上海市控江中学2024届高三三模数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份上海市控江中学2024届高三三模数学试卷（原卷版+解析版），共23页。试卷主要包含了05， 对于复数，______．， 若排列数，则________， 函数最小正周期为______等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1. 对于复数（i是虚数单位），______．
2. 若排列数，则________
3. 函数最小正周期为______
4. 若数列是首项为1，公比为2的等比数列，记其前n项和为，则______．
5. 在的展开式中，项的系数是______．
6. 若底面半径为1的圆锥的体积为，则该圆锥的高为______．
7. 掷一颗骰子观察其向上一面的点数，在所得点数大于3的条件下，所得点数是偶数的概率为______．
8. 已知向量、满足，，，则______．
9. 设随机变量X服从成功概率为的二项分布，若，，则______．
10. 设，已知函数两个不同的零点、，满足，若将该函数图像向右平移个单位后得到一个偶函数的图像，则______．
11. 设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为______．
12. 对于没有重复数据的样本、、…、，记这m个数的第k百分位数为．若不在这组数据中，且在区间中的数据有且只有5个，则m的所有可能值组成的集合为______．
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13. 已知集合，，或，则（ ）
A. B. C. D.
14. 如图，已知分别是正方体的棱和的中点，由点确定的平面截该正方体所得截面为（ ）
A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形
15. 在平面直角坐标系中，双曲线、的中心在原点，焦点都在x轴上，且与不重合．记、的离心率分别为、，则“”是“与没有公共点”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
16. 正方形区域由9块单位正方形区域拼成，记正中间的单位正方形区域为D．对于边界上的一点P，若点Q在中且线段PQ与D有公共点，则称Q是P的“盲点”，将P的所有“盲点”组成的区域称为P所对的“盲区”．对于边界上的一点M，若在边界上含M在内一共有k个点所对的“盲区”面积与相同，就称M是“k级点”；若在边界上有无数个点所对的“盲区”面积与相同，就称M是一个“极点”．对于命题：①边界正方形的顶点是“4级点”；②边界上存在“极点”．说法正确的是（ ）
A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是假命题，②是真命题D. ①和②都是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17. 在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知.
（1）求角大小；
（2）当，时，求边长和的面积.
18. 如图，在直三棱柱中，，，，D是棱AB上的一点．
（1）若，求异面直线与所成的角的大小；
（2）若，求点B到平面的距离．
19. 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期，一研究团队在当地感染某一种传染病的人群中随机抽取了200名患者，其中潜伏期超过5天的患者人数为80．
（1）为了研究这200名患者中潜伏期超过5天的群体与不超过5天的群体的性别是否有显著性差异，该团队将患者按性别分成两组进行对比，人数分布如下表所示：
请根据表中数据，判断这两类人群的性别有无显著性差异（显著性水平），并说明理由；（附：，其中，）
（2）为了进一步深化研究，该团队拟在当地随机抽取名患者开展个案分析．现用200名患者中潜伏期超过5天的频率值，作为“从当地随机抽取一名患者，其潜伏期超过5天”的概率的估计值．若该团队希望事件“这n名患者中，至少有2人的潜伏期超过5天”发生的概率不低于0.9，同时为了保障个案分析的质量，考虑到时间与成本的制约，希望抽取的患者数尽可能少，则该团队应该抽取多少名患者?
20. 已知抛物线：，P为第一象限内上的一点，直线l经过点P．
（1）设，若l经过的焦点F，求l与的准线的交点坐标；
（2）设，已知l与x轴负半轴有交点M，l与有P、Q两个交点，若将这三个交点从左至右重新命名为A、B、C，有，求出所有满足条件的l的方程；
（3）设，，已知l是在点P处的切线，过点P作直线m使得，R是m与的另一个交点，求出关于s的表达式，并求的最小值．
21. 设函数定义域为．若整数满足，则称与“相关”于．
（1）设，，写出所有与“相关”于的整数；
（2）设满足：任取不同整数，与均“相关”于．求证：存在整数，使得都与“相关”于；
（3）是否存在实数，使得函数，满足：存在，能使所有与“相关”于非零整数组成一个非空有限集？若这样的存在，指出和的大小关系（无需证明），并求出的取值范围；若这样的不存在，说明理由．
控江中学高三三模数学试卷
2024.05
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1. 对于复数（i是虚数单位），______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据给定条件，直接求出复数的虚部即得.
【详解】复数的虚部为2，所以.
故答案为：2
2. 若排列数，则________
【答案】3
【解析】
【详解】 由，所以，解得.
3. 函数的最小正周期为______
【答案】
【解析】
【分析】化简即得解.
【详解】解：由题得，
所以函数的最小正周期为.
故答案为：
4. 若数列是首项为1，公比为2的等比数列，记其前n项和为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用等比数列的前项和公式可求.
【详解】因为等比数列，故，
故答案为：.
5. 在的展开式中，项的系数是______．
【答案】10
【解析】
【分析】求出二项式的展开式的通项，再求出指定项的系数.
【详解】二项式的展开式通项为，
由，得，所以项的系数是.
故答案为：10
6. 若底面半径为1的圆锥的体积为，则该圆锥的高为______．
【答案】9
【解析】
【分析】设出高，利用体积公式得到方程，求出答案.
【详解】设圆锥的高为，故，
解得.
故答案为：9
7. 掷一颗骰子观察其向上一面的点数，在所得点数大于3的条件下，所得点数是偶数的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用条件概率公式求解即可.
【详解】设事件表示“所得点数大于3”，事件表示“所得点数是偶数”，
则，，
所以．
故答案为：.
8. 已知向量、满足，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算即得.
【详解】由，，，得，
所以.
故答案为：
9. 设随机变量X服从成功概率为的二项分布，若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据期望和方差可得关于的方程组，从而可求其值.
【详解】设,则,
所以，故，
故答案为：.
10. 设，已知函数的两个不同的零点、，满足，若将该函数图像向右平移个单位后得到一个偶函数的图像，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据可求，再求出平移后图像对应的解析式，根据其为偶函数可求参数的值.
【详解】令，故即，
故，由题设有，故.
故，
将图像向右平移个单位后所得图象对应的解析式为：
，
整理得到：，
因为为偶函数，故，
所以，
故对无穷多个恒成立，故，
故.
故答案为:
11. 设，若在区间上，关于x不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据在上恒成立，故，分时，满足要求，当时，变形为在上恒成立，构造，，根据函数单调性得到，从而得到，得到答案.
【详解】由题意得在上有意义，故在上恒成立，
故，
当时，，而，满足，符合题意，
当时，，在上恒成立，
令，，
其中在上单调递减，
故，
故，
综上，t的取值范围是，
故答案为：
12. 对于没有重复数据的样本、、…、，记这m个数的第k百分位数为．若不在这组数据中，且在区间中的数据有且只有5个，则m的所有可能值组成的集合为______．
【答案】
【解析】
【分析】就是否为正整数分类讨论，若为正整数，则5个数分别为；若不为整数，则5个数分别为，就的范围分类计算后可得m的所有可能值组成的集合.
【详解】不妨设，因为不在这组数据，故为正整数，
若为正整数，故，其中为正整数，
故，，
因为在区间中的数据有且只有5个，
故这个5个数分别为，故即，
但当时，，此时至少有6个，
故，
当时，即为，共5个，符合；
当时，即为，共6个，不符合；
当时，即为，共7个，不符合；
若为不是整数，故，其中为正奇数，
设，其中为正整数，
则，且，故，
故，，
因为在区间中的数据有且只有5个，
故这个5个数分别为，故即，
但当，，此时至少有6个，
故，
当时，即为，共5个，符合；
当时，即为，共6个，不符合；
当时，即为，共7个，不符合；
综上，符合条件的为，，
故答案为：.
思路点睛：与不等式有关的整数解问题，可先根据区间中含有的整数的个数初步确定参数的范围，再逐个讨论后舍去矛盾的情况即可.
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13. 已知集合，，或，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用并集的意义求出即得.
【详解】集合，，或，
所以.
故选：D
14. 如图，已知分别是正方体的棱和的中点，由点确定的平面截该正方体所得截面为（ ）
A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，取的中点，的中点，的中点，连接，可得过的截面图形.
【详解】解：如图，取的中点，
的中点，的中点，连接，
由正方体的性质可知，
由中位线性质可知，
所以，，
所以，由点确定的平面即为截面，其为六边形．
故选：D．
15. 在平面直角坐标系中，双曲线、的中心在原点，焦点都在x轴上，且与不重合．记、的离心率分别为、，则“”是“与没有公共点”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】由双曲线的离心率计算公式及方程组解的情况，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】设双曲线、的长半轴长分别为，短半轴长分别为，
双曲线：，双曲线：，
若，即，则，即，此时，否则、重合，
显然方程组无解，即双曲线与没有公共点；
令双曲线：，双曲线：，方程组无解，
即双曲线与没有公共点，而，，有，
所以“”是“与没有公共点”的充分不必要条件.
故选：A
16. 正方形区域由9块单位正方形区域拼成，记正中间的单位正方形区域为D．对于边界上的一点P，若点Q在中且线段PQ与D有公共点，则称Q是P的“盲点”，将P的所有“盲点”组成的区域称为P所对的“盲区”．对于边界上的一点M，若在边界上含M在内一共有k个点所对的“盲区”面积与相同，就称M是“k级点”；若在边界上有无数个点所对的“盲区”面积与相同，就称M是一个“极点”．对于命题：①边界正方形的顶点是“4级点”；②边界上存在“极点”．说法正确的是（ ）
A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是假命题，②是真命题D. ①和②都是假命题
【答案】D
【解析】
【分析】设每个小正方形的边长为，求得的值，结合边界的顶点所对的“盲区“面积和区域的三等分点，得到，可判定①是假命题；设，求得，结合函数的单调性，可判定②是假命题．
【详解】解：设每个小正方形的边长为，
当点为区域的一个顶点时，此时，
当点为一个小正方形的一顶点时，如图所示，此时，
可得，所以边界正方形的顶点不是“4级点“，所以①是假命题；
不妨设M为正方形一个顶点，根据正方形对称性不妨设T为过M的边上一点，
设，其中，可得，
设，可得，
令，可得，
当或时，；当时，，
所以函数在，上单调递增，在单调递减，
故不可能有x的无数个值使得相等，
所以在边界上不存在有无数个点所对的“盲区”面积与相同，所以②是假命题．
故选：D.
关键点睛：解答本题的关键是②的真假判断，解答时要注意利用导数判断函数单调性，说明不符合极点定义.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17. 在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知.
（1）求角的大小；
（2）当，时，求边长和的面积.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合及两角和的正弦公式计算化简即可得；
（2）根据正弦定理即可计算出，结合可求出，再使用正弦定理即可得到，再使用面积公式即可得到面积.
【小问1详解】
由正弦定理得，
由于，则，
展开得，
化简得，
则，
所以；
【小问2详解】
由正弦定理，得，即有，
因为，所以是锐角，即，
因为，
所以，
，
所以
.
18. 如图，在直三棱柱中，，，，D是棱AB上的一点．
（1）若，求异面直线与所成的角的大小；
（2）若，求点B到平面的距离．
【答案】（1）；
（2）0或.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，再利用线线角的向量求法求解即得.
（2）由（1）的坐标系，求出点的坐标，平面的法向量坐标，再利用点到平面的距离公式计算即得.
【小问1详解】
在直三棱柱中，，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
由，得，于是，
，
所以异面直线与所成角的余弦为，大小为.
【小问2详解】
令，，点，
则，由，
得，而，解得或，
当时，点与点重合，点B在平面内，因此点B到平面的距离为0；
当时，，，
设平面的法向量，则，
取，得，
而，因此点B到平面的距离，
所以点B到平面的距离为0或.
19. 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期，一研究团队在当地感染某一种传染病的人群中随机抽取了200名患者，其中潜伏期超过5天的患者人数为80．
（1）为了研究这200名患者中潜伏期超过5天的群体与不超过5天的群体的性别是否有显著性差异，该团队将患者按性别分成两组进行对比，人数分布如下表所示：
请根据表中数据，判断这两类人群性别有无显著性差异（显著性水平），并说明理由；（附：，其中，）
（2）为了进一步深化研究，该团队拟在当地随机抽取名患者开展个案分析．现用200名患者中潜伏期超过5天的频率值，作为“从当地随机抽取一名患者，其潜伏期超过5天”的概率的估计值．若该团队希望事件“这n名患者中，至少有2人的潜伏期超过5天”发生的概率不低于0.9，同时为了保障个案分析的质量，考虑到时间与成本的制约，希望抽取的患者数尽可能少，则该团队应该抽取多少名患者?
【答案】（1）无显著差异
（2）9
【解析】
【分析】（1）根据题中列联表，计算值并根据其与的大小比较得出结论；
（2）由题意分析出随机变量服从二项分布，利用对立事件的概率，求出所求概率，建立不等式，解不等式即可得解.
【小问1详解】
零假设：潜伏期超过5天的群体与不超过5天的群体的性别没有显著性差异.
根据列联表数据计算可得：3.414<3.841=
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，
即认为潜伏期超过5天的群体与不超过5天的群体的性别没有显著性差异；
【小问2详解】
由题可知，从当地随机抽取一名患者，其潜伏期超过5天的概率为，
设n名患者中潜伏期超过5天的人数为，则服从二项分布：，
令事件A：n名患者中，至少有2人的潜伏期超过5天，
，
由题意可知，，即，解不等式得，，
所以根据抽取的患者数尽可能少的原则，该团队应该抽取9名患者.
20. 已知抛物线：，P为第一象限内上的一点，直线l经过点P．
（1）设，若l经过的焦点F，求l与的准线的交点坐标；
（2）设，已知l与x轴负半轴有交点M，l与有P、Q两个交点，若将这三个交点从左至右重新命名为A、B、C，有，求出所有满足条件的l的方程；
（3）设，，已知l是在点P处的切线，过点P作直线m使得，R是m与的另一个交点，求出关于s的表达式，并求的最小值．
【答案】（1）；
（2）或；
（3），最小值为.
【解析】
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再求出直线的方程即可得解.
（2）根据给定条件，按、分类，借助中点坐标公式求出点的坐标，再利用直线方程的点斜式求解即得.
（3）求出直线斜率，进而求出直线的方程，与抛物线方程联立求出点的坐标，利用弦长公式求出，再构造函数并利用导数求出最小值.
【小问1详解】
抛物线：的焦点，准线方程为，
则直线的方程为，即，当时，，
所以l与的准线的交点坐标为.
【小问2详解】
设，由，得是线段的中点，
当时，则点，而点在抛物线：，即，解得，
此时直线的方程为，即；
当时，则点，于是，解得，
此时直线的方程为，即，
所以直线的方程为或.
【小问3详解】
设的方程为，而，
由消去得：，显然，
，解得，于是直线的方程，
由消去得，设点的纵坐标为，
由，得，
因此，
设，求导得，
当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
所以，最小值为.
结论点睛：直线l：y=kx+b上两点间的距离；
直线l：x=my+t上两点间的距离.
21. 设函数定义域为．若整数满足，则称与“相关”于．
（1）设，，写出所有与“相关”于的整数；
（2）设满足：任取不同的整数，与均“相关”于．求证：存在整数，使得都与“相关”于；
（3）是否存在实数，使得函数，满足：存在，能使所有与“相关”于的非零整数组成一个非空有限集？若这样的存在，指出和的大小关系（无需证明），并求出的取值范围；若这样的不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3），的取值范围是
【解析】
【分析】（1）直接根据定义解不等式即可；
（2）根据定义可以确定中至多有两个非零数，再直接推知结论；
（3）对命题进行等价转化，然后使用分类讨论方法即可确定的取值范围，并得到.
【小问1详解】
若要整数与“相关”于，即：
由于，故这等价于.
即，得到满足条件的全部为.
【小问2详解】
由题意知，这十个数中，任取其中两个，其乘积都不为正数.
这意味着，这十个数中至多有一个正数，也至多有一个负数.
所以这十个数中至多有两个数不等于零.
假设不全为零，不全为零，也不全为零.
那么这十个数中已经出现了三个不为零的数，矛盾.
所以必定存在整数，使得.
此时，所以都与“相关”于.
【小问3详解】
原条件等价于下列两个命题之一成立：
①存在使得，且集合是非空有限集；
②存在使得，且集合是非空有限集.
设，则，从而当时，当时.
所以在上递增，在上递减，从而.
对求导可得.
若，则当时，由且知；
当时，有.
所以，，从而都不是非空有限集，故此时命题①和②都不成立；
若，则当时，
得；
当时，由有
.
所以在上递减，从而对有.
所以对任意都有，从而命题①不成立；而同时这意味着包含一切非零整数，所以命题②不成立；
若，则当时，由，
得；
当时，由知，从而
，
故，从而一定是有限集.
而，，，
所以，从而一定是非空有限集.
同时，上面已经证明，所以此时命题②成立；
若，则当时，有；
当时，有
所以，，从而都不是非空有限集，故此时命题①和②都不成立.
综上，的取值范围是，且此时存在使得，且集合是非空有限集.
这表明对每个满足条件的，都有.
关键点点睛：本题的关键在于对命题进行转化，并使用分类讨论方法求出取值范围.
潜伏期≤5天
潜伏期>5天
总计
男
67
34
101
女
53
46
99
总计
120
80
200
潜伏期≤5天
潜伏期>5天
总计
男
67
34
101
女
53
46
99
总计
120
80
200