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2025届高三数学一轮复习课件3.4导数的综合应用（人教版新高考新教材）
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这是一份2025届高三数学一轮复习课件3.4导数的综合应用（人教版新高考新教材），共35页。PPT课件主要包含了内容索引，用放缩法证明不等式等内容，欢迎下载使用。
第一环节 关键能力形成
第二环节 学科素养提升
解题心得利用导数证明不等式时,可移项使不等式一边化为0的形式,再构造函数,将问题转化为函数的单调性、极值或最值问题,即利用求导方法求单调区间,比较函数值与0的关系.如证明不等式f(x)
所以函数f(x)的单调递增区间是(-ln a,+∞),单调递减区间是(-∞,-ln a).综上,当a≤0时,f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递减;当a>0时,f(x)在区间(-ln a,+∞)内单调递增,在区间(-∞,-ln a)内单调递减.
解题心得利用导数解决不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,然后求出最值,进而得出相应的含参数不等式,最后求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
例3 已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
解 (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2ae2x+(a-2)·ex-1=(aex-1)(2ex+1).①若a≤0,则f'(x)<0,所以f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递减.②若a>0,则由f'(x)=0,得x=-ln a.当x∈(-∞,-ln a)时,f'(x)<0;当x∈(-ln a,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,-ln a)内单调递减,在区间(-ln a,+∞)内单调递增.
解题心得解决与函数零点有关的参数的取值范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的位置关系,或者转化为两个熟悉函数的图象的交点问题,进而确定参数的取值范围.
对点训练3(2021浙江,22)设a,b为实数,且a>1,函数f(x)=ax-bx+e2(x∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若对任意b>2e2,函数f(x)有两个不同的零点,求a的取值范围;(3)当a=e时,证明:对任意b>e4,函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,满足 .(注:e=2.718 28…是自然对数的底数)
解题心得导数的综合应用题中,最常见的就是ex和ln x与其他代数式结合的难题,对于这类问题,可以先对ex和ln x进行放缩,使问题简化,便于化简或判断导数的正负.常见的放缩公式如下:(1)ex≥1+x,当且仅当x=0时,取等号;(2)ex≥ex,当且仅当x=1时,取等号;
(1)解 因为f(x)=ex-x2,所以f'(x)=ex-2x,所以f'(1)=e-2,f(1)=e-1,所以函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=(e-2)(x-1)+e-1,即y=(e-2)x+1.
(2)证明 令g(x)=f'(x),则g'(x)=ex-2.当xln 2时,g'(x)>0,所以函数g(x)在区间(-∞,ln 2)内单调递减,在区间(ln 2,+∞)内单调递增,所以g(x)min=g(ln 2)=f'(ln 2)=2-2ln 2>0,所以函数f(x)=ex-x2在R上单调递增,亦即在区间(0,+∞)内单调递增.由函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=(e-2)x+1,f(1)=e-1,可猜测当x>0时,f(x)≥(e-2)x+1.设h(x)=f(x)-(e-2)x-1(x>0),则h'(x)=ex-2x-e+2,令m(x)=h'(x),则m'(x)=ex-2.当0ln 2时,m'(x)>0,所以m(x)=h'(x)在区间(0,ln 2)内单调递减,在区间(ln 2,+∞)内单调递增.
第一环节 关键能力形成
第二环节 学科素养提升
解题心得利用导数证明不等式时,可移项使不等式一边化为0的形式,再构造函数,将问题转化为函数的单调性、极值或最值问题,即利用求导方法求单调区间,比较函数值与0的关系.如证明不等式f(x)
所以函数f(x)的单调递增区间是(-ln a,+∞),单调递减区间是(-∞,-ln a).综上,当a≤0时,f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递减;当a>0时,f(x)在区间(-ln a,+∞)内单调递增,在区间(-∞,-ln a)内单调递减.
解题心得利用导数解决不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,然后求出最值,进而得出相应的含参数不等式,最后求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
例3 已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
解 (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2ae2x+(a-2)·ex-1=(aex-1)(2ex+1).①若a≤0,则f'(x)<0,所以f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递减.②若a>0,则由f'(x)=0,得x=-ln a.当x∈(-∞,-ln a)时,f'(x)<0;当x∈(-ln a,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,-ln a)内单调递减,在区间(-ln a,+∞)内单调递增.
解题心得解决与函数零点有关的参数的取值范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的位置关系,或者转化为两个熟悉函数的图象的交点问题,进而确定参数的取值范围.
对点训练3(2021浙江,22)设a,b为实数,且a>1,函数f(x)=ax-bx+e2(x∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若对任意b>2e2,函数f(x)有两个不同的零点,求a的取值范围;(3)当a=e时,证明:对任意b>e4,函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,满足 .(注:e=2.718 28…是自然对数的底数)
解题心得导数的综合应用题中,最常见的就是ex和ln x与其他代数式结合的难题,对于这类问题,可以先对ex和ln x进行放缩,使问题简化,便于化简或判断导数的正负.常见的放缩公式如下:(1)ex≥1+x,当且仅当x=0时,取等号;(2)ex≥ex,当且仅当x=1时,取等号;
(1)解 因为f(x)=ex-x2,所以f'(x)=ex-2x,所以f'(1)=e-2,f(1)=e-1,所以函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=(e-2)(x-1)+e-1,即y=(e-2)x+1.
(2)证明 令g(x)=f'(x),则g'(x)=ex-2.当x
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