高考数学考点全复习讲义1.3等式性质与不等式性质（含答案）

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1.回顾等式的性质.
2.理解不等式的概念，掌握不等式的性质.
3.会比较两个数（式）的大小.
基础知识
1.比较实数的大小
（1）文字叙述：如果a－b是正数，那么a b；如果a－b等于0，那么a b；如果a－b是负数，那么a b.反过来也成立；
（2）符号表示：a－b＞0⇔a b；a－b＝0⇔a b；a－b＜0⇔a b.
2.等式的基本性质
（1）对称性：如果a＝b，那么b＝a；
（2）传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
（3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
（4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
（5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.
3.不等式的基本性质
（1）对称性：a＞b⇔b＜a；
（2）传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
（3）可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c b＋d；
（4）可乘性：a＞b，c＞0⇒ac bc；a＞b，c＜0⇒ac bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
（5）可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，n≥2）；
（6）可开方性：a＞b＞0⇒na＞ nb（n∈N，n≥2）.
课前自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）a＝b⇔ac＝bc.（ ）
（2）若ab＞1，则a＞b.（ ）
（3）若a＞b，则ac2＞bc2.（ ）
（4）两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种.（ ）
2.(多选)下面结论不正确的有( ).
A.若ba>1,则b>a
B.若a>b,则a2>b2
C.若a>b,cb-d
D.若a>b,c>d,则ac>bd
3.设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A.1a＜1b B.ac＞bc
C.a2＞b2 D.a＋c＞b＋c
4.比较两数的大小：7＋10 3＋14.
5.已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a－b的取值范围为 .
常用结论
1.倒数性质：（1）a＞b，ab＞0⇒1a＜1b；（2）a＜0＜b⇒1a＜1b；（3）a＞b＞0，d＞c＞0⇒ac＞bd.
2.分数性质：若a＞b＞0，m＞0，则（1）真分数性质：ba＜b＋ma＋m；ba＞b－ma－m（b－m＞0）；（2）假分数性质：ab＞a＋mb＋m；ab＜a－mb－m（b－m＞0）.
结论运用
（多选）下列命题中正确的是（ ）
A.若a＜b，则ac2＜bc2B.若b＞a＞0，则a+2b+2＞ab
C.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－dD.若ab＜0，a＞b，则1a＞1b
聚焦考点 课堂演练
考点1 比较两个数（式）的大小
【典例1】 （1）已知0＜a＜1b，且M＝11+a＋11+b，N＝a1+a＋b1+b，则M，N的大小关系是（ ）
A.M＞N B.M＝N
C.M＜N D.不能确定
（2）若a＝ln22，b＝ln33，则a b（填“＞”或“＜”）.
方法技巧
比较大小的常用方法
（1）作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
（2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
跟踪训练
若a＜0，b＜0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为（ ）
A.p≥q B.p≤q
C.p＞q D.p＜q
考点2 不等式的基本性质
【典例2】 （多选）若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论正确的是（ ）
A.ad＞bcB.ad＋bc＜0
C.a－c＞b－dD.a（d－c）＞b（d－c）
方法技巧
利用不等式的性质判断不等式的方法
（1）直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；
（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.
跟踪训练
（多选）已知a，b∈R，则下列选项中能使1a＜1b成立的是（ ）
A.b＞a＞0 B.a＞b＞0
C.b＜0＜a D.b＜a＜0
考点3 不等式性质的应用
【典例3】 （必修第一册第43页5题改编）已知2＜a＜3，－1＜b＜5，则a＋2b的取值范围是 ，ab的取值范围是 .
变式
若本例条件变为1＜a＋b＜3，0＜a－b＜2，则a＋2b的取值范围是 .
方法技巧
利用不等式性质可以求某些代数式的范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的范围.解决的途径是先确立所求范围的整体与已知范围的整体的数量关系，最后通过“一次性”不等关系运算求解.
跟踪训练
已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则ca的取值范围是 .