四川省2023-2024学年度高一（下）期末考试预测（一）试题数学

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1．设，则（ ）
A．B．C．D．0
2．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，表示两条不同的直线，表示平面，则（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
4．已知单位向量与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
5．庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知分别是三个内角的对边，下列关于的形状判断一定正确的为（ ）
A．，则为直角三角形 B．，则为等腰三角形
C．，则为直角三角形 D．，则为等腰三角形
7．如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，则下列命题中不正确的是（ ）
A．存在点，使得平面 B．对于任意点，四边形均为平行四边形
C．四边形的面积随点位置的变化而变化 D．三棱锥的体积随点位置的变化而变化
8．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一补四脚帐篷的示意图，其中曲线和均是以为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知两组数据，第一组：：第二组，则下列说法正确的是（ ）
A．两组数据的平均数相同B．两组数据的中位数相同
C．两组数据的极差相同D．两组数据的方差相同
10．如图，该多面体的表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，该多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上．若，则（ ）
A．B．该多面体外接球的表面积为
C．直线MG与直线PQ的夹角为D．二面角的余弦值为
11．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为的中点，则（ ）
A．直线平面 B．在三棱柱中，点的曲率为
C．在四面体中，点的曲率小于 D．二面角的大小为
三、填空题
12．已知向量满足，，则 .
13．已知三棱锥，为中点，，，且，，，，则三棱锥外接球的表面积为 ，过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的最小值为 .
14．在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则平面截该正方体所得截面面积为 ；平面与底面ABCD所成锐二面角的余弦值为 ．
四、解答题
15．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，的外接圆半径为.
(1)求的面积；
(2)求边上的高.
16．在等腰梯形中，CD的中点为O，以O为坐标原点，DC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知．
(1)求；
(2)若点F在线段CD上，，求．
17．①；②；③向量与平行，在这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.
已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值.
18．如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的中点， ．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．在中，角A，，对应的边分别为，，，．
(1)求角A；
(2)法国著名数学家奥古斯丁路易斯柯西（AugustinLuisCauchy，1789年－1857年）在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．
①柯西不等式的二维形式是对于任意的，，，，有．请证明上述不等式，并写出等号取到的条件；
②请用柯西不等式的二维形式求的最大值，并写出等号取到的条件；
③在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，当且仅当时等号成立．求的最小值．