人教版高中数学必修第二册8.6.2 直线与平面垂直 第1课时 直线与平面垂直的判定 同步练习(含答案)

这是一份人教版高中数学必修第二册8.6.2 直线与平面垂直 第1课时 直线与平面垂直的判定 同步练习(含答案)，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则直线b与平面α所成的角为( )
A.40°B.50°C.90°D.150°
2.已知α,β是不同的平面,m,n是不同的直线,给出下列命题:
①m⊥n,m∥α,α∥β⇒n⊥β;
②m⊥n,m⊥α,α∥β⇒n⊥β;
③m⊥α,n∥β,α∥β⇒m⊥n;
④m⊥α,m∥n,α∥β⇒n⊥β.
其中正确的是( )
A.①②B.②③
C.①④D.③④
3.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于( )
A.平面OABB.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
4.若一条直线与一个平面成72°角,则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角为( )
A.72° B.90°C.108°D.180°
5.如图L8-6-10所示,若斜线段AB的长度是它在平面α上的射影BO的长度的2倍,则AB与平面α所成的角是( )
图L8-6-10
A.60°B.45°
C.30°D.120°
6.如图L8-6-11,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为 P,点P在△AEF 内的射影为O,则下列说法中正确的是( )
图L8-6-11
A.O是△AEF的垂心B.O是△AEF 的内心
C.O是△AEF 的外心D.O是△AEF的重心
7.如图L8-6-12所示,△ABC是等腰三角形,BA=BC,DC⊥平面ABC,AE∥DC,若AC=2,且BE⊥AD,则( )
图L8-6-12
A.AB·BC=1
B.AB·BC=2
C.AE·CD=1
D.AE·CD=2
8. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD,E为CD的中点,则( )
A.A1E⊥DD1B.A1E⊥DB
C.A1E⊥D1C1D.A1E⊥DB1
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.如图L8-6-13所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件 时,有A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况)
图L8-6-13
10.平行四边形ABCD对角线的交点为O,点P在平行四边形ABCD所在平面之外,且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置关系是 .
11.底面边长为a的正四棱锥的体积与棱长为a的正方体体积相等,则正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为 .
12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)如图L8-6-14,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,AD=AB=12BC=1,PA=5,△PBC是正三角形.
(1)求证:AB⊥平面PBC;
(2)求点P到平面ABC的距离.
图L8-6-14
14.(10分)如图L8-6-15所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,BD的中点.
(1)求证:AF⊥平面BB1D1D;
(2)求异面直线EF与BC所成的角的正切值.
图L8-6-15
15.(5分)如图L8-6-16,已知三棱锥A-BCD的所有棱长均相等,点E满足CE=3EB,点P在棱AB上运动.设EP与平面BCD所成的角为θ,则sin θ的最大值为 .
图L8-6-16
16.(15分)已知AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的动点,过动点C的直线VC垂直于圆O所在的平面,D,E分别是VA,VC的中点.
(1)判断直线DE与平面VBC的位置关系,并说明理由;
(2)当△VAB是边长为22的正三角形时,求四面体V-DEB的体积.
参考答案与解析
1.B [解析] 若两条直线平行,则它们与同一平面所成的角相等.因为直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,所以直线b与平面α所成的角为50°.故选B.
2.D [解析] 若m⊥n,m∥α,α∥β,则n∥β或n与β相交,故①错误;若m⊥n,m⊥α,α∥β,则n∥β或n⊂β,故②错误;若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n,故③正确;若m⊥α,m∥n,α∥β,则n⊥β,故④正确.故选D.
3.C [解析] ∵OA⊥OB,OA⊥OC,且OB∩OC=O,∴OA⊥平面OBC.
4.B [解析] 当这个平面内经过斜足的直线l与这条直线在这个平面内的射影垂直时, 直线l与这条直线垂直,所成的角为直角.又因为两直线所成角的取值范围为[0°,90°],所以直线l与这条直线所成角的最大值为90°.故选B.
5.A [解析] ∠ABO即是AB与平面α所成的角.在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cs∠ABO=12,即∠ABO=60°.故选A.
6.A [解析] 由题意可知PA,PE,PF两两垂直,则PA⊥平面PEF,则PA⊥EF.由题意知PO⊥平面AEF,则PO⊥EF,又PA∩PO=P,所以EF⊥平面PAO,所以EF⊥AO.同理可得AE⊥FO,AF⊥EO,所以O为△AEF的垂心.故选A.
7.D [解析] 取AC的中点O,连接OB,OE,记OE与AD的交点为F,则OB⊥AC.∵DC⊥平面ABC,OB⊂平面ABC,∴DC⊥OB,∵DC∩AC=C,∴OB⊥平面ADC,∴OB⊥AD.∵BE⊥AD,OB∩BE=B,∴AD⊥平面BOE,∴AD⊥OE.∵AE∥DC,∴∠DAE=∠ADC,又∠AFE=∠ACD=90°,∴∠AEO=∠CAD,∴tan∠AEO=tan∠CAD,∴AOAE=CDAC,即1AE=CD2,∴AE·CD=2.故选D.
8.B [解析] 连接AE.因为AB=2AD,E为CD的中点,所以ABAD=ADDE=2,所以△ABD∽△DAE,所以∠DAE=∠ABD,所以∠EAB+∠ABD=90°,即AE⊥BD.因为A1A⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1A⊥BD.又A1A∩AE=A,所以BD⊥平面A1AE,所以A1E⊥DB.
9.AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形)
10.垂直 [解析] ∵PA=PC,O是AC的中点,∴PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.又∵AC∩BD=O,∴PO⊥平面ABCD.
11.32 [解析] 记该正四棱锥为S-ABCD,设其高SO=h,则13a2·h=a3,可得h=3a.因为该正四棱锥的侧棱与底面所成的角为∠SCO,且OC=a2,所以tan∠SCO=3aa2=32.
12.33 [解析] 如图所示,连接BD,与AC交于点O,连接D1O,过点D作DE⊥D1O.易知BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角.由题意知AC⊥DB,AC⊥DD1,又DB∩DD1=D,所以AC⊥平面DD1O,可得AC⊥DE,又DE⊥D1O,AC∩D1O=O,所以DE⊥平面ACD1,所以DD1与平面ACD1所成的角为∠DD1O.设正方体的棱长为1,则在Rt△DD1O中,sin∠DD1O=DOD1O=2262=33.
13.解:(1)证明:∵AB=12BC=1,且△PBC是正三角形,∴PB=2.
∵PA=5,∴AB2+PB2=PA2,∴AB⊥PB.
又∵AB⊥BC,PB∩BC=B,PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,∴AB⊥平面PBC.
(2)设点P到平面ABC的距离为h.
由(1)知AB⊥平面PBC,由VP-ABC=VA-PBC,得13S△ABC·h=13S△PBC·AB,
即13×12×1×2×h=13×12×2×2×32×1,解得h=3,
则点P到平面ABC的距离为3.
14.解:(1)证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD,
因为F为BD的中点,所以AF⊥BD.
因为DD1⊥平面ABCD,AF⊂平面ABCD,所以AF⊥DD1.
又DB∩DD1=D,DB⊂平面BB1D1D,DD1⊂平面BB1D1D,
所以AF⊥平面BB1D1D.
(2)连接D1B,D1C,如图所示.
因为E,F分别为DD1,BD的中点,所以EF∥D1B,
故异面直线EF与BC所成的角即为∠D1BC.
又BC⊥平面D1DCC1,D1C⊂平面D1DCC1,
所以BC⊥D1C,所以tan∠D1BC=D1CBC=2.
15.223 [解析] 依题意可知,该几何体为正四面体.设顶点A在底面上的射影是O,则O是底面的中心,连接OB,过P作PH∥AO,交OB于H,连接HE.设正四面体的棱长为4a,PB=x(0