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精品解析：山东省青岛市平度市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（原卷版+解析版）
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高二数学试题
2023.07
本试卷共6页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，请将答题卡上交.
一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数定义域求法可求得集合；根据指数函数值域求法可求得集合；根据交集定义可得结果.
【详解】由得，则；
当时，，所以；所以.
故选：.
2. 已知a，b为实数，则“”是“”的（ ）
A. 既不充分也不必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 充要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分别验证必要性与充分性即可得到结果.
【详解】若，则，可得，反之，若，则可能为负数，推不出，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：C
3. 将五本不同的书全部分给甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，则不同的分法有（ ）
A. 90种B. 150种C. 180种D. 250种
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知将书可以分成1，2，2和1，1，3两种，然后分配给3人，再利用分类加法原理可求得结果.
【详解】由题意可知将5本书可以分成1，2，2和1，1，3两种，
①若将书分成1，2，2三组，再分配给3人，则有种分法，
②若将书分成1，1，3三组，再分配给3人，则有种分法，
所以由分类加法原理可知共有种分法，
故选：B
4. 已知函数，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，再求的值即可.
【详解】因为，所以，
所以，
故选：D
5. 若的展开式中常数项是10，则m＝（ ）
A. －2B. －1C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由，利用的展开式的通项公式，分别求得和的常数项求解.
【详解】解：，
的展开式的通项公式为，
令，解得，则的展开式的常数项为；
令，解得，则的展开式的常数项为，
因为的展开式中常数项是10，
所以，解得，
故选：D
6. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数，且在是增函数B. 是偶函数，且在是增函数
C. 是奇函数，且在是减函数D. 是偶函数，且在是减函数
【答案】A
【解析】
【分析】由奇偶性定义可知为奇函数；利用复合函数单调性的判断方法可确定在是增函数.
【详解】由得：或，的定义域为；
，是奇函数；
，
在上单调递增，在上单调递增，
由复合函数单调性可知：在上是增函数.
故选：A.
7. 已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A. B. 16C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】正实数满足，
可得，当且仅当时，等号成立，
即，解得，
所以的最小值为.
故选：B.
8. 定义在R上的函数满足，且时，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，构造函数，利用其单调性求解.
【详解】因为，
令，则，
所以在上递增，
所以，所以，
所以，故C错误；
，
因为定义在R上的函数满足，
所以函数是奇函数，所以，即，故A正确；
，即，B错误；
，，D错误，
故选：A
二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9. 已知实数，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，由指数函数的单调性即可判断A，令即可判断B，由不等式的性质即可判断CD.
【详解】对于A，因为，由函数在上单调递减可知，，故正确；
对于B，令，满足，则，所以不成立，故错误；
对于C，因为，则，所以，故正确；
对于D，因为，所以，即，
所以，故错误；
故选：AC
10. 已知函数，则（ ）
A. 的单调递增区间是
B. 在处取得极大值
C. 在点处的切线方程为
D. 若，则函数有两个零点
【答案】BC
【解析】
【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，可判断选项A、B的正误；
由导数的几何意义可求在点处的切线方程，可判断选项C;
由方程的交点，可判断选项D的正误.
【详解】由题意，，
令，得，
当时，，单调递增；
当时，，取得极大值；
当时，，单调递减；故选项A错误，选项B正确；
在点处的切线斜率，
所以切线方程为：，即，故选项C正确；
当时，,
当时，取得最大值；
当时，,
所以当，方程有两个交点，则函数有两个零点，
故选项D错误.
故选：BC
11. 已知连续函数的定义域为R，且满足为奇函数，为偶函数，，当时，，则（ ）
A. 为偶函数B.
C. 为极大值点D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意得到函数是以项为周期的周期函数，且关于中心对称和对称，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】由为奇函数，可得函数关于中心对称，即，
又由为偶函数，可得关于对称，即，所以A不正确；
因为且，令，可得，所以B正确；
由时，，可得函数单调递增，
因为关于对称，可得函数在单调递减，所以为的极大值点，所以C正确；
由函数关于中心对称，可得，所以，
因为且，可得，
所以，所以函数是以项为周期的周期函数，
可得，所以，
所以，所以D正确.
故选：BCD.
12. 设A，B为同一随机试验的两个随机事件，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据条件概率和全概率公式求解.
【详解】对A，,A正确；
对B，根据全概率公式可得，,B错误；
对C，,C正确；
对D，,
,D正确；
故选:ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知随机变量X服从正态分布，且，则______．
【答案】0.68
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性即可.
【详解】随机变量X服从正态分布，
，
.
故答案为：0.68
14. 有3台机床加工统一型号的零件，加工的次品率分别为0.1，0.2，0.15，加工出来的零件混放在一起，3台机床加工的零件分别占总数的45%，25%，30%，则任取一个零件为次品的概率为______.
【答案】0.14
【解析】
【分析】利用全概率公式求解即可.
【详解】记零件为三个机床加工的事件分别为，零件为次品的事件为，
则，，
所以
故答案为：0.14.
15. 已知集合，，若，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】因式分解求二次不等式可得，再根据二次函数的值域可得，进而根据求解即可.
【详解】，，又，则，即.
故答案为：
16. 过点可以作函数两条互相垂直的切线，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先把函数转化为分段函数，由切线相互垂直转化为斜率之积为，得到两切点的范围，，且，根据在两切线上可用表示出，结合的范围可求的取值范围.
【详解】当时，
，，
当时，
，，且，
设两切点横坐标分别为，，且，
因切线相互垂直，故，故，
故两切点分别为，，
切线方程分别为：，，
即，，
由题意为两切线的交点，
故，，
所以，
得
由得，即，
故
因，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是设出切点横坐标为，再写出切线方程，再解出切线方程的交点横坐标，根据切线斜率乘积为得，化简得，再利用基本不等式即可得到的范围.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 近年来，各种类型的网约车服务在我国各城市迅速发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在某地的发展情况，某调查机构从该地抽取了6个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数x，y，经过统计分析，它们满足最小二乘法，且y关于x的经验回归方程为．
（1）预测当A指标数为52时，B指标数估计值．
（2）试求y与x之间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系（若，则线性相关程度较强）．
附：参考数据：．
相关系数．
【答案】（1）B指标数的估计值为103
（2）0.88，y与x具有较强的线性相关关系
【解析】
【分析】（1）把代入求解即可；
（2）由求得，再根据相关系数公式即可求解，从而可以判断y与x具有较强的线性相关关系.
【小问1详解】
当时，，
当A指标数为52时，B指标数的估计值为103.
【小问2详解】
因为，所以，
所以相关系数，
因为r＞0.75，所以y与x具有较强的线性相关关系.
18. 已知函数在处有极值．
（1）求的极值；
（2）若在区间上有三个零点，求实数b的取值范围．
【答案】（1）极大值为，极小值为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导函数讨论单调性和极值；
（2）利用函数的极值和函数的图象性质求解.
【小问1详解】
由条件知，得
所以随x变化情况如下表：
所以函数的极大值为，极小值为.
【小问2详解】
因为，
所以函数在区间上有三个零点，只需,
所以.
19. 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良，为了检验甲、乙两种疗法的效果差异，采用有放回简单随机抽样的方法抽取了100名患者，部分统计数据如下表：
（1）请将上表补充完整，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析疗法与疗效是否有关联？
附：，其中n＝a＋b＋c＋d.
临界值表：
（2）从100名患者中按照治愈、未治愈分层抽样的方法随机抽取10名，从这10人中选取3人参加免费体检，设免费体检者中治愈的人数为X，求X的分布列与数学期望.
【答案】（1）表格见解析，疗法与疗效有关联
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题干数据完善列联表，计算与临界值比较得出结论；
（2）分层抽样可知治愈的人数为，未治愈的人数为，确定随机变量的X的所以取值，再求出对应的概率，即可写出分布列，代入数学期望公式求解即可.
【小问1详解】
列联表补充完整如下：
零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法没有差异；
根据列联表中数据，经计算得到：
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为疗法与疗效有关联，
此推断犯错误的概率不大于0.01；
【小问2详解】
按照治愈、未治愈分层抽样的方法随机抽取10名，
其中治愈的人数为，未治愈的人数为，
X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列为：
.
20. 已知函数．
（1）若在上单调递增，求a的取值范围；
（2）若函数在上存在零点，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求导列出不等式，即可得到结果；
（2）根据题意，分,,与讨论，即可得到结果.
【小问1详解】
由题得，因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，因为，所以.
【小问2详解】
因，则，注意到：，，
若，则，所以在上单调递增，
所以，在上不存在零点，
若，则，所以在上单调递减，
所以，在上不存在零点，
若，显然，在上不存在零点，
若，显然存在，使得，且在上单调递增，
注意到：，，
所以在上小于零，在上大于零，
所以在上单调递减，在上单调递增，
注意到：，，且，所以存在唯一使得，
综上，所以.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数零点问题，难度较难，解答本题的关键在于，，然后分的范围进行讨论，即可得到结果.
21. 某种电子玩具启动后，屏幕上的显示屏会随机亮起红灯或绿灯，在玩具启动前，用户可对P（0＜P＜1）赋值，且在第一次亮灯时，亮起绿灯的概率为P，亮起红灯的概率为1－P，随后若第n次亮起的是绿灯，则第n＋1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为，若第n次亮起的是红灯，则第n＋1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．
（1）若输入，该玩具启动后，记前3次亮灯中亮绿灯的次数为X，求X的分布列与期望；
（2）在玩具启动后，若某次亮灯为绿灯，且亮绿灯的概率在区间内，则玩具会自动播放歌曲，否则不播放，现输入，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？
【答案】（1）分布列见解析，期望为
（2）5次
【解析】
【分析】（1）根据题意直接列出随机变量X的分布列，进而求出期望；
（2）设第n次亮灯时，亮绿灯的概率为，则，然后根据数列知识构造等比数列求出，然后利用列出不等式并解出不等式，从而得解.
【小问1详解】
由题意知X的可能取值为0，1，2，3，
；
；
；
；
所以X的分布列为：
所以，.
【小问2详解】
设第n次亮灯时，亮绿灯的概率为，则，
所以，
所以是公比为，首项为的等比数列，
所以，即，
由得n为奇数且n＞9，
又因为n≤20，所以n＝11，13，15，17，19，
所以在前20次亮灯中，最多唱5次歌.
22. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，证明：当时，．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先对函数求导，然后分，，和四种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；
（2）要证，只需证，而，所以换元后构造函数，然后利用导数求其最大值小于等于即可.
【小问1详解】
由，得
①时，，当，当，
所以增区间为，减区间为，
②时，得，
若，即时，恒成立，所以为R上的增函数
若，即时，由，得或，由，得，
所以增区间为，，减区间为
若，即时，由得或，由得，
所以增区间为，，减区间为
综上得：时，增区间为，减区间为；
时，增区间为；
时，增区间为，，减区间为；
时，增区间为，，减区间为.
【小问2详解】
时，要证，
即证，即证
因为
令，（），
由，得，由，得，
所以在递增，递减，
所以最大值为，
所以，得证
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是将问题转化成证，令，只要证，再构造函数，利用导数求其最大值小于等于即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
0
1
＋
0
－
0
＋
递增
极大值
递减
极小值
递增
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
48
60
乙
18
合计
100
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
48
12
60
乙
22
18
40
合计
70
30
100
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
高二数学试题
2023.07
本试卷共6页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，请将答题卡上交.
一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数定义域求法可求得集合；根据指数函数值域求法可求得集合；根据交集定义可得结果.
【详解】由得，则；
当时，，所以；所以.
故选：.
2. 已知a，b为实数，则“”是“”的（ ）
A. 既不充分也不必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 充要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分别验证必要性与充分性即可得到结果.
【详解】若，则，可得，反之，若，则可能为负数，推不出，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：C
3. 将五本不同的书全部分给甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，则不同的分法有（ ）
A. 90种B. 150种C. 180种D. 250种
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知将书可以分成1，2，2和1，1，3两种，然后分配给3人，再利用分类加法原理可求得结果.
【详解】由题意可知将5本书可以分成1，2，2和1，1，3两种，
①若将书分成1，2，2三组，再分配给3人，则有种分法，
②若将书分成1，1，3三组，再分配给3人，则有种分法，
所以由分类加法原理可知共有种分法，
故选：B
4. 已知函数，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，再求的值即可.
【详解】因为，所以，
所以，
故选：D
5. 若的展开式中常数项是10，则m＝（ ）
A. －2B. －1C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由，利用的展开式的通项公式，分别求得和的常数项求解.
【详解】解：，
的展开式的通项公式为，
令，解得，则的展开式的常数项为；
令，解得，则的展开式的常数项为，
因为的展开式中常数项是10，
所以，解得，
故选：D
6. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数，且在是增函数B. 是偶函数，且在是增函数
C. 是奇函数，且在是减函数D. 是偶函数，且在是减函数
【答案】A
【解析】
【分析】由奇偶性定义可知为奇函数；利用复合函数单调性的判断方法可确定在是增函数.
【详解】由得：或，的定义域为；
，是奇函数；
，
在上单调递增，在上单调递增，
由复合函数单调性可知：在上是增函数.
故选：A.
7. 已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A. B. 16C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】正实数满足，
可得，当且仅当时，等号成立，
即，解得，
所以的最小值为.
故选：B.
8. 定义在R上的函数满足，且时，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，构造函数，利用其单调性求解.
【详解】因为，
令，则，
所以在上递增，
所以，所以，
所以，故C错误；
，
因为定义在R上的函数满足，
所以函数是奇函数，所以，即，故A正确；
，即，B错误；
，，D错误，
故选：A
二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9. 已知实数，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，由指数函数的单调性即可判断A，令即可判断B，由不等式的性质即可判断CD.
【详解】对于A，因为，由函数在上单调递减可知，，故正确；
对于B，令，满足，则，所以不成立，故错误；
对于C，因为，则，所以，故正确；
对于D，因为，所以，即，
所以，故错误；
故选：AC
10. 已知函数，则（ ）
A. 的单调递增区间是
B. 在处取得极大值
C. 在点处的切线方程为
D. 若，则函数有两个零点
【答案】BC
【解析】
【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，可判断选项A、B的正误；
由导数的几何意义可求在点处的切线方程，可判断选项C;
由方程的交点，可判断选项D的正误.
【详解】由题意，，
令，得，
当时，，单调递增；
当时，，取得极大值；
当时，，单调递减；故选项A错误，选项B正确；
在点处的切线斜率，
所以切线方程为：，即，故选项C正确；
当时，,
当时，取得最大值；
当时，,
所以当，方程有两个交点，则函数有两个零点，
故选项D错误.
故选：BC
11. 已知连续函数的定义域为R，且满足为奇函数，为偶函数，，当时，，则（ ）
A. 为偶函数B.
C. 为极大值点D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意得到函数是以项为周期的周期函数，且关于中心对称和对称，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】由为奇函数，可得函数关于中心对称，即，
又由为偶函数，可得关于对称，即，所以A不正确；
因为且，令，可得，所以B正确；
由时，，可得函数单调递增，
因为关于对称，可得函数在单调递减，所以为的极大值点，所以C正确；
由函数关于中心对称，可得，所以，
因为且，可得，
所以，所以函数是以项为周期的周期函数，
可得，所以，
所以，所以D正确.
故选：BCD.
12. 设A，B为同一随机试验的两个随机事件，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据条件概率和全概率公式求解.
【详解】对A，,A正确；
对B，根据全概率公式可得，,B错误；
对C，,C正确；
对D，,
,D正确；
故选:ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知随机变量X服从正态分布，且，则______．
【答案】0.68
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性即可.
【详解】随机变量X服从正态分布，
，
.
故答案为：0.68
14. 有3台机床加工统一型号的零件，加工的次品率分别为0.1，0.2，0.15，加工出来的零件混放在一起，3台机床加工的零件分别占总数的45%，25%，30%，则任取一个零件为次品的概率为______.
【答案】0.14
【解析】
【分析】利用全概率公式求解即可.
【详解】记零件为三个机床加工的事件分别为，零件为次品的事件为，
则，，
所以
故答案为：0.14.
15. 已知集合，，若，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】因式分解求二次不等式可得，再根据二次函数的值域可得，进而根据求解即可.
【详解】，，又，则，即.
故答案为：
16. 过点可以作函数两条互相垂直的切线，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先把函数转化为分段函数，由切线相互垂直转化为斜率之积为，得到两切点的范围，，且，根据在两切线上可用表示出，结合的范围可求的取值范围.
【详解】当时，
，，
当时，
，，且，
设两切点横坐标分别为，，且，
因切线相互垂直，故，故，
故两切点分别为，，
切线方程分别为：，，
即，，
由题意为两切线的交点，
故，，
所以，
得
由得，即，
故
因，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是设出切点横坐标为，再写出切线方程，再解出切线方程的交点横坐标，根据切线斜率乘积为得，化简得，再利用基本不等式即可得到的范围.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 近年来，各种类型的网约车服务在我国各城市迅速发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在某地的发展情况，某调查机构从该地抽取了6个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数x，y，经过统计分析，它们满足最小二乘法，且y关于x的经验回归方程为．
（1）预测当A指标数为52时，B指标数估计值．
（2）试求y与x之间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系（若，则线性相关程度较强）．
附：参考数据：．
相关系数．
【答案】（1）B指标数的估计值为103
（2）0.88，y与x具有较强的线性相关关系
【解析】
【分析】（1）把代入求解即可；
（2）由求得，再根据相关系数公式即可求解，从而可以判断y与x具有较强的线性相关关系.
【小问1详解】
当时，，
当A指标数为52时，B指标数的估计值为103.
【小问2详解】
因为，所以，
所以相关系数，
因为r＞0.75，所以y与x具有较强的线性相关关系.
18. 已知函数在处有极值．
（1）求的极值；
（2）若在区间上有三个零点，求实数b的取值范围．
【答案】（1）极大值为，极小值为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导函数讨论单调性和极值；
（2）利用函数的极值和函数的图象性质求解.
【小问1详解】
由条件知，得
所以随x变化情况如下表：
所以函数的极大值为，极小值为.
【小问2详解】
因为，
所以函数在区间上有三个零点，只需,
所以.
19. 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良，为了检验甲、乙两种疗法的效果差异，采用有放回简单随机抽样的方法抽取了100名患者，部分统计数据如下表：
（1）请将上表补充完整，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析疗法与疗效是否有关联？
附：，其中n＝a＋b＋c＋d.
临界值表：
（2）从100名患者中按照治愈、未治愈分层抽样的方法随机抽取10名，从这10人中选取3人参加免费体检，设免费体检者中治愈的人数为X，求X的分布列与数学期望.
【答案】（1）表格见解析，疗法与疗效有关联
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题干数据完善列联表，计算与临界值比较得出结论；
（2）分层抽样可知治愈的人数为，未治愈的人数为，确定随机变量的X的所以取值，再求出对应的概率，即可写出分布列，代入数学期望公式求解即可.
【小问1详解】
列联表补充完整如下：
零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法没有差异；
根据列联表中数据，经计算得到：
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为疗法与疗效有关联，
此推断犯错误的概率不大于0.01；
【小问2详解】
按照治愈、未治愈分层抽样的方法随机抽取10名，
其中治愈的人数为，未治愈的人数为，
X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列为：
.
20. 已知函数．
（1）若在上单调递增，求a的取值范围；
（2）若函数在上存在零点，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求导列出不等式，即可得到结果；
（2）根据题意，分,,与讨论，即可得到结果.
【小问1详解】
由题得，因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，因为，所以.
【小问2详解】
因，则，注意到：，，
若，则，所以在上单调递增，
所以，在上不存在零点，
若，则，所以在上单调递减，
所以，在上不存在零点，
若，显然，在上不存在零点，
若，显然存在，使得，且在上单调递增，
注意到：，，
所以在上小于零，在上大于零，
所以在上单调递减，在上单调递增，
注意到：，，且，所以存在唯一使得，
综上，所以.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数零点问题，难度较难，解答本题的关键在于，，然后分的范围进行讨论，即可得到结果.
21. 某种电子玩具启动后，屏幕上的显示屏会随机亮起红灯或绿灯，在玩具启动前，用户可对P（0＜P＜1）赋值，且在第一次亮灯时，亮起绿灯的概率为P，亮起红灯的概率为1－P，随后若第n次亮起的是绿灯，则第n＋1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为，若第n次亮起的是红灯，则第n＋1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．
（1）若输入，该玩具启动后，记前3次亮灯中亮绿灯的次数为X，求X的分布列与期望；
（2）在玩具启动后，若某次亮灯为绿灯，且亮绿灯的概率在区间内，则玩具会自动播放歌曲，否则不播放，现输入，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？
【答案】（1）分布列见解析，期望为
（2）5次
【解析】
【分析】（1）根据题意直接列出随机变量X的分布列，进而求出期望；
（2）设第n次亮灯时，亮绿灯的概率为，则，然后根据数列知识构造等比数列求出，然后利用列出不等式并解出不等式，从而得解.
【小问1详解】
由题意知X的可能取值为0，1，2，3，
；
；
；
；
所以X的分布列为：
所以，.
【小问2详解】
设第n次亮灯时，亮绿灯的概率为，则，
所以，
所以是公比为，首项为的等比数列，
所以，即，
由得n为奇数且n＞9，
又因为n≤20，所以n＝11，13，15，17，19，
所以在前20次亮灯中，最多唱5次歌.
22. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，证明：当时，．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先对函数求导，然后分，，和四种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；
（2）要证，只需证，而，所以换元后构造函数，然后利用导数求其最大值小于等于即可.
【小问1详解】
由，得
①时，，当，当，
所以增区间为，减区间为，
②时，得，
若，即时，恒成立，所以为R上的增函数
若，即时，由，得或，由，得，
所以增区间为，，减区间为
若，即时，由得或，由得，
所以增区间为，，减区间为
综上得：时，增区间为，减区间为；
时，增区间为；
时，增区间为，，减区间为；
时，增区间为，，减区间为.
【小问2详解】
时，要证，
即证，即证
因为
令，（），
由，得，由，得，
所以在递增，递减，
所以最大值为，
所以，得证
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是将问题转化成证，令，只要证，再构造函数，利用导数求其最大值小于等于即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
0
1
＋
0
－
0
＋
递增
极大值
递减
极小值
递增
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
48
60
乙
18
合计
100
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
48
12
60
乙
22
18
40
合计
70
30
100
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
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