2025高考数学一轮考点突破训练第三章一元函数的导数及其应用专题突破5三次函数的图象与性质

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第三章一元函数的导数及其应用专题突破5三次函数的图象与性质，共7页。试卷主要包含了三次函数的图象问题，三次函数的对称性问题，三次函数的零点问题，三次函数图象的切线问题等内容，欢迎下载使用。

（1）.
（2）.
核心考点 精准突破
考点一 三次函数的图象问题
例1 已知函数，则函数的图象可能是（ B ）
A. B. C. D.
解：由选项，知当 时，的图象是“字形”曲线.观察，，由于此时，故 不符合.
当 时，的图象是“反 字形”曲线.观察，，由于此时，故 不符合.
设，则 是奇函数，其图象关于原点对称.
因为，所以 的图象是 的图象向上或向下平移得到的，故 不符合.故选.
【点拨】当三次函数有两个极值点时，若，则三次函数的图象形状为“字形”；若，则三次函数的图象形状为“反字形”.
变式1 [2021年全国乙卷]设，若为函数的极大值点，则（ D ）
A. B. C. D.
解：若，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
所以 有 和 两个不同零点，且在 附近是不变号的，在 附近是变号的.依题意，为函数 的极大值点，所以在 左右附近都是小于零的.
当 时，由 时，，画出 的图象如图1所示,由图可知，，故;
图1
当 时，由 时，，画出 的图象如图2所示,由图可知，，故.
图2
综上所述，成立.故选.
考点二 三次函数的对称性问题
例2 对于三次函数．
定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.
已知，请回答下列问题：
（1） 求函数的“拐点”的坐标.
解：依题意，得，．
令，即，解得.
又，所以 的“拐点”为.
（2） 检验函数的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）.
[答案]
由（1），知“拐点”.
而，
则 的图象关于“拐点”对称．
一般地，三次函数 的“拐点”是,，它就是 图象的对称中心（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数的图象都有对称中心）.
【点拨】三次函数的图象一定是中心对称图形，对称中心的横坐标即其导函数的极值点，同时也是的零点.
变式2 已知函数的图象上存在一定点满足：若过点的直线与曲线交于不同于的两点,，则等于定值.该定值为2.
解：当点 是图象 的对称中心时，为定值.
.
设，则.
令，解得.
当 时，.所以图象 的对称中心是，所以.故填2.
考点三 三次函数的零点问题
例3 已知函数，若函数在上有3个零点，则的取值范围为 （ D ）
A. B. C. D.
解：，令，解得 或.
当 变化时，与 的变化情况如表所示.
故当时，函数取得极小值，为.
又，所以的最小值为，即.
当时，函数取得极大值，为.
又，所以函数的最大值为.
作函数在上的大致图象如图所示.
由图象，可知当时，函数的图象与直线有三个交点.
因此当时，函数在上有3个零点.
故的取值范围为.故选.
【点拨】三次函数零点问题同样需要先借助导数画出大致图象再判断，通常可以转化为一元二次方程根的分布问题，再借助二次函数或韦达定理来解决.
变式3 已知函数恰有两个零点，则（ A ）
A. B. C. D.
解：.
当 或 时，；当 时，.则 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
当 时，取得极大值；当 时，取得极小值.
因为 恰有两个零点，所以.解得.
故选.
考点四 三次函数图象的切线问题
例4 已知函数．
（1） 求曲线在点处的切线方程；
解：．
切线方程为，即．
（2） 设常数，如果过点可作曲线的三条切线，求的取值范围．
[答案]
由题意，知关于 的方程，即 有三个不等实根．
令，则．
易知 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
则 的极小值为，极大值为．所以.
即 的取值范围是.
【点拨】利用导数的几何意义列出切线方程.三次函数切线条数问题本质上是零点个数判断问题.
变式4 已知函数.
（1） 求曲线在点处的切线方程.
解：，则曲线 在点 处的切线方程为,
整理得.
（2） 设，若过点可作曲线的三条切线，证明:.
证明：构造函数.过点 可作曲线 的三条切线等价于函数 有三个不同的零点.
，易得函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减.所以 的极小值为，极大值为.
所以 即 解得.性质


图象
单调性
在，上单调递增；
在上单调递减
在上单调递增
极值点个数
2
0
对称中心
,（即拐点，其横坐标为二阶导函数零点）
性质


图象
单调性
在上单调递增；在，上单调递减
在上单调递减
极值点个数
2
0
对称中心
,（即拐点，其横坐标为二阶导函数零点）




3



0
-
0



极大值

极小值