f (p−1)! divided by a prime number p is (p−1). Find the remainder f 28! divided by 31.
18、【来源】
求最小正整數n使得13+23+33+⋯+n3能被2023整除．
求最小正整数n使得13+23+33+⋯+n3能被2023整除
Find the smallest psitive integer n such that 13+23+33+…+n3 is divisible by 2023.
19、【来源】
已知正整數x、y及z使得xyz+xy+xz+yz+x+y+z=428,求x+y+z的值．
已知正整数x、y及z使得xyz+xy+xz+yz+x+y+z=428,求x+y+z的值．
Given psitive integers x, y and z satisfy xyz+xy+xz+yz+x+y+z=428， find the value f x+y+z.
20、【来源】
若x、y和z為正整數使得x3+2y3=xy2z，求z的最小可能值．
若x、y和z为正整数使得x3+2y3=xy2z，求z的最小可能值．
If x, y and z are psitive integers such tha x3+2y3=xy2z, find the minimum pssible value f z.
三、丙部：第21至30題（每題6分） 丙部：第21至30题（每题6分） Sectin C: 21st t 30th Questin (Each carries 6 marks)
21、【来源】
平面上方程3x2−1219x−2023=0的曲線被平移向右3單位而成方程ax2+bx+c=0的曲線，當中a、b與c為實數．求a+b+c的值．
平面上方程3x2−1219x−2023=0的曲线被平移向右3单位而成方程ax2+bx+c=0的曲线，当中a、b与c为实数．求a+b+c的值．
The curve f equatin 3x2−1219x−2023=0 n the crdinate plate is shifted by 3 unit t the right t btain the curve f equatin ax2+bx+c=0 fr real number a, b and c. Find the value f a+b+c.
22、【来源】
若a、b為正整數使得a2和b3的最小公倍數為2700，求a的所有可能值之和．
若a、b为正整数使得a2和b3的最小公倍数为2700，求a的所有可能值之和．
If a, b are psitive integers such that the Least Cmmn Multiple (L.C. M.) f a2 and b3 is 2700, find the sum f all pssible value(s) f a.
23、【来源】
對於所有正整數n，S(n)為n的數位和．定義n!=n×(n−1)×(n−2)×…×3×2×1，求S(S(S(2023!)))的值．
对于所有正整数n，S(n)为n的数位和．定义n!=n×(n−1)×(n−2)×…×3×2×1，求S(S(S(2023!)))的值．
Let S(n) dentes the sum f all digits in n fr all psitive integers n. Define n!=n×(n−1)×(n−2)×…×3×2×1, find the value f S(S(S(2023!))).
24、【来源】
求20232023的最後兩位數．
求20232023的最后两位数．
Find the last tw digits f 20232023.
25、【来源】
已知對ΔABC，AB=BC=85且AC=80．求△ABC內接圓的半徑．
已知对ΔABC，AB=BC=85且AC=80．求△ABC内接圆的半径．
Fr △ABC. AB=BC=85 and AC=80. Find the radius f the inscribed circle f △ABC.
26、【来源】
求x3+20233x3−20233=x+2023x−2023的所有實根之和．
求x3+20233x3−20233=x+2023x−2023的所有实根之和．
Find the sum f all real rts f x3+20233x3−20233=x+2023x−2023..
27、【来源】
求20232022+20242023除以9的餘數．
求20232022+20242023除以9的余数．
Find the remainder f 20232022+20242023 divided by 9.
28、【来源】
對正整數a與b，求a的所有可能值之和使得1a+1b=27．
对正整数a与b，求a的所有可能值之和使得1a+1b=27．
Fr psitive integers a and b, find the sum f all pssible value(s) f a such that 1a+1b=27.
29、【来源】
對正整數n，整数d為n的末值且整數k滿足n=10k+d．求最小正整數m使得若n能被29整除，mk+6d能被29整除．
对正整数n，整数d为n的末值且整数k满足n=10k+d．求最小正整数m使得若n能被29整除，mk+6d能被29整除．
Fr psitive integer n, integer d is the last digit f n and integer k satisfies n=10k+d. Find the smallest psitive integer m such that if n is divisible by 29, mk+6d is divisible by 29.
30、【来源】
對正整數a和b使得23a+29b=2023，求a2+b2的最大值．
对正整数a和b使得23a+29b=2023，求a2+b2的最大值．
Fr psitive integers a and b satisfy 23a+29b=2023, find the maximum value f a2+b2.
1 、【答案】 0
;
【解析】 2023≡0md7⇒20232023⋯2023⏟2000′s≡2023×100010001⋯001⏟1997′s≡0md7
【标注】
2 、【答案】 15
;
【解析】 n2+2023n+1=(n2−1)+2024n+1=(n+1)(n−1)+2024n+1=(n−1)+2024n+1
∴ n+1>1
∵ ∵2024=23×11×23
∴ ∴(3+1)×(1+1)×(1+1)−1=15
【标注】
3 、【答案】 12022
;
【解析】 a=2023
20234+20232+120233−1−2023=a4+a2+1a3−1−a=a4+a2+1−a4+aa3−1=a2+a+1(a−1)(a2+a+1)=1a−1=12022【标注】
4 、【答案】 285
;
【解析】 N≡2019(md2023)⇒N=2023k+2019
∴ N≡2023k+2019≡289×7k+2019≡2019≡285(md289)
【标注】
5 、【答案】 128
;
【解析】 12×(16)2=128
【标注】
6 、【答案】 2
;
【解析】 a=9=3×3p=43q=2∴5a−p=5×9−43=45−43=2=q
【标注】
7 、【答案】 141
;
【解析】 ∵ 452+602=2025+3600=5625=752
∴ 12×45×60=12×75×ℎ
⇒ℎ=45×6075=36∴ 45+60+36=141
【标注】
8 、【答案】 6
;
【解析】 x3(x3−1)(x3−2)(x3−3)⋯(x3−199)=0
⇒0≤x3≤199⇒0≤x≤5∴ 6
【标注】
9 、【答案】 2
;
【解析】 N=p2
10≤N≤100⇒3【标注】
10 、【答案】 91
;
【解析】 x+y+z=24⇒(x−3)+(y−3)+(z−3)=15∴C214=14×132×1=91
【标注】
11 、【答案】 666
;
【解析】 3336≡46≡83≡1≡666(md7)3336≡0≡666(md111)∴3336≡666(md777)
【标注】
12 、【答案】 32
;
【解析】 a+b+c=70
ab2=105a2+b2=c2(a+b)2=c2+2ab(70−c)2=c2+4×105(70−c)2−c2=42070(70−2c)=42070−2c=62c=64c=32【标注】
13 、【答案】 64
;
【解析】 ab=188a2+b2=1822=648(a+b)2=a2+b2+2ab=628+2×188=1024∴a+b=1024=32⇒2(a+b)=64
【标注】
14 、【答案】 20
;
【解析】 a2−6a+8=0a2−11a+29=1a2−11a+29=−1a2−6a+8=2k(k∈ℤ)⇒(a−2)(a−4)=0(a−4)(a−8)=0(a−5)(a−6)=0⇒a=2ra=4a=8ra=4(repeated)a=6ra=5(rej)∴2+4+6+8=20
【标注】
15 、【答案】 1251296
;
【解析】 C311−4C3564=11×10×9−4×5×4×364×3×2×1=165−4064=1251296
【标注】
16 、【答案】 2014
;
【解析】 20232+202322+202323+⋯=1011+505+252+126+63+31+15+7+3+1=2014
【标注】
17 、【答案】 18
;
【解析】 N=28!
30×29×N≡30(md31)29×N≡1(md31)(−2)×N≡−30(md31)N≡15(md31)【标注】
18 、【答案】 34
;
【解析】 13+23+33+…+n3=(n(n+1)2)2=2023m
⇒n2(n+1)2=4046m=2×7×172m1:7×17|n⇒119|n⇒nnmin=1192:119|(n+1)⇒nmin=1183:17|n and 7|(n+1)⇒7|(17k+1)⇒7|(3k+1)
∴ kmin=2⇒nmin=17kmin=34
4:7|n and 17|(n+1)⇒7|(17k−1)⇒7|(3k−1)
∴ kmin=5⇒nmin=17kmin−1=84
∴ nmin=34
【标注】
19 、【答案】 24
;
【解析】 (x+1)(y+1)(z+1)=xyz+xy+xz+yz+x+y+z+1=428+1=429
∴ (x+1)(y+1)(z+1)=3×11×13=(2+1)(10+1)(12+1)
∴ x,y,z=2,10,12
⇒x+y+z=2+10+12=24【标注】
20 、【答案】 3
;
【解析】 A.M.⩾+y3+y3⩾33x3y6xy2z⩾3xy2z⩾3
【标注】
21 、【答案】 427
;
【解析】 ax2+bx+c=3(x−3)2−1219(x−3)−2023
a+b+c=3×(1−3)2−1219×(1−3)−2023=12+2438−2023=427【标注】
22 、【答案】 25
;
【解析】 2700=22×33×52a=2a2×3a3×5a5b=2b2×3b3×5b5⇒a2=22a2×32a3×52a5b3=23b2×33b3×,3b2×3max2a3,3b3×5max2a5,3b5=22×33×52
0⩽3b2⩽20⩽2a3⩽30⩽3b5⩽2⇒b2=0a3=0/1b5=0⇒2a2=23b3=32a5=2⇒a2=1b3=1a5=1a=21×30×51=10ra=21×31×51=15b=20×31×50=3∴10+15=25【标注】
23 、【答案】 9
;
【解析】 AM⩾GM1+2+3+⋯+2022+20232023=1012⩾20232023!2023!<10242023=220230=2×867432023!<2×106743
【标注】
24 、【答案】 67
;
【解析】 2023≡−2(md25)210≡1024≡−1(md25)
20232023≡(−2)2023≡−8×22020≡−8×(−1)202≡−8(md25)2023≡−1(md4)⇒20232023≡(−1)2023≡−1(md4)20232023≡−1≡67(md4)20232023≡−8≡67(md25)∴ 20232023≡67(md100)
【标注】
25 、【答案】 24
;
【解析】
BD=AB2−AD2=852−402=75OEOB=ADAB∵△OBE∼△ABDr75−r=4085=81717r=600−8r25r=600r=24【标注】
26 、【答案】 2023
;
【解析】 a=2023
x−ax+a=x3−a3x3+a3=(x−a)(x2+ax+a2)(x+a)(x2−ax+a2)(x−a)(x2−ax+a2)=(x−a)(x2+ax+a2)(x−a)(x2−ax+a2−x2−ax−a2)=02ax(x−a)=0x=0 r x=a
∴ 0+2023=2023
【标注】
27 、【答案】 0
;
【解析】 2023≡−2(md9)2024≡−1(md9)
∴ 20232022+20242023
≡(−2)2022+(−1)2023≡(−8)674−1≡1674−1≡0(md9)【标注】
28 、【答案】 39
;
【解析】 1a+1b=27
4ab=14a+14b4ab−14a−14b+49=49(2a−7)(2b−7)=492a−7=1/7/492a=8/14/56a=4/7/284+7+28=39【标注】
29 、【答案】 2
;
【解析】 10k+d≡0(md29)
⇒60k+6d≡2k+6d≡0(md29)⇒m=2【标注】
30 、【答案】 4457
;
【解析】 23a+29b≡6b≡2023≡22md23⇒3b≡11≡−12md23⇒b≡−4md23∴b=23k−4⇒23a=2023−29×b=2023−29×23k−4=2139−29×23k⇒a=93−29k
a=93−29k>0b=23k−4>0⇒k<9329k>423⇒1⩽k⩽3⇒a=64b=19k=1∴a2+b2=4457【标注】