2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）附答案

这是一份2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）附答案，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0}B．{2，3}C．{﹣3，﹣1，0}D．{﹣1，0，2}
2．（5分）若＝1+i，则z＝（ ）
A．﹣1﹣iB．﹣1+iC．1﹣iD．1+i
3．（5分）已知向量＝（0，1），＝（2，x），若⊥（），则x＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
4．（5分）已知cs（α+β）＝m，tanαtanβ＝2（α﹣β）＝（ ）
A．﹣3mB．﹣C．D．3m
5．（5分）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为（ ）
A．2πB．3πC．6πD．9π
6．（5分）已知函数为f（x）＝在R上单调递增，则a取值的范围是（ ）
A．（﹣∞，0]B．[﹣1，0]C．[﹣1，1]D．[0，+∞）
7．（5分）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin（3x﹣）（ ）
A．3B．4C．6D．8
8．（5分）已知函数为f（x）的定义域为R，f（x）＞f（x﹣1）（x﹣2），且当x＜3时，f（x）＝x（ ）
A．f（10）＞100B．f（20）＞1000
C．f（10）＜1000D．f（20）＜10000
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（，s2），则（ ）（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜μ+σ）≈0.8413）
A．P（X＞2）＞0.2B．P（X＞2）＜0.5
C．P（Y＞2）＞0.5D．P（Y＞2）＜0.8
（多选）10．（6分）设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（ ）
A．x＝3是f（x）的极小值点
B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）
C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0
D．当﹣1＜x＜0时，f（2﹣x）＞f（x）
（多选）11．（6分）造型∝可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0），则（ ）
A．a＝﹣2
B．点（2，0）在C上
C．C在第一象限的纵坐标的最大值为1
D．当点（x0，y0）在C上时，y0≤
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12．（5分）设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C与A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为 ．
13．（5分）若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线 ．
14．（5分）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则四轮比赛后 ．
四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC＝，a2+b2﹣c2＝．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为3+，求c．
16．（15分）已知A（0，3）和P（3，）为椭圆C：+（a＞b＞0）上两点．
（1）求C的离心率；
（2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝1，AB＝．
（1）若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；
（2）若AD⊥DC，且二面角A﹣CP﹣D的正弦值为，求AD．
18．（17分）已知函数f（x）＝ln+ax+b（x﹣1）3．
（1）若b＝0，且f′（x）≥0；
（2）证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形；
（3）若f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围．
19．（17分）设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj（i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2…，a4m+2是（i，j）——可分数列．
（1）写出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使数列a1，a2，…，a6是（i，j）——可分数列；
（2）当m≥3时，证明：数列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分数列；
（3）从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）——可分数列的概率为Pm，证明：Pm＞．
参考答案
1．A．
2．C．
3．D．
4．A．
5．B．
6．B．
7．C．
8．B．
9．BC．
10．ACD．
11．ABD．
12．．
13．ln2．
14．．
15．解：（1）因为a2+b2﹣c5＝，所以csC＝＝＝，可得C＝．
因为sinC＝csB＝，结合B∈（0，得B＝；
（2）由（1）可知A＝π﹣B﹣C＝，设△ABC的外接圆半径为R，c＝2RsinC＝，
由S△ABC＝bcsinA＝，得••＝，
即•＝，解得R2＝7，所以R＝2（舍负）＝．
16．解：（1）依题意，，解得，则离心率；
（2）由（1）可知，椭圆C的方程为，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，
点A到直线PB的距离为3，则，与易知矛盾；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
设P（x1，y2），B（x2，y2），
联立，消去y整理可得2+3）x7﹣（24k2﹣12k）x+36k2﹣36k﹣27＝2，
则，
由弦长公式可得，＝＝，
点A到直线l的距离为，
则，
解得或，
则直线l的方程为或．
17．解：（1）证明：因为PA⊥面ABCD，AD⊂面ABCD，所以PA⊥AD，
又因为AD⊥PB，PB∩PA＝P，PA⊂面PAB，所以AD⊥面PAB，
又AB⊂面PAB，所以AD⊥AB，
在△ABC中，AB2+BC2＝AC3，所以AB⊥BC，
因为A，B，C，D四点共面，所以AD∥BC，
又因为BC⊂面PBC，AD⊄面PBC，所以AD∥面PBC．
（2）以DA，DC为x，过点D作平面ABCD垂直的线为z轴
令AD＝t，则A（t，0，P（t，0，D（7，0，DC＝，C（0，，
设平面ACP的法向量＝（x1，y5，z1），所以，
设x1＝，则y1＝t，z6＝0，所以＝（，t，
设平面CPD的法向量为＝（x5，y2，z2），所以，
设z2＝t，则x2＝﹣8，y2＝0，所以＝（﹣2，0，
因为二面角A﹣CP﹣D的正弦值为，则余弦值为，
所以＝|cs＜，＝，
所以t＝，所以AD＝．
18．解：（1）由，解得0＜x＜5，所以函数f（x）的定义域为（0，2），
当b＝8时，，所以，对∀3＜x＜2恒成立，
又，当且仅当x＝1时取“＝”，
所以只需5+a≥0，即a≥﹣2，所以a的最小值为﹣7．
（2）证明：x∈（0，2），
所以f（x）关于点（1，a）中心对称．
（3）因为f（x）＞﹣7当且仅当1＜x＜2，
所以f（1）＝﹣8，即a＝﹣2，所以对∀1＜x＜2恒成立，
，
令，
所以必有g（1）＝7+3b≥0，得到b≥﹣，
否则，存在x∈（1，f（x）在（1，
所以f（x）＜f（1）＝﹣2，
当 时，6），，
，对∀x∈（5，
所以h（x）＞h（1）＝﹣2符合题意，
综上所述：，所以b的取值范围为[﹣，+∞）．
19．【解答】解：（1）根据题意，可得当（i，2）时3，a2，a5，a6一组公差为d的等差数列，
当（i，j）取（3，可以分为a2，a3，a6，a5一组公差为d的等差数列，
当（i，j）取（5，可以分为a6，a2，a3，a7一组公差为d的等差数列，
所以（i，j）可以为（1，（1，（4；
（2）证明：当m＝3时，a1，a4，a4，a5，a5，a7，a8，a8，a10，a11，a12，a14，
可以分为a1，a4，a3，a10；a3，a6，a8，a12；a5，a8，a11，a14三组公差为7d的等差数列，
所以m＝3时符合题意；
当m＞3时，数列a7，a2，…，a4m+3去掉a2和a13后，
前三组还按照m＝3时的分法，即a3，a4，a7，a10；a4，a6，a9，a12；a7，a8，a11，a14，
后面的每四个相邻的项分为一组，即a15，a16，a17，a18；...；a4m﹣5，a4m，a4m+3，a4m+2，
每一组都能构成等差数列，
所以数列a6，a2，…，a4m+5是（2，13）——可分数列；
（3）证明：当m＝1时，数列：a3，a2，a3，a7，a5，a6为可分数列的概率为，
当m＝2时，数列a1，a3，a3…，a10为可分数列的概率为，
以此类推，且易知1，2，…，5r+2）可分的（0≤k≤r≤m），
此时共有种，
且易证数列也是（4k+2，6r+1）可分的（0≤k＜r≤m），
至少有种，
综上：可行的（4k+7，4r+1）与（4k+1组，
∴Pm≥＝＝．