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2024年湖北省武汉市华中科大附中高考数学模拟试卷-普通用卷
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这是一份2024年湖北省武汉市华中科大附中高考数学模拟试卷-普通用卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.5(1+i3)(2+i)(2−i)=( )
A. −1B. 1C. 1−iD. 1+i
2.设全集U=R，集合A={x|1A. (0,3)B. (0,3]C. (0,2]D. (1,2]
3.设平面向量a，b均为单位向量，则“|a−2b|=|2a+b|”是“a⊥b”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知正项数列{an}满足an+12=anan+2,a9=a8+2a7，若存在m，n∈N*，使得9m+1n=2，则am⋅ana12的最小值为( )
A. 32B. 64C. 128D. 256
5.(1−2xy)(x+y)6的展开式中x4y2的系数为( )
A. 55B. −70C. 65D. −25
6.函数f(x)=cs(x−π2)ln(ex+e−x)的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(2,4)，动点M，N为C上的两点，且直线AM与AN的斜率之和为0，直线l的斜率为−1，且过C的焦点F，l把△AMN分成面积相等的两部分，则直线MN的方程为( )
A. x+y−6=0B. x−y+6=0
C. x−y+4 2−6=0D. x+y+4 2−6=0
8.已知a>0，且a≠1，函数f(x)=3a−x,x>2|ax−a|,x≤2，若关于x的方程f(x)=1有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )
A. (0,1)B. (1,1+ 52)C. (1,1+ 52]D. (1, 5]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量(单位：本)的数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.
下列推断正确的是( )
A. 这200名学生阅读量的平均数大于25本
B. 这200名学生阅读量的中位数一定在区间[20,30)内
C. 这200名学生中的初中生阅读量的75%分位数可能在区间[20,30)内
D. 这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数一定在区间[20,30)内
10.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)是圆O：x2+y2=1上两点，则下列结论正确的是( )
A. 若点O到直线AB的距离为，则|AB|= 3
B. 若△AOB的面积为 34，则∠AOB=
C. 若x1x2+y1y2=，则点O到直线AB的距离为 32
D. |x1+y1−1|的最大值为 2+1，最小值为 2−1
11.某区四所高中各自组建了排球队(分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”)进行单循环比赛(即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛)，最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为13，则在比赛结束时( )
A. 甲队积分为9分的概率为127
B. 四支球队的积分总和可能为15分
C. 甲队胜3场且乙队胜1场的概率为2243
D. 甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为8243
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的部分图像如图所示，f(x)在区间(π,4π3)内单调递减，则ω的最大值为______.
13.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为3π2，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙.若S甲S乙=2，则V甲V乙=__________.
14.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=3，BC=6，AB=AC=3 2，P为线段A1B1上的一点，且二面角A−BC−P的正切值为3，则三棱锥A−A1C1P的外接球的体积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知锐角△ABC，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2acsC=b−a.
(1)证明：C=2A；
(2)若CD为∠ACB的角平分线，交AB于D点，且CD= 3,S△ACD= 2.求a的值.
16.(本小题15分)
如图，已知四棱锥P−ABCE中，AB=1，BC=2，BE=2 2，PA⊥平面ABCE，平面PAB⊥平面PBC
(1)证明：AB⊥BC；
(2)若PA=2 2，且AC=AE，G为△PCE的重心.求直线CG与平面PBC所成角的正弦值.
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=eax−1x+lnx，a∈R.
(1)当a=1时，求函数f(x)−x的最小值；
(2)若函数f(x)x的最小值为a，求a的最大值.
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2，且点A(2,1)在C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若点M.N在双曲线C上，且AM⊥AN，直线MN不与y轴平行，证明：直线MN的斜率k为定值.
19.(本小题17分)
数列{an}，{bn}满足：{bn}是等比数列，b1=2，a2=5，且a1b1+a2b2+…+anbn=2(an−3)bn+8(n∈N*).
(1)求an，bn；
(2)求集合A={x|(x−ai)(x−bi)=0,i≤2n,i∈N*}中所有元素的和；
(3)对数列{cn}，若存在互不相等的正整数k，…，kj(j≥2)，使得ck1+ck2+…+ckj也是数列{cn}中的项，则称数列{cn}是“和稳定数列”.试分别判断数列{an}，{bn}是否是“和稳定数列”.若是，求出所有j的值；若不是，说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：i3=i2⋅i=−i，
则5(1+i3)(2+i)(2−i)=5(1−i)5=1−i.
故选：C.
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：解对数不等式lg2x≤1得：0又A=(1,3)，
所以A∩B=(1,2],
故选：D.
由对数不等式的单调性解对数不等式得：B=(0,2],又A=(1,3)，故得解．
本题考查了对数不等式的解法及交集的运算，属简单题．
3.【答案】C
【解析】解：因为|a−2b|=|2a+b|，
两边平方得|a|2−4a⋅b+4|b|2=4|a|2+4a⋅b+|b|2，
∴a⋅b=0，即a⊥b，
所以“|a−2b|=|2a+b|”是“a⊥b”的充分必要条件，
故选：C.
将|a−2b|=|2a+b|两边平方，化简后即可得a⊥b，由此即可选出答案．
本题考查了向量垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为an+12=anan+2，所以{an}为等比数列，设{an}的公比为q(q>0)，
因为a9=a8+2a7，所以q2a7=qa7+2a7，即q2=q+2，得q=2.
所以am⋅ana12=2m−1a1⋅2n−1a1a12=2m+n−2.
因为9m+1n=2，
所以m+n=12(9m+1n)(m+n)=12(9+9nm+mn+1)≥12(10+2 9nm×mn)=8，
当且仅当n=2，m=6时等号成立，
所以am⋅ana12=2m+n−2≥26=64.
故选：B.
判断{an}为等比数列并求{an}的公比，再化简am⋅ana12，最后利用基本不等式求m+n的最小值，代入即可得解．
本题考查等比数列的性质，考查基本不等式的应用，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：含x4y2的项为T=1×C62x4y2−2xy×C63x3y3=−25x4y2，
所以展开式中x4y2的系数为−25.
故选：D.
根据(x+y)6展开式的通项公式进行计算即可．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于一般题．
先判断函数的奇偶性，再判断函数的值变化趋势即可求出．
【解答】
解：f(x)=cs(x−π2)ln(ex+e−x)=sinxln(ex+e−x)，
f(−x)=sinx(−x)ln(e−x+ex)=−sinxln(ex+e−x)=−f(x)，
∴函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D，
∵y=ex+e−x≥2 ex⋅e−x=2，当且仅当x=0时取等号，
∴ln(ex+e−x)≥ln2>ln1=0，
当x∈[0,π)时，sinx≥0，当x∈[π,2π)时，sinx≤0，
∴当x∈[0,π)时，f(x)≥0，当x∈[π,2π)时，f(x)≤0，故排除AB，
故选：C.
7.【答案】D
【解析】解：因为抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(2,4)，
所以16=4p，解得：p=4，所以y2=8x，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
直线MN：x=ty+m，代入y2=8x中整理得y2−8ty−8m=0，
所以y1+y2=8t，y1y2=−8m，
所以kAM+kAN=y1−4x1−2+y2−4x2−2=y1−4y128−2+y2−4y228−2=8y1+4+8y2+4=8(y2+4)+8(y1+4)(y1+4)(y2+4)=0，即y1+y2+8=0，
则y1+y2+8=8t+8=0，解得：t=−1，
所以直线MN：x+y−m=0，
直线l的斜率为−1，且过C的焦点F(2,0)，
所以l：x+y−2=0，则A(2,4)到直线l的距离为d=|2+4−2| 2=2 2，
所以l把△AMN分成面积相等的两部分，因为直线l与直线MN平行，
所以A(2,4)到直线l：x+y−2=0的距离为A(2,4)到直线MN：x+y−m=0距离的 22，2 2= 22⋅|2+4−m| 2，解得：m=6−4 2或m=6+4 2(舍去).
所以直线MN的方程为x+y+4 2−6=0.
故选：D.
由题意求出抛物线方程为y2=8x，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线MN：x=ty+m，联立直线和抛物线的方程结合韦达定理由kAM+kAN=0，可求出t=−1，再求出直线l的方程，由题意可转化为A(2,4)到直线l：x+y−2=0的距离为A(2,4)到直线MN：x+y−m=0距离的 22，代入求解即可得出答案．
本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：当0则f(2)−1=a−a2−1=−(a−12)2−34<0，
即f(2)<1，3a−2<1，可得f(x)的大致图像如图：
由图可知，此时f(x)的图像与直线y=1仅有一个交点，
故关于x的方程f(x)=1仅有一个实数根，不满足题意；
当a>1时，ax>a，则f(x)=|ax−a|=ax−a，
又3a−2>1，f(x)的大致图像如图：
因为关于x的方程f(x)=1有两个不相等的实数根，
所以f(x)的图像与直线y=1有两个交点，
结合图像可知f(2)=a2−a<1，解得1故选：B.
根据题意，分01讨论，分别画出函数f(x)的大致图像，结合图像，列出不等式，即可得到结果．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：对于A：由表中数据可知，男生的平均阅读量为24.5本，女生的平均阅读量为25.5本，
男生97人，女生103人，这200名学生阅读量的平均数为97×24.5+103×25.5200=25.015>25，故A正确；
对于B：由于200×50%=100，阅读量在[0,10)内有15人，在[10,20)内有60人，在[20,30)内有51人，
所以这200名学生阅读量的中位数一定在区间[20,30)内，故B正确；
对于C：设在区间[0,10)内的初中生有x人，由于在[0,10)内有15人，故x∈[0,15]且x∈N，
(25+36+44+11+x)×0.75=87+0.75x∈[87,98.25]，而x+25+36=61+x∈[61,76]，
即这200名学生中的初中生阅读量的75%分位数不可能在区间[20,30)内，故C错误；
对于D：当x=0时，初中生共有25+36+44+11=116人，25%×116=29，故25%分位数为第29个与第30个的平均数，
因此在区间[20,30)内，当x=15时，初中生共有15+25+36+44+11=131人，25%×131=32.75，
故25%分位数为第33个数，因此在区间[10,20)内，故D错误．
故选：AB.
根据统计图表数据，结合平均数、中位数和百分位数的定义一一分析即可．
本题主要考查了平均数、中位数和百分位数的定义，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A：易知圆O：x2+y2=1的半径r=1，
因为点 O到直线AB的距离d=，
所以|AB|=2 r2−d2=2= 3，即选项A正确；
对于B：因为△AOB的面积为 34，
所以|OA||OB|sin∠AOB= 34，
即sin∠AOB= 34，解得sin∠AOB= 32，
因为0<∠AOB<π，
所以∠AOB=或，即选项B错误；
对于C：因为，所以，
即|OA|⋅|OB|cs∠AOB=，即cs∠AOB=，
因为0<∠AOB<π，所以∠AOB=，
∴△AOB是边长为1的等边三角形，
所以点 O到直线AB的距离为 32，即选项C正确；
对于D：由题意设x1=csθ，x2=sinθ，且0≤θ≤2π，则|x1+y1+1|=|csθ+sinθ−1|=||，
因为0≤θ≤2π，所以，
则−1≤sin()≤1，-，
− 2−1，
所以0≤| 2sin()−1|≤ 2+1，
即0≤|x1+y1−1|≤ 2+1，即选项D错误．
故选：AC.
利用弦长公式判定选项A正确；
先利用三角形的面积公式求出sin∠AOB= 32，再结合角的范围判定选项B错误；
利用数量积的计算公式求出cs∠AOB=，进而判定三角形的形状判定选项C正确；
设x1=csθ，x2=sinθ，且0≤θ≤2π，利用辅助角公式和三角函数的性质判定选项D错误．
本题考查直线与圆的位置关系，是中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁，
所以甲队积分为9分的概率为13×13×13=127，故A正确；
对于B，四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，
则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，
∴四支球队的积分总和可能为15分，故B正确；
对于C，每场比赛中两队胜、平、负的概率都为13，
则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为(13)3×2×13×23=4243，故C错误；
对于D，甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分，
三队中选一队与甲比赛，甲输，3×13，例如是丙甲，
若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分，
这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4分，不合题意，
在丙输的情况下，乙、丁已有3分，
那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意；
若甲全赢的概率是(13)2时，甲得6分，其他3人分数最高为5分，
这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢否则丙的分数不小于6分，只有全平或全输，
①若丙一平一输，概率2(13)2，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率23；
②若丙两场均平，概率是(13)2，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意；
③若两场丙都输，概率是(13)2，乙丁这场比赛只能平，概率是13；
综上概率为3×13×(13)2×[2×(13)2×23+(13)2+(13)2×13]=8243，故D正确．
故选：ABD.
若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁，结合独立事件的概率公式运算判断A；举例比赛的各种得分情况判断B；由互斥事件与独立事件的概率公式计算概率判断CD.
本题考查独立事件的概率与互斥事件的概率公式，难点在于分析丙在输第一场的情况下如何才能使得分超过其他三人，方法是结合列举法对六场比赛结果分步分析，确定每人的得分使之合乎题意，是中档题．
12.【答案】2
【解析】解：由图可知函数过点(0,1)，所以f(0)=2sinφ=1，即sinφ=12，
所以φ=π6+2kπ或φ=5π6+2kπ，k∈Z，
因为φ∈(0,2π)，所以φ=π6或φ=5π6，又函数在原点右侧最近的零点的右侧的极值点函数取得最小值，
所以φ=5π6，所以f(x)=2sin(ωx+5π6)，
因为f(x)在区间(π,4π3)内单调递减，ωx+5π6∈(πω+5π6,4π3ω+5π6)，
所以12×2πω≥4π3−π=π3，所以0<ω≤3，
所以5π6<πω+5π6≤23π6，
则5π6<ωπ+5π64ωπ3+5π6≤3π2或5π2≤ωπ+5π64ωπ3+5π6≤7π2
解得0<ω≤12或53≤ω≤2，
所以ω的最大值为2.
故答案为：2.
根据函数过点(0,1)求出φ的值，再根据x的范围求出ωx+5π6的范围，结合函数的单调性与周期性求出ω的大致范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
13.【答案】8 55
【解析】【分析】
本题考查圆锥的侧面积公式和表面积公式，以及体积公式的应用，属于中档题．
设甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r甲，r乙，高分别为h甲，h乙，母线长为l，由侧面积公式
可得r甲=2r乙，再结合圆心角之和可将r甲，r乙分别用l表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再利用圆锥的体积公式求解即可.
【解答】
解：设甲、乙两个圆锥的母线长为l，底面圆的半径分别为r甲，r乙，高分别为h甲，h乙，
则根据题意可得：{2πr甲l+2πr乙l=2π(r甲+r乙)l=3π2S甲S乙=πr甲lπr乙l=r甲r乙=2，
解得r甲=l2，r乙=l4，
∴h甲= 32l，h乙= 154l，
∴V甲V乙=13π(r甲)2h甲13π(r乙)2h乙=4× 32 154=8 55.
故答案为：8 55.
14.【答案】35 35π6
【解析】解：如图，作PM//AA1，交AB于M，则PM=AA1=3，
过M作MN⊥BC交BC于点N，连接PN.
因为ABC−A1B1C1为直三棱柱，则AA1⊥平面ABC，且PM//AA1，
则PM⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，所以PM⊥BC，
又MN⊥BC，PM∩MN=M，PM，MN⊂平面PMN，
所以BC⊥平面PMN，PN⊂平面PMN，所以PN⊥BC，
则∠PNM是二面角A−BC−P的平面角，
所以tan∠PNM=PMMN=3，所以MN=1，
又AB=AC=3 2，BC=6，所以MB= 2，所以AM=2 2，A1P=2 2.
可把三棱锥A−A1C1P补成棱长为3 2，2 2，3的长方体，
则三棱锥A−A1C1P的外接球的半径为R= (3 2)2+(2 2)2+322= 352，
所以三棱锥A−A1C1P的外接球的体积为43π( 352)3=35 35π6.
故答案为：35 35π6.
根据题意，由条件可得∠PNM是二面角A−BC−P的平面角，再将三棱锥A−A1C1P补为长方体，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，再由球的体积公式，即可得到结果．
本题考查球的体积计算问题，涉及二面角的求法，是中档题．
15.【答案】(1)证明：∵2acsC=b−a，由正弦定理asinA=bsinB=csinC得：
2sinAcsC=sinB−sinA，
又sinB=sin(π−A−C)=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
∴2sinAcsC=sinAcsC+csAsinC−sinA，
整理得sin(C−A)=sinA.
又A,C∈(0,π2)，则C−A=A，即C=2A.
(2)解：∵CD为∠ACB的平分线，且C=2A，
∴∠ACD=∠A=∠DCB，则AD=CD= 3，
∴S△ACD=12AD⋅CD⋅sin∠ADC=12AD⋅CD⋅sin(π−2A)=32sin2A= 2，可得sin2A=2 23，
因为△ABC为锐角三角形，所以0所以cs2A= 1−sin22A=13=1−2sin2A=2cs2A−1，
所以sinA= 33,csA= 63，
所以sinB=sinAcsC+csAsinC=sinAcs2A+csAsin2A= 33×13+ 63×2 23=5 39，
在△ACD中，由余弦定理可得：
b2=AC2=CD2+AD2−2CD⋅AD⋅cs∠ADC=3+3−6cs(π−2A)=6+6cs2A=8，所以b=2 2，
由正弦定理asinA=bsinB得a=bsinAsinB=2 2× 335 39=6 25.
【解析】(1)由正弦定理可将2acsC=b−a转化为2sinAcsC=sinB−sinA，结合角度关系转化得sin(C−A)=sinA，即可证得C=2A；
(2)由CD为∠ACB的角平分线，C=2A，可得AD=CD= 3，根据△ACD面积公式可求得sin2A=2 23，再由三角形△ABC为锐角三角形可得A的范围，由平方公式二倍角公式可得sinA，csA的值，根据和差公式得sinB的值，由余弦定理求得b，再根据正弦定理的a的值即可．
本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，三角函数公式的应用，化归转化思想，属中档题．
16.【答案】解：(1)证明：过A作AD⊥PB于D，
∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，又AD⊂平面PAB，
∴AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，
∴AD⊥BC，又PA⊥平面ABCE，BC⊂平面ABCE，
∴PA⊥BC，又PA，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，
∴BC⊥平面PAD，又AB⊂平面PAD，∴BC⊥AB；
(2)以BA，BC所在直线分别为x，y轴，过B平行于PA的直线为Z轴，建系如图，
则B(0,0,0)，A(0,1,0)，C(0,2,0)，P(1,0,2 2)
设E(x,y,0)，∵BE=2 2，∴x2+y2①，
∴AC=AE，∴(x−1)2+y2②，
由①②得x=2，y=2，∴E(2,2,0)，
又P(1,0,2 2)，故G(1,43,2 23)，CG=(1,−23,2 23)，
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅BP=0n⋅BC=0⇒x+2 2z=02y=0，取n=(−2 2,0,1)，
设直线CG与平面PBC所成角为θ.
则sinθ=|CG⋅n||CG|⋅|n|=4 4263.
【解析】(1)由面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
(2)以B为坐标原点，BA，BC为x，y轴，过B平行于PA的直线为Z轴建立空间直角坐标系，分别求出直线CG的方向向量与平面PBC的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案．
本题考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理与性质，向量法求解线面角问题，属中档题．
17.【答案】解：(1)当a=1时，令F(x)=f(x)−x=ex−1x+lnx−x，x∈(0,+∞)，
则F′(x)=ex−1⋅x−ex−1x2+1x−1=ex−1(x−1)+x(1−x)x2=(x−1)(ex−1−x)x2，
令g(x)=ex−1−x，x∈R，则g′(x)=ex−1−1，
易知g′(x)在R上单调递增，且g′(1)=0，
∴当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(0,1)上单调递减，且g(x)=ex−1−x>g(1)=0，
当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1,+∞)上单调递增，且g(x)=ex−1−x>g(1)=0，
∴当x∈(0,1)时，F′(x)=(x−1)(ex−1−x)x2<0，F(x)在区间(0,1)上单调递减，
当x∈(1,+∞)时，F′(x)=(x−1)(ex−1−x)x2>0，F(x)在区间(1,+∞)上单调递增，
当x=1时，F(x)取得极小值，也是最小值，F(x)min=F(1)=e1−11+ln1−1=0，
∴当a=1时，函数f(x)−x的最小值为0.
(2)由已知，f(x)的定义域为(0,+∞)，
若函数f(x)x的最小值为a，则有f(x)x≥a，∴f(x)≥ax，f(x)−ax≥0，
令h(x)=f(x)−ax，即h(x)=f(x)−ax=eax−1x+lnx−ax的最小值为0，
由第(1)问知，当且仅当x=1时，g(x)=ex−1−x取最小值g(1)=0，
∴当且仅当ax−lnx=1时，g(ax−lnx)取得最小值0，
又∵g(ax−lnx)=eax−lnx−1−(ax−lnx)=eax−1elnx+lnx−ax=eax−1x+lnx−ax=h(x)，
∴只需令ax−lnx=1有解，即a=lnx+1x有解，
令H(x)=lnx+1x，x∈(0,+∞)，则H′(x)=1x⋅x−(lnx+1)x2=−lnxx2，
当x∈(0,1)时，H′(x)=−lnxx2>0，H(x)在区间(0,1)上单调递增，
当x∈(1,+∞)时，H′(x)=−lnxx2<0，H(x)在区间(1,+∞)上单调递减，
∴a=lnx+1x=H(x)≤H(1)=1，
综上所述，若函数f(x)x的最小值为a，则a的最大值为1.
【解析】(1)当a=1时，令F(x)=f(x)−x，求得F′(x)=(x−1)(ex−1−x)x2，根据F′(x)在不同区间的符号判断F(x)的单调性，由单调性即可求出F(x)=f(x)−x的最小值；
(2)将f(x)x≥a等价变换为f(x)−ax≥0，借助第(1)问中判断F′(x)=(x−1)(ex−1−x)x2的符号时构造的g(x)=ex−1−x在x=1时取最小值，取g(ax−lnx)，将问题转化为ax−lnx=1有解问题即可．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与最值，化归转化思想，属难题．
18.【答案】解：(1)∵双曲线的离心率为 2，
∴双曲线是等轴双曲线，即x2a2−y2a2=1，
∵点A(2,1)在C上．
∴4a2−1a2=1得a2=3，
即双曲线方程为x23−y23=1.
(2)证明：当AM的斜率为0或不存在时，可得M，N的坐标为(2,−1)，(−2,1)，
此时kMN=−1−12−(−2)=−12，
当AM的斜率存在且不为0时，设直线AM的方程为y=k(x−2)+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
与双曲线方程联立方程组消去y得：(1−k2)x2+(4k2−2k)x−4k2+4k−4=0，
∴2x1=−4k2+4k−41−k2，∴x1=−2k+2k−21−k2，
∴y1=k(x1−2)+1=k(−2k+2k−21−k2−2)+1=2k2−4k1−k2+1，∴M(−2k2+2k−21−k2,2k2−4k1−k2+1)，
用−1k代替k可得N(2k2+2k+21−k2,−2−4k1−k2+1)，
∴kMN=2k2−4k1−k2+1−−2−4k1−k2−1−2k2+2k−21−k2−2k2+2k+21−k2=2k2+21−k2−4k2−41−k2=−12.
综上所述：直线MN的斜率k为定值．
【解析】(1)由已知可得双曲线是等轴双曲线，进而把点A的坐标代入双曲线方程可求a，可得双曲线C的方程；
(2)当AM的斜率为0或不存在时，可求得M，N的坐标，可求kMN，当AM的斜率存在且不为0时，设直线AM的方程为y=k(x−2)+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，与双曲线联立方程可得M(−2k2+2k−21−k2,2k2−4k1−k2+1)，用−1k代替k可得N(2k2+2k+21−k2,−2−4k1−k2+1)，进而可得kMN，可证结论成立．
本题考查双曲线方程的求法，证明直线斜率为定值，考查运算求解能力，属中档题．
19.【答案】解：(1)因为a1b1+a2b2+⋯+an−1bn−1+anbn=2anbn−6bn+8，①
当n=1时，a1b1=2a1b1−6b1+8=2a1b1−4，所以a1=2，
当n≥2时，a1b1+a2b2+⋯+an−1bn−1=2an−1bn−1−6bn−1+8，②
①-②得：anbn=2anbn−2an−1bn−1−6bn+6bn−1，即anbn−2an−1bn−1−6bn+6bn−1=0，
设数列{bn}公比为q(q≠0)，
则q⋅an−2an−1−6q+6=0，
当n=2时，a1b1+a2b2=2a2b2−6b2+8，
又因为a2=5，a1=2，b1=2，
所以b2=4，
所以q=2，bn=2n；
所以an−an−1=3，
所以数列{an}是等差数列，首项为2，公差为3，
所以an=3n−1；
(2)即求数列{an}，{bn}中各前2n项所有不同元素的和，
数列{an}中前2n项的和为2n(2+6n−1)2=6n2+n，
数列{bn}中前2n项的和为2(1−22n)1−2=2⋅4n−2，
同时其公共项为2，23，25，…，22k−1，则其和为2(1−4k)1−4=23(4k−1)，
其中22k−1为数列{bn}的第2k−1≤2n−1项，
同时数列{an}的第m项，即22k−1=3m−1.
∴集合A中所有元素的和为6n2+n+2⋅4n−2−23(4k−1).
(3)证明：若{an}是“和稳定数列”，
则ak1+ak2+⋯+akj=3(k1+k2+⋯+kj)−j，当j被3整除余1时即可；
若{bn}是“和稳定数列”，
则bk1+bk2+⋯+bkj=bl
即2k1+2k2+⋯+2kj=2l，不妨取k1则2k1+2k2+⋯+2kj≤20+21+⋯+2l−1=1−2l1−2=2l−1<2l，矛盾，
故{bn}不是“和稳定数列”．
【解析】(1)利用赋值法，通过求解数列的递推关系式，转化求解即可．
(2)求解前n项和，推出集合A中所有元素的和．
(3)推出ak1+ak2+⋯+akj=3(k1+k2+⋯+kj)−j，当j被3整除余1时即可，2k1+2k2+⋯+2kj=2l，得到2k1+2k2+⋯+2kj≤20+21+⋯+2l−1=1−2l1−2=2l−1<2l，矛盾，推出结果．
本题考查数列的应用，数列求和，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．阅读量
人数
学生类别
[0,10)
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,+∞)
性别
男
7
31
25
30
4
女
8
29
26
32
8
学段
初中
25
36
44
11
高中
1.5(1+i3)(2+i)(2−i)=( )
A. −1B. 1C. 1−iD. 1+i
2.设全集U=R，集合A={x|1
3.设平面向量a，b均为单位向量，则“|a−2b|=|2a+b|”是“a⊥b”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知正项数列{an}满足an+12=anan+2,a9=a8+2a7，若存在m，n∈N*，使得9m+1n=2，则am⋅ana12的最小值为( )
A. 32B. 64C. 128D. 256
5.(1−2xy)(x+y)6的展开式中x4y2的系数为( )
A. 55B. −70C. 65D. −25
6.函数f(x)=cs(x−π2)ln(ex+e−x)的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(2,4)，动点M，N为C上的两点，且直线AM与AN的斜率之和为0，直线l的斜率为−1，且过C的焦点F，l把△AMN分成面积相等的两部分，则直线MN的方程为( )
A. x+y−6=0B. x−y+6=0
C. x−y+4 2−6=0D. x+y+4 2−6=0
8.已知a>0，且a≠1，函数f(x)=3a−x,x>2|ax−a|,x≤2，若关于x的方程f(x)=1有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )
A. (0,1)B. (1,1+ 52)C. (1,1+ 52]D. (1, 5]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量(单位：本)的数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.
下列推断正确的是( )
A. 这200名学生阅读量的平均数大于25本
B. 这200名学生阅读量的中位数一定在区间[20,30)内
C. 这200名学生中的初中生阅读量的75%分位数可能在区间[20,30)内
D. 这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数一定在区间[20,30)内
10.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)是圆O：x2+y2=1上两点，则下列结论正确的是( )
A. 若点O到直线AB的距离为，则|AB|= 3
B. 若△AOB的面积为 34，则∠AOB=
C. 若x1x2+y1y2=，则点O到直线AB的距离为 32
D. |x1+y1−1|的最大值为 2+1，最小值为 2−1
11.某区四所高中各自组建了排球队(分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”)进行单循环比赛(即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛)，最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为13，则在比赛结束时( )
A. 甲队积分为9分的概率为127
B. 四支球队的积分总和可能为15分
C. 甲队胜3场且乙队胜1场的概率为2243
D. 甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为8243
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的部分图像如图所示，f(x)在区间(π,4π3)内单调递减，则ω的最大值为______.
13.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为3π2，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙.若S甲S乙=2，则V甲V乙=__________.
14.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=3，BC=6，AB=AC=3 2，P为线段A1B1上的一点，且二面角A−BC−P的正切值为3，则三棱锥A−A1C1P的外接球的体积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知锐角△ABC，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2acsC=b−a.
(1)证明：C=2A；
(2)若CD为∠ACB的角平分线，交AB于D点，且CD= 3,S△ACD= 2.求a的值.
16.(本小题15分)
如图，已知四棱锥P−ABCE中，AB=1，BC=2，BE=2 2，PA⊥平面ABCE，平面PAB⊥平面PBC
(1)证明：AB⊥BC；
(2)若PA=2 2，且AC=AE，G为△PCE的重心.求直线CG与平面PBC所成角的正弦值.
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=eax−1x+lnx，a∈R.
(1)当a=1时，求函数f(x)−x的最小值；
(2)若函数f(x)x的最小值为a，求a的最大值.
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2，且点A(2,1)在C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若点M.N在双曲线C上，且AM⊥AN，直线MN不与y轴平行，证明：直线MN的斜率k为定值.
19.(本小题17分)
数列{an}，{bn}满足：{bn}是等比数列，b1=2，a2=5，且a1b1+a2b2+…+anbn=2(an−3)bn+8(n∈N*).
(1)求an，bn；
(2)求集合A={x|(x−ai)(x−bi)=0,i≤2n,i∈N*}中所有元素的和；
(3)对数列{cn}，若存在互不相等的正整数k，…，kj(j≥2)，使得ck1+ck2+…+ckj也是数列{cn}中的项，则称数列{cn}是“和稳定数列”.试分别判断数列{an}，{bn}是否是“和稳定数列”.若是，求出所有j的值；若不是，说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：i3=i2⋅i=−i，
则5(1+i3)(2+i)(2−i)=5(1−i)5=1−i.
故选：C.
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：解对数不等式lg2x≤1得：0
所以A∩B=(1,2],
故选：D.
由对数不等式的单调性解对数不等式得：B=(0,2],又A=(1,3)，故得解．
本题考查了对数不等式的解法及交集的运算，属简单题．
3.【答案】C
【解析】解：因为|a−2b|=|2a+b|，
两边平方得|a|2−4a⋅b+4|b|2=4|a|2+4a⋅b+|b|2，
∴a⋅b=0，即a⊥b，
所以“|a−2b|=|2a+b|”是“a⊥b”的充分必要条件，
故选：C.
将|a−2b|=|2a+b|两边平方，化简后即可得a⊥b，由此即可选出答案．
本题考查了向量垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为an+12=anan+2，所以{an}为等比数列，设{an}的公比为q(q>0)，
因为a9=a8+2a7，所以q2a7=qa7+2a7，即q2=q+2，得q=2.
所以am⋅ana12=2m−1a1⋅2n−1a1a12=2m+n−2.
因为9m+1n=2，
所以m+n=12(9m+1n)(m+n)=12(9+9nm+mn+1)≥12(10+2 9nm×mn)=8，
当且仅当n=2，m=6时等号成立，
所以am⋅ana12=2m+n−2≥26=64.
故选：B.
判断{an}为等比数列并求{an}的公比，再化简am⋅ana12，最后利用基本不等式求m+n的最小值，代入即可得解．
本题考查等比数列的性质，考查基本不等式的应用，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：含x4y2的项为T=1×C62x4y2−2xy×C63x3y3=−25x4y2，
所以展开式中x4y2的系数为−25.
故选：D.
根据(x+y)6展开式的通项公式进行计算即可．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于一般题．
先判断函数的奇偶性，再判断函数的值变化趋势即可求出．
【解答】
解：f(x)=cs(x−π2)ln(ex+e−x)=sinxln(ex+e−x)，
f(−x)=sinx(−x)ln(e−x+ex)=−sinxln(ex+e−x)=−f(x)，
∴函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D，
∵y=ex+e−x≥2 ex⋅e−x=2，当且仅当x=0时取等号，
∴ln(ex+e−x)≥ln2>ln1=0，
当x∈[0,π)时，sinx≥0，当x∈[π,2π)时，sinx≤0，
∴当x∈[0,π)时，f(x)≥0，当x∈[π,2π)时，f(x)≤0，故排除AB，
故选：C.
7.【答案】D
【解析】解：因为抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(2,4)，
所以16=4p，解得：p=4，所以y2=8x，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
直线MN：x=ty+m，代入y2=8x中整理得y2−8ty−8m=0，
所以y1+y2=8t，y1y2=−8m，
所以kAM+kAN=y1−4x1−2+y2−4x2−2=y1−4y128−2+y2−4y228−2=8y1+4+8y2+4=8(y2+4)+8(y1+4)(y1+4)(y2+4)=0，即y1+y2+8=0，
则y1+y2+8=8t+8=0，解得：t=−1，
所以直线MN：x+y−m=0，
直线l的斜率为−1，且过C的焦点F(2,0)，
所以l：x+y−2=0，则A(2,4)到直线l的距离为d=|2+4−2| 2=2 2，
所以l把△AMN分成面积相等的两部分，因为直线l与直线MN平行，
所以A(2,4)到直线l：x+y−2=0的距离为A(2,4)到直线MN：x+y−m=0距离的 22，2 2= 22⋅|2+4−m| 2，解得：m=6−4 2或m=6+4 2(舍去).
所以直线MN的方程为x+y+4 2−6=0.
故选：D.
由题意求出抛物线方程为y2=8x，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线MN：x=ty+m，联立直线和抛物线的方程结合韦达定理由kAM+kAN=0，可求出t=−1，再求出直线l的方程，由题意可转化为A(2,4)到直线l：x+y−2=0的距离为A(2,4)到直线MN：x+y−m=0距离的 22，代入求解即可得出答案．
本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：当0
即f(2)<1，3a−2<1，可得f(x)的大致图像如图：
由图可知，此时f(x)的图像与直线y=1仅有一个交点，
故关于x的方程f(x)=1仅有一个实数根，不满足题意；
当a>1时，ax>a，则f(x)=|ax−a|=ax−a，
又3a−2>1，f(x)的大致图像如图：
因为关于x的方程f(x)=1有两个不相等的实数根，
所以f(x)的图像与直线y=1有两个交点，
结合图像可知f(2)=a2−a<1，解得1
根据题意，分0
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：对于A：由表中数据可知，男生的平均阅读量为24.5本，女生的平均阅读量为25.5本，
男生97人，女生103人，这200名学生阅读量的平均数为97×24.5+103×25.5200=25.015>25，故A正确；
对于B：由于200×50%=100，阅读量在[0,10)内有15人，在[10,20)内有60人，在[20,30)内有51人，
所以这200名学生阅读量的中位数一定在区间[20,30)内，故B正确；
对于C：设在区间[0,10)内的初中生有x人，由于在[0,10)内有15人，故x∈[0,15]且x∈N，
(25+36+44+11+x)×0.75=87+0.75x∈[87,98.25]，而x+25+36=61+x∈[61,76]，
即这200名学生中的初中生阅读量的75%分位数不可能在区间[20,30)内，故C错误；
对于D：当x=0时，初中生共有25+36+44+11=116人，25%×116=29，故25%分位数为第29个与第30个的平均数，
因此在区间[20,30)内，当x=15时，初中生共有15+25+36+44+11=131人，25%×131=32.75，
故25%分位数为第33个数，因此在区间[10,20)内，故D错误．
故选：AB.
根据统计图表数据，结合平均数、中位数和百分位数的定义一一分析即可．
本题主要考查了平均数、中位数和百分位数的定义，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A：易知圆O：x2+y2=1的半径r=1，
因为点 O到直线AB的距离d=，
所以|AB|=2 r2−d2=2= 3，即选项A正确；
对于B：因为△AOB的面积为 34，
所以|OA||OB|sin∠AOB= 34，
即sin∠AOB= 34，解得sin∠AOB= 32，
因为0<∠AOB<π，
所以∠AOB=或，即选项B错误；
对于C：因为，所以，
即|OA|⋅|OB|cs∠AOB=，即cs∠AOB=，
因为0<∠AOB<π，所以∠AOB=，
∴△AOB是边长为1的等边三角形，
所以点 O到直线AB的距离为 32，即选项C正确；
对于D：由题意设x1=csθ，x2=sinθ，且0≤θ≤2π，则|x1+y1+1|=|csθ+sinθ−1|=||，
因为0≤θ≤2π，所以，
则−1≤sin()≤1，-，
− 2−1，
所以0≤| 2sin()−1|≤ 2+1，
即0≤|x1+y1−1|≤ 2+1，即选项D错误．
故选：AC.
利用弦长公式判定选项A正确；
先利用三角形的面积公式求出sin∠AOB= 32，再结合角的范围判定选项B错误；
利用数量积的计算公式求出cs∠AOB=，进而判定三角形的形状判定选项C正确；
设x1=csθ，x2=sinθ，且0≤θ≤2π，利用辅助角公式和三角函数的性质判定选项D错误．
本题考查直线与圆的位置关系，是中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁，
所以甲队积分为9分的概率为13×13×13=127，故A正确；
对于B，四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，
则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，
∴四支球队的积分总和可能为15分，故B正确；
对于C，每场比赛中两队胜、平、负的概率都为13，
则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为(13)3×2×13×23=4243，故C错误；
对于D，甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分，
三队中选一队与甲比赛，甲输，3×13，例如是丙甲，
若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分，
这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4分，不合题意，
在丙输的情况下，乙、丁已有3分，
那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意；
若甲全赢的概率是(13)2时，甲得6分，其他3人分数最高为5分，
这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢否则丙的分数不小于6分，只有全平或全输，
①若丙一平一输，概率2(13)2，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率23；
②若丙两场均平，概率是(13)2，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意；
③若两场丙都输，概率是(13)2，乙丁这场比赛只能平，概率是13；
综上概率为3×13×(13)2×[2×(13)2×23+(13)2+(13)2×13]=8243，故D正确．
故选：ABD.
若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁，结合独立事件的概率公式运算判断A；举例比赛的各种得分情况判断B；由互斥事件与独立事件的概率公式计算概率判断CD.
本题考查独立事件的概率与互斥事件的概率公式，难点在于分析丙在输第一场的情况下如何才能使得分超过其他三人，方法是结合列举法对六场比赛结果分步分析，确定每人的得分使之合乎题意，是中档题．
12.【答案】2
【解析】解：由图可知函数过点(0,1)，所以f(0)=2sinφ=1，即sinφ=12，
所以φ=π6+2kπ或φ=5π6+2kπ，k∈Z，
因为φ∈(0,2π)，所以φ=π6或φ=5π6，又函数在原点右侧最近的零点的右侧的极值点函数取得最小值，
所以φ=5π6，所以f(x)=2sin(ωx+5π6)，
因为f(x)在区间(π,4π3)内单调递减，ωx+5π6∈(πω+5π6,4π3ω+5π6)，
所以12×2πω≥4π3−π=π3，所以0<ω≤3，
所以5π6<πω+5π6≤23π6，
则5π6<ωπ+5π64ωπ3+5π6≤3π2或5π2≤ωπ+5π64ωπ3+5π6≤7π2
解得0<ω≤12或53≤ω≤2，
所以ω的最大值为2.
故答案为：2.
根据函数过点(0,1)求出φ的值，再根据x的范围求出ωx+5π6的范围，结合函数的单调性与周期性求出ω的大致范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
13.【答案】8 55
【解析】【分析】
本题考查圆锥的侧面积公式和表面积公式，以及体积公式的应用，属于中档题．
设甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r甲，r乙，高分别为h甲，h乙，母线长为l，由侧面积公式
可得r甲=2r乙，再结合圆心角之和可将r甲，r乙分别用l表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再利用圆锥的体积公式求解即可.
【解答】
解：设甲、乙两个圆锥的母线长为l，底面圆的半径分别为r甲，r乙，高分别为h甲，h乙，
则根据题意可得：{2πr甲l+2πr乙l=2π(r甲+r乙)l=3π2S甲S乙=πr甲lπr乙l=r甲r乙=2，
解得r甲=l2，r乙=l4，
∴h甲= 32l，h乙= 154l，
∴V甲V乙=13π(r甲)2h甲13π(r乙)2h乙=4× 32 154=8 55.
故答案为：8 55.
14.【答案】35 35π6
【解析】解：如图，作PM//AA1，交AB于M，则PM=AA1=3，
过M作MN⊥BC交BC于点N，连接PN.
因为ABC−A1B1C1为直三棱柱，则AA1⊥平面ABC，且PM//AA1，
则PM⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，所以PM⊥BC，
又MN⊥BC，PM∩MN=M，PM，MN⊂平面PMN，
所以BC⊥平面PMN，PN⊂平面PMN，所以PN⊥BC，
则∠PNM是二面角A−BC−P的平面角，
所以tan∠PNM=PMMN=3，所以MN=1，
又AB=AC=3 2，BC=6，所以MB= 2，所以AM=2 2，A1P=2 2.
可把三棱锥A−A1C1P补成棱长为3 2，2 2，3的长方体，
则三棱锥A−A1C1P的外接球的半径为R= (3 2)2+(2 2)2+322= 352，
所以三棱锥A−A1C1P的外接球的体积为43π( 352)3=35 35π6.
故答案为：35 35π6.
根据题意，由条件可得∠PNM是二面角A−BC−P的平面角，再将三棱锥A−A1C1P补为长方体，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，再由球的体积公式，即可得到结果．
本题考查球的体积计算问题，涉及二面角的求法，是中档题．
15.【答案】(1)证明：∵2acsC=b−a，由正弦定理asinA=bsinB=csinC得：
2sinAcsC=sinB−sinA，
又sinB=sin(π−A−C)=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
∴2sinAcsC=sinAcsC+csAsinC−sinA，
整理得sin(C−A)=sinA.
又A,C∈(0,π2)，则C−A=A，即C=2A.
(2)解：∵CD为∠ACB的平分线，且C=2A，
∴∠ACD=∠A=∠DCB，则AD=CD= 3，
∴S△ACD=12AD⋅CD⋅sin∠ADC=12AD⋅CD⋅sin(π−2A)=32sin2A= 2，可得sin2A=2 23，
因为△ABC为锐角三角形，所以0
所以sinA= 33,csA= 63，
所以sinB=sinAcsC+csAsinC=sinAcs2A+csAsin2A= 33×13+ 63×2 23=5 39，
在△ACD中，由余弦定理可得：
b2=AC2=CD2+AD2−2CD⋅AD⋅cs∠ADC=3+3−6cs(π−2A)=6+6cs2A=8，所以b=2 2，
由正弦定理asinA=bsinB得a=bsinAsinB=2 2× 335 39=6 25.
【解析】(1)由正弦定理可将2acsC=b−a转化为2sinAcsC=sinB−sinA，结合角度关系转化得sin(C−A)=sinA，即可证得C=2A；
(2)由CD为∠ACB的角平分线，C=2A，可得AD=CD= 3，根据△ACD面积公式可求得sin2A=2 23，再由三角形△ABC为锐角三角形可得A的范围，由平方公式二倍角公式可得sinA，csA的值，根据和差公式得sinB的值，由余弦定理求得b，再根据正弦定理的a的值即可．
本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，三角函数公式的应用，化归转化思想，属中档题．
16.【答案】解：(1)证明：过A作AD⊥PB于D，
∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，又AD⊂平面PAB，
∴AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，
∴AD⊥BC，又PA⊥平面ABCE，BC⊂平面ABCE，
∴PA⊥BC，又PA，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，
∴BC⊥平面PAD，又AB⊂平面PAD，∴BC⊥AB；
(2)以BA，BC所在直线分别为x，y轴，过B平行于PA的直线为Z轴，建系如图，
则B(0,0,0)，A(0,1,0)，C(0,2,0)，P(1,0,2 2)
设E(x,y,0)，∵BE=2 2，∴x2+y2①，
∴AC=AE，∴(x−1)2+y2②，
由①②得x=2，y=2，∴E(2,2,0)，
又P(1,0,2 2)，故G(1,43,2 23)，CG=(1,−23,2 23)，
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅BP=0n⋅BC=0⇒x+2 2z=02y=0，取n=(−2 2,0,1)，
设直线CG与平面PBC所成角为θ.
则sinθ=|CG⋅n||CG|⋅|n|=4 4263.
【解析】(1)由面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
(2)以B为坐标原点，BA，BC为x，y轴，过B平行于PA的直线为Z轴建立空间直角坐标系，分别求出直线CG的方向向量与平面PBC的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案．
本题考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理与性质，向量法求解线面角问题，属中档题．
17.【答案】解：(1)当a=1时，令F(x)=f(x)−x=ex−1x+lnx−x，x∈(0,+∞)，
则F′(x)=ex−1⋅x−ex−1x2+1x−1=ex−1(x−1)+x(1−x)x2=(x−1)(ex−1−x)x2，
令g(x)=ex−1−x，x∈R，则g′(x)=ex−1−1，
易知g′(x)在R上单调递增，且g′(1)=0，
∴当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(0,1)上单调递减，且g(x)=ex−1−x>g(1)=0，
当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1,+∞)上单调递增，且g(x)=ex−1−x>g(1)=0，
∴当x∈(0,1)时，F′(x)=(x−1)(ex−1−x)x2<0，F(x)在区间(0,1)上单调递减，
当x∈(1,+∞)时，F′(x)=(x−1)(ex−1−x)x2>0，F(x)在区间(1,+∞)上单调递增，
当x=1时，F(x)取得极小值，也是最小值，F(x)min=F(1)=e1−11+ln1−1=0，
∴当a=1时，函数f(x)−x的最小值为0.
(2)由已知，f(x)的定义域为(0,+∞)，
若函数f(x)x的最小值为a，则有f(x)x≥a，∴f(x)≥ax，f(x)−ax≥0，
令h(x)=f(x)−ax，即h(x)=f(x)−ax=eax−1x+lnx−ax的最小值为0，
由第(1)问知，当且仅当x=1时，g(x)=ex−1−x取最小值g(1)=0，
∴当且仅当ax−lnx=1时，g(ax−lnx)取得最小值0，
又∵g(ax−lnx)=eax−lnx−1−(ax−lnx)=eax−1elnx+lnx−ax=eax−1x+lnx−ax=h(x)，
∴只需令ax−lnx=1有解，即a=lnx+1x有解，
令H(x)=lnx+1x，x∈(0,+∞)，则H′(x)=1x⋅x−(lnx+1)x2=−lnxx2，
当x∈(0,1)时，H′(x)=−lnxx2>0，H(x)在区间(0,1)上单调递增，
当x∈(1,+∞)时，H′(x)=−lnxx2<0，H(x)在区间(1,+∞)上单调递减，
∴a=lnx+1x=H(x)≤H(1)=1，
综上所述，若函数f(x)x的最小值为a，则a的最大值为1.
【解析】(1)当a=1时，令F(x)=f(x)−x，求得F′(x)=(x−1)(ex−1−x)x2，根据F′(x)在不同区间的符号判断F(x)的单调性，由单调性即可求出F(x)=f(x)−x的最小值；
(2)将f(x)x≥a等价变换为f(x)−ax≥0，借助第(1)问中判断F′(x)=(x−1)(ex−1−x)x2的符号时构造的g(x)=ex−1−x在x=1时取最小值，取g(ax−lnx)，将问题转化为ax−lnx=1有解问题即可．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与最值，化归转化思想，属难题．
18.【答案】解：(1)∵双曲线的离心率为 2，
∴双曲线是等轴双曲线，即x2a2−y2a2=1，
∵点A(2,1)在C上．
∴4a2−1a2=1得a2=3，
即双曲线方程为x23−y23=1.
(2)证明：当AM的斜率为0或不存在时，可得M，N的坐标为(2,−1)，(−2,1)，
此时kMN=−1−12−(−2)=−12，
当AM的斜率存在且不为0时，设直线AM的方程为y=k(x−2)+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
与双曲线方程联立方程组消去y得：(1−k2)x2+(4k2−2k)x−4k2+4k−4=0，
∴2x1=−4k2+4k−41−k2，∴x1=−2k+2k−21−k2，
∴y1=k(x1−2)+1=k(−2k+2k−21−k2−2)+1=2k2−4k1−k2+1，∴M(−2k2+2k−21−k2,2k2−4k1−k2+1)，
用−1k代替k可得N(2k2+2k+21−k2,−2−4k1−k2+1)，
∴kMN=2k2−4k1−k2+1−−2−4k1−k2−1−2k2+2k−21−k2−2k2+2k+21−k2=2k2+21−k2−4k2−41−k2=−12.
综上所述：直线MN的斜率k为定值．
【解析】(1)由已知可得双曲线是等轴双曲线，进而把点A的坐标代入双曲线方程可求a，可得双曲线C的方程；
(2)当AM的斜率为0或不存在时，可求得M，N的坐标，可求kMN，当AM的斜率存在且不为0时，设直线AM的方程为y=k(x−2)+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，与双曲线联立方程可得M(−2k2+2k−21−k2,2k2−4k1−k2+1)，用−1k代替k可得N(2k2+2k+21−k2,−2−4k1−k2+1)，进而可得kMN，可证结论成立．
本题考查双曲线方程的求法，证明直线斜率为定值，考查运算求解能力，属中档题．
19.【答案】解：(1)因为a1b1+a2b2+⋯+an−1bn−1+anbn=2anbn−6bn+8，①
当n=1时，a1b1=2a1b1−6b1+8=2a1b1−4，所以a1=2，
当n≥2时，a1b1+a2b2+⋯+an−1bn−1=2an−1bn−1−6bn−1+8，②
①-②得：anbn=2anbn−2an−1bn−1−6bn+6bn−1，即anbn−2an−1bn−1−6bn+6bn−1=0，
设数列{bn}公比为q(q≠0)，
则q⋅an−2an−1−6q+6=0，
当n=2时，a1b1+a2b2=2a2b2−6b2+8，
又因为a2=5，a1=2，b1=2，
所以b2=4，
所以q=2，bn=2n；
所以an−an−1=3，
所以数列{an}是等差数列，首项为2，公差为3，
所以an=3n−1；
(2)即求数列{an}，{bn}中各前2n项所有不同元素的和，
数列{an}中前2n项的和为2n(2+6n−1)2=6n2+n，
数列{bn}中前2n项的和为2(1−22n)1−2=2⋅4n−2，
同时其公共项为2，23，25，…，22k−1，则其和为2(1−4k)1−4=23(4k−1)，
其中22k−1为数列{bn}的第2k−1≤2n−1项，
同时数列{an}的第m项，即22k−1=3m−1.
∴集合A中所有元素的和为6n2+n+2⋅4n−2−23(4k−1).
(3)证明：若{an}是“和稳定数列”，
则ak1+ak2+⋯+akj=3(k1+k2+⋯+kj)−j，当j被3整除余1时即可；
若{bn}是“和稳定数列”，
则bk1+bk2+⋯+bkj=bl
即2k1+2k2+⋯+2kj=2l，不妨取k1
故{bn}不是“和稳定数列”．
【解析】(1)利用赋值法，通过求解数列的递推关系式，转化求解即可．
(2)求解前n项和，推出集合A中所有元素的和．
(3)推出ak1+ak2+⋯+akj=3(k1+k2+⋯+kj)−j，当j被3整除余1时即可，2k1+2k2+⋯+2kj=2l，得到2k1+2k2+⋯+2kj≤20+21+⋯+2l−1=1−2l1−2=2l−1<2l，矛盾，推出结果．
本题考查数列的应用，数列求和，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．阅读量
人数
学生类别
[0,10)
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,+∞)
性别
男
7
31
25
30
4
女
8
29
26
32
8
学段
初中
25
36
44
11
高中
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