2024成都中考数学二轮复习专题：PA-PB最大值模型

这是一份2024成都中考数学二轮复习专题：PA-PB最大值模型，共11页。试卷主要包含了方法突破，典例精析，中考真题对决等内容，欢迎下载使用。

1．口诀：同侧差最大
2．图形：如图 1 所示，A、B 为定点，P 为 l 上一动点，试求 的最大值与最小值．
解析 1：“最大值”
两边只差小于第三边， ≤AB，当 A、B、P 三点共线时，取等号
② 所以连接 BA 并延长与 l 的交点即为所求点
解析 2：“最小值”
① 绝对值具有非负性 ≥0，当 AP＝PB 时成立
② P 为 AB 中垂线与 l 的交点．
二、典例精析：
例一：如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2的顶点为A，与y轴交于点B．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若点P是x轴上任意一点，求证：PA﹣PB≤AB；
（3）当PA﹣PB最大时，求点P的坐标．
【分析】（1）把抛物线解析式的一般式写成顶点式，可求顶点A坐标，令x＝0，y＝2，可得B点坐标；
（2）当A、B、P三点共线时，PA﹣PB＝AB，当三点不共线时，根据“三角形的两边之差小于第三边”可证结论；
（3）通过分析可知，PA﹣PB最大时，A、B、P三点共线，求直线AB解析式，令y＝0，可得P点坐标．
【解答】（1）解：抛物线y＝﹣x2﹣x+2与y轴的交于点B，
令x＝0得y＝2．
∴B（0，2）
∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+2）2+3
∴A（﹣2，3）
（2）证明：当点P是AB的延长线与x轴交点时，
PA﹣PB＝AB．
当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，
在点P、A、B构成的三角形中，PA﹣PB＜AB．
综合上述：PA﹣PB≤AB
（3）解：作直线AB交x轴于点P，由（2）可知：当PA﹣PB最大时，点P是所求的点
作AH⊥OP于H．
∵BO⊥OP，
∴△BOP∽△AHP
∴
由（1）可知：AH＝3、OH＝2、OB＝2，
∴OP＝4，
故P（4，0）．
注：求出AB所在直线解析式后再求其与x轴交点P（4，0）等各种方法只要正确也相应给分．
例二：如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；
【分析】（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c，即可求解；
（2）分当点B、C、M三点不共线时、当点B、C、M三点共线时，两种情况分别求解即可；
【解答】解：（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：
，解得：，
∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；
（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，
∵A （0，3），∴B（﹣4，1）
①当点B、C、M三点不共线时，
|MB﹣MC|＜BC
②当点B、C、M三点共线时，
|MB﹣MC|＝BC
∴当点B、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，
如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝＝，
∴|MB﹣MC|取最大值为；
三、中考真题对决：
1.已知抛物线y1＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）经过点（0，﹣3），顶点为M，将抛物线y1向上平移b个单位可使平移后得到的抛物线y2经过坐标原点，抛物线y2的顶点为A，与x轴的另一个交点为B．
（1）求a的值；
（2）①b＝ ，②抛物线y2的函数表达式是 ；
（3）①点P是y轴上一点，当|PA﹣PB|的值最大时，求点P的坐标；
【分析】（1）将（0，﹣3）代入y1＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）中，即可求得a的值．
（2）抛物线y1经过（0，﹣3），向上平移后经过原点即可（0，0），因此抛物线向上平移了3个单位，根据“上加下减”的平移规律即可得出y2的函数表达式．
（3）①当P、A、B三点不在同一直线上时，能构成△PAB，由三角形三边关系定理不难看出|PA﹣PB|＜AB；若P、A、B三点共线时，|PA﹣PB|＝AB，显然当|PA﹣PB|的值最大时，P、A、B三点共线，所以直接求出直线AB的解析式，该直线与y轴的交点即为符合条件的P点；
【解答】解：（1）抛物线y1＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）经过点（0，﹣3），可得：
﹣3＝a（0﹣2）2﹣4，
解得：a＝．
（2）∵经过（0，﹣3）的抛物线y1向上平移，经过（0，0）得到抛物线y2，
∴向上平移了3个单位，即b＝3；
故抛物线y2：y2＝（x﹣2）2﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．
（3）①∵|PA﹣PB|≤AB，且当且仅当P、A、B共线时取等号，
∴|PA﹣PB|的值最大时，P、A、B共线；
由（2）的抛物线解析式知：A（2，﹣1）、B（4，0），设直线AB的解析式：y＝kx+b，有：
，
解得
故直线AB：y＝x﹣2，则P（0，﹣2）．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y＝x与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使|PA﹣PB|取得最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【分析】（1）设函数解析式为y＝a（x﹣2）2，将点（4，1）代入，即可求解析式；
（2）联立方程求出A（1，），B（4，1），对称轴x＝2，点A关于对称轴的对称点为A'（3，），当点P，A'，B共线时，|PA﹣PB|取得最大值；待定系数法求出直线A'B的解析式y＝x﹣2，即可求点P；
【解答】解：（1）设函数解析式为y＝a（x﹣2）2，
将点（4，1）代入，
得到a＝，
∴y＝（x﹣2）2，
（2）y＝（x﹣2）2与y＝x的交点A（1，），B（4，1），
对称轴x＝2，
点A关于对称轴的对称点为A'（3，），
当点P，A'，B共线时，|PA﹣PB|取得最大值；
设直线A'B的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∴P（2，﹣）；
3.如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据对称性，可得MC＝MD，根据解方程组，可得B点坐标，根据两边之差小于第三边，可得B，C，M共线，根据勾股定理，可得答案；
【解答】解：（1）将A（0，3），C（﹣3，0）代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式是y＝x2+x+3；
（2）由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称，
∴对l上任意一点有MD＝MC，
联立方程组，
解得（不符合题意，舍），，
∴B（﹣4，1），
当点B，C，M共线时，|MB﹣MD|取最大值，即为BC的长，
过点B作BE⊥x轴于点E，
在Rt△BEC中，由勾股定理，得
BC＝＝，
|MB﹣MD|取最大值为；
4.（2021•鄂州）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，点是线段上一动点（不与点、重合）．
（1）请直接写出点、点、点的坐标；
（2）连接，在第一象限内将沿翻折得到，点的对应点为点．若，求线段的长；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为点．
①若点在内部（不包括边），求的取值范围；
②在平面直角坐标系内是否存在点，使最大？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点，点坐标，由中点坐标公式可求点坐标；
（2）过点作于，由折叠的性质可得，可得，即可求解；
（3）①先求出顶点的坐标为，可得点是直线上一点，即可求解；
②作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时最大，利用待定系数法求出的解析式，联立方程组可求解．
解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
点，点，
点是线段中点，
点；
（2）过点作于，
将沿翻折得到，，
，，
，
点，
，，
，
点，
，
，
即的长为1；
（3）①，
顶点的坐标为，
点是直线上一点，
，，
当时，，
又点在直线上，
当点在内部（不含边）时，的取值范围是；
②存在点使最大，
理由如下：，，
点，
如图3，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时最大，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
联立方程组可得，
解得：，
点坐标为．