2024年福建省百校联考中考三模数学试题

这是一份2024年福建省百校联考中考三模数学试题，共26页。
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
4．考试活束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作，那么出货4件应记作（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正数和负数，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：∵“正”和“负”相对，
∴进货10件记作，那么出货4件应记作．
故答案为：C．
2. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约3830000公顷、用科学记数法表示3830000是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法，绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为，n为整数位数减1，据此即可解答．
【详解】解：可表示为．
故选：A．试卷源自 每日更新，不到1元，欢迎访问。3. 下列是福建省四个城市试卷源自 每日更新，不到1元，欢迎访问。Lg，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
4. 下面运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
利用合并同类项法则，同底数幂除法法则，幂的乘方法则，完全平方公式逐项判断即可．
【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：B．
5. 如图在数轴上对应的点可能是（ ）

A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】A
【解析】
【分析】估算出的取值范围即可判断在数轴上对应的点．
【详解】解：∵，
∴，
∴在数轴上对应的点可能是点A．
故选：A．
【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，正确估算出的取值范围是解答本题的关键．
6. 将二次函数的图像向右平移2个单位长度，所得函数图像的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图像的平移变换，“左加右减，上加下减”，根据所得的顶点式，即可求解，
本题考查了图像的平移变换，解题的关键是：熟记变换规则．
【详解】解：将二次函数的图像向右平移2个单位长度，得：，
平移后的函数图像顶点坐标为：，
故选：．
7. 如图，过外一点作圆的切线，，点为切点，为直径，设，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，四边形内角和定理．连接，由切线的性质可得，由四边形内角和定理得到，再由等边对等角和三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

由切线的性质可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
8. 如图，在平面直角坐标系，点的坐标为是由绕点逆时针旋转得到的，是由向右平移得到，点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，平移的性质，旋转的性质．作轴于点，在中，利用三角函数求得和的长，据此即可求解．
【详解】解：作轴于点，由题意得，，，

∵，
∴，，
在中，，，
∴，
∴点的坐标为，
故选：A．
9. 如图，是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果的网状图，以O为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：
①甲和乙的动手操作能力都很强；
②缺少探索学习的能力是甲自身的不足；
③与甲相比乙需要加强与他人的沟通合作能力；
④乙的综合评分比甲要高．
其中合理的是（ ）
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据甲、乙两位员工的能力测试结果的网状图一一判断即可得到答案．
【详解】解：因为甲、乙两位员工的动手操作能力均是5分，故甲乙两人的动手操作能力都很强，故①正确；
因为甲探索学习的能力是1分，故缺少探索学习的能力是甲自身的不足，故②正确；
甲的与他人的沟通合作能力是5分，乙的与他人的沟通合作能力是3分，故与甲相比乙需要加强与他人的沟通合作能力，故③正确；
乙的综合评分是：3+4+4+5+5=22分，甲的综合评分是：1+4+4+5+5=19分，故乙的综合评分比甲要高，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查图象信息题，能从图象上获取相关的信息是解题的关键．
10. 已知，设函数．直线的图象与函数的图象分别交于点下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数的图象和性质，按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可．
【详解】解：，，
如图所示，
A．由图象可知，当时，，故选项错误，不符合题意；
B．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意；
D．由图象可知，当时，，故选项正确，符合题意；
故选D
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 请写出一个比大的无理数_____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
写一个比大的无理数，只要被开方大于16的所有的数，并且开不尽方的即可．
【详解】解：比大的无理数，
故答案为：．
12. 因式分解：________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（是正五边形的五个顶点），则图中的度数是_______度．
【答案】36
【解析】
【分析】根据题意，得五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，且；根据多边形内角和性质，得正五边形内角和，从而得；再根据补角、等腰三角形、三角形内角和性质计算，即可得到答案．
【详解】∵正五角星（是正五边形的五个顶点）
∴五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，且
∴正五边形内角和为：
∴
∴
∵
∴
∴
故答案：36．
【点睛】本题考查了正多边形、多边形内角和、补角、等腰三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形、多边形内角和、等腰三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．
14. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有______．
【答案】
【解析】
【分析】利用频率估计概率得到摸到白球的概率为，然后根据概率公式计算出黄球，再求白球即可．
【详解】解：设袋子中白球有个，
根据题意，得：
，
解得：，
则，
即布袋中白球可能有个，
故答案为．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
15. 如图所示，点是反比例函数图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性．此题是一道综合题，既要能熟练正确求出圆的面积，又要会用待定系数法求函数的解析式．根据和勾股定理，求出圆的半径，进而表示出圆的面积，再根据圆的面积等于阴影部分面积的四倍，求出圆的面积，建立等式即可求出的值，从而得出反比例函数的解析式．
【详解】解：由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为圆面积，
则圆的面积为．
因为在第一象限，则，，
根据勾股定理，．
于是，，（负值舍去），故．
点坐标为．
将代入，
得：．
故答案为：12．
16. 如图，在矩形中，其中平分，交于点，交于点，以为边，作．则下列结论：

①；②矩形的面积等于的面积；③；④四边形是正方形；
其中一定正确的结论是______．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识．由矩形的性质和角平分线的性质可得是等腰直角三角形，即，利用证，可得，进而说明四边形是正方形；利用等角的余角相等证明；求得，不能比较与的大小关系，则；设，，则，求得，，说明②不正确．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，且，
∴四边形是矩形，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，④说法正确；
∵，，
∴，①说法正确；
∵，
∴，
∵，不能比较与的大小关系，
∴，③说法不正确；
∵，四边形是正方形，
∴，
设，，则，
∴
∴，，
∵，②说法不正确；
综上，一定正确的结论是①④；
故答案为：①④．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为．
18. 如图，在中，，，于点E，且．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】通过“”证明，即可求解．
【详解】证明：∵
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中
∴
∴
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
19. 先化简，再求值；，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
20. 近年来，我国芯片产业发展迅速，在一些芯片制造的关键技术方面取得了一些突破性进展，芯片可靠性试验是提升产品质量的重要手段，主要分为环境试验和寿命试验两个大项，某研发中心对40件芯片进行可靠性试验，试验结果分项评估并分为A、B、C、D四个等级，统计情况如下表：
（1）若按等级A、B、C、D赋分分别为50分、40分、30分、20分．请以平均分为依据，判断这批芯片在“环境试验”、“寿命试验”这两项哪项表现更好；
（2）已知这批芯片可靠性试验中，有两件芯片在两项试验均为A级．在至少一项试验为A级的芯片中，随机抽取两件进行深入研究，试求出抽到两项试验均为A级的概率．
【答案】（1）这批芯片在“寿命试验”方面表现更好；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据加权平均数公式求出平均数即可解答；
（2）画出树状图，根据树状图求解．
【小问1详解】
“环境试验”的平均分为：
，
“寿命试验”的平均分为：
，
∵，
∴这批芯片在“寿命试验”方面表现更好．
【小问2详解】
∵这批芯片中，有2件芯片在两项试验均为A级，
∴还有2件芯片只有一项试验为A级．
设这4件芯片分别：甲、乙、丙、丁；
甲、乙是两项试验均为A级的芯片画树状图如图：
，
共有12种等可能的结果，其中甲乙、乙甲2种两项试验均为A级，
∴，
∴抽到两项试验均为A级的概率是．
【点睛】本题考查了加权平均数，列表法或画树状图法求概率，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
21. 在爱心义卖活动中，厦门一中科创社团准备了小坦克模型（记作A）和工程车模型（记作B）共100台，若售出3台A模型和2台B模型收入130元，售出4台A模型和3台B模型收入180元．
（1）求两种模型的售价各是多少元；
（2）已知A模型的数量不超过B模型的2倍，在可以全部售出的情况下，准备两种模型各多少台的时候总收入最多，并求出总收入的最大值．
【答案】（1）A、的售价分别是30元和20元
（2）型66台，型34台，收入最大值为2660元
【解析】
【分析】（1）设A、的售价分别是元和元，根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设准备A型台，总收入为w元，根据（1）的答案即可求得w关于m的一次函数，根据A模型的数量不超过B模型的2倍建立不等式，可求出m的取值范围，再结合一次函数的性质即可求得答案．
小问1详解】
解：设A、的售价分别是元和元，
根据题意得：
解方程组得：，
答：A、的售价分别是30元和20元；
【小问2详解】
解：设准备A型台，总收入为w元，则
，
解不等式得：，且取整数，
根据题意得：，
，随增大而增大，
当时，有最大值：．
此时，，
型66台，型34台，收入最大值为2660元．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是根据题意建立正确二元一次方程和掌握一次函数的性质．
22. 如图是一张矩形纸片，对角线与相交于点．

（1）如图1中，在边上求作一点，使得沿着折叠后，点落在线段上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图2中，在（1）的条件下，点的对应点为点，若，求的值．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）点的对应点为，则有，以为圆心，长为半径画弧，交线段于，折痕是对应点的连线段的垂直平分线，作的垂直平分线即可求解；
（2）可证，从而可得，设，，可得，从而可求解．
【小问1详解】
解：

如图，是所求作的点．
【小问2详解】
解：如图，

四边形是矩形，
，，
，
，
，
由折叠得：，
，
，
，
，
设，，则有
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
，
．
【点睛】本题考查了尺规作图，折叠的性质，矩形的性质，三角形相似的判定及性质，解一元二次方程，掌握作法，相关判定方法及性质是解题的关键．
23. 【综合实践活动】
【问题背景】
小亮想测量他家门口水塘两个端点A，B长度（如图1），但是小亮找不足够长度的的绳子，小亮寻求哥哥的帮助．
【理论准备】
哥哥帮他出了这样一个方法：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度（如图2），请你帮小亮说明的长度等于水塘两个端点长度的原因；
【实际操作】
小亮实际测量时发现但是由于房屋的阻挡，无法采用上述的方法进行测量，哥哥提出仍然可以计算出长度（如图3），方法如下：
（1）在房屋M墙边找一点C，使得；
（2）在院子里找一点E，使得：此时发现；
（3）测量出B到房屋M墙的距离，即：，；
（4）测量出A到的距离，即：AE⊥CE，，同时发现；
经过以上的方法可以计算出的长度．
请根据哥哥的思路提示，帮助小亮完成计算出的长度：
解：如图4，延长至F，使得，连接．
……
【成果迁移】
如图5，海警船甲在指挥中心（A处）北偏西的B处，一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的C处，并且两艘船到指挥中心A的距离相等（），可疑船只沿北偏东的方向以20海里/小时的速度行驶，指挥中心命令海警船甲从B点向正东方向以30海里/小时的速度追击，两船前进3小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达D，E处，且两船和指挥中心形成的夹角为，（），请直接写出此时甲、乙两船之间的距离．
【答案】理论准备：见详解；实际操作：；成果迁移：150海里
【解析】
【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确理解题意，做出辅助线解答．
（理论准备）：证明，即可求解；
（实际操作）：证明，得出再证明根据即可求解；
（成果迁移）：延长并截取，证明，
，根据即可求解；
【详解】（理论准备）：在和中
，
，
；
（实际操作）：
证明：由题意可得，
在和中
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
；
（成果迁移）：延长并截取，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
海里．
24. 已知抛物线过点．若该抛物线上任意不同两点，都满足：当时，；当时，．过点的直线与该抛物线交于两点，过点分别作轴于点轴于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求证：三点共线：
（3）分别用表示的面积，对于下列三个等式①．②，③中，实数有且只有一个为定值．请直接写出这个实数及其定值，不必说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）为定值，
【解析】
【分析】（1）根据题意可知抛物线的对称轴是y轴，然后利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）解一次函数和二次函数联立的方程组求出点A和B的坐标，然后表示出和，然后得到，即可得到三点共线；
（3）根据垂直得到，推导出，然后得到，再根据同底等高三角形的面积比等于底的比得到，，即可得到，即可得到结论．
【小问1详解】
解：∵当时，；当时，，
∴抛物线的对称轴为y轴，
∴，
把代入得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
证明：设过点P的直线解析式为，
把代入得，
∴，
解方程组得，，
不妨设A点坐标为，B点坐标为，
点的坐标为，
∴，
，
∴，
∴，
∴三点共线；
【小问3详解】
解：②为定值，
∵轴，轴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，且．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数和一次函数的交点问题，正切的计算，相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
25. 如图，在中，，，是由绕点顺时针旋转得到，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．
（1）求证：；
（2）若是等腰三角形，直接写出的度数；
（3）当三点共线时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）的度数为或或；
（3）．
【解析】
【分析】（1）利用证明，即可得到；
（2）分、和三种情况讨论，画出图形，利用等边三角形或矩形或正方形的性质求解即可；
（3）作，利用等腰三角形的性质求得，，利用证明，推出，再利用正切函数的定义即可求解．
小问1详解】
证明：由题意得，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：当时，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
当时，作，，垂足分别为，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴；
综上，的度数为或或；
【小问3详解】
解：作，垂足为，
∵，
∴，，
∵，
∵三点共线，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确引出辅助线、分类讨论解决问题是解题的关键．等级
A
B
C
D
环境试验（件）
3
10
19
8
寿命试验（件）
3
13
15
9