2024安徽省皖东县中联盟高二下学期5月月考试题数学含解析

这是一份2024安徽省皖东县中联盟高二下学期5月月考试题数学含解析，共13页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，若随机变量X的分布列为等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线的焦距为（ ）
A．B．C．D．
2．设某制造公司进行技术升级后的第x个月（）的利润为y（单位：百万元），根据统计数据，求得y关于x的经验回归方程为，若时的观测值，则时的残差为（ ）
A．B．1C．3D．6
3．的展开式中项的系数为（ ）
A．15B．20C．D．
4．李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（ ）
A．180B．360C．720D．1440
5．若随机变量X的分布列为
则（ ）
A．B．C．D．0
6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中依次取出3个不同数字a，b，c，若a，b，c成等差数列，则不同的取法种数为（ ）
A．16B．24C．32D．48
7．甲、乙两人玩剪子包袱锤游戏，若每次出拳甲胜与乙胜的概率均为，且两人约定连续3次平局时停止游戏，则第7次出拳后停止游戏的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．若直线l与曲线、曲线分别切于点，，则取最大值时，的值为（ ）
A．eB．1C．D．0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知某地10月份第x天的平均气温为y（单位：℃），x，y线性相关，由x，y的前7天样本数据求得的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．x，y负相关
B．第8天的平均气温为18℃
C．前7天平均气温的平均数为19℃
D．若剔除偏离经验回归直线最大的一个异常点，则相关系数变大
10．已知某品牌的一种型号的LED灯的使用寿命X（单位：小时）服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）
参考数据：若，则，．
A．该型号LED灯的平均使用寿命是60000小时
B．
C．
D．
11．已知四棱柱的所有棱长均为2，点E为BC的中点，点F为的中点，点G为的中点，且AE，AD，两两垂直，过点G的平面与直线CD，，BC分别交于点H，M，N，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．平面ACG与平面AEF夹角的余弦值为
C．若平面，则线段MN的长度为
D．当点F到平面的距离最大时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．小李同学准备从4本讲义类图书与5本试卷类图书中选3本购买，则讲义类图书与试卷类图书至少各选1本的选择方法种数为________．
13．设随机变量，其中且，，若，，则________．
14．一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为．记第n次向左跳动的概率为，则________；________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知．
（1）若，求的值；
（2）若，求m的值．
16．（本小题满分15分）
通过调查，某市小学生、初中生、高中生的肥胖率分别为2%，3%，3%．已知该市小学生、初中生、高中生的人数之比为，若从该市中小学生中，随机抽取1名学生．
（1）求该学生为肥胖学生的概率；
（2）在抽取的学生是肥胖学生的条件下，求该学生为高中生的概率．
17．（本小题满分15分）
随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径．某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表：
（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？
（2）记2020~2024年的年份代码x依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模y（单位：亿元）与x的统计数据：
根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，求相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值．
参考公式：，其中，．
回归方程，其中，，，相关系数．若，则认为经验回归方程有价值．
18．（本小题满分17分）
2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票．
（1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X，求X的分布列与期望；
（2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由：
①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？
②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？
19．（本小题满分17分）
从中选取个不同的数，按照任意顺序排列，组成数列，称数列为的子数列，当时，把的所有不同值按照从小到大顺序排成一列构成数列，称数列为的子二代数列．
（1）若的子数列是首项为2，公比为2的等比数列，求的子二代数列的前8项和；
（2）若的子数列是递增数列，且子二代数列共有项，求证：是等差数列；
（3）若，求的子二代数列的项数的最大值．
2023~2024学年第二学期安徽县中联盟高二5月联考·数学试题
参考答案、提示及评分细则
1．【考点定位】考查双曲线的几何性质．
【考核目标】考查运算求解能力．
【解题思路】在双曲线中，，，，所以焦距为．故选B．
【参考答案】B
2．【考点定位】考查线性回归．
【考核目标】考查运算求解能力，数据处理能力．
【解题思路】因为时的预测值为，所以残差为．故选B．
【参考答案】B
3．【考点定位】考查二项式定理．
【考核目标】考查运算求解能力．
【解题思路】的二项展开式的通项，令，得，所以的展开式的项的系数为．故选A．
【参考答案】A
4．【考点定位】考查排列组合．
【考核目标】考查运算求解能力，解决问题能力．
【解题思路】若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为．故选D．
【参考答案】D
5．【考点定位】考查离散型随机变量的分布列与均值．
【考核目标】考查运算求解能力，解决问题能力．
【解题思路】由题意，得，所以，．故选B．
【参考答案】B
6．【考点定位】考查排列组合与等差数列．
【考核目标】考查运算求解能力，解决问题能力．
【解题思路】若取出的3个数a，b，c成等差数列，则a与c同为偶数或同为奇数，所以a，b，c的不同的取法种数为．故选C．
【参考答案】C
7．【考点定位】考查概率．
【考核目标】考查运算求解能力，解决问题能力．
【解题思路】记第i次出拳是平局为事件，则，记第7次出拳后停止游戏为事件A，则，所以．故选D．
【参考答案】D
8．【考点定位】考查函数图象的切线．
【考核目标】考查运算求解能力，推理论证能力，解决问题能力．
【解题思路】因为，，直线l与曲线切于点，与曲线切于点，所以直线l的斜率，整理，得，设，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以的最大值为1，当时，，，．故选C．
【参考答案】C
9．【考点定位】考查线性回归．
【考核目标】考查运算求解能力，数据处理能力，解决问题能力．
【解题思路】因为，所以A正确；第8天的平均气温的预测值为18℃，但实际值不一定是18℃，B错误；由，及在经验回归直线上，得，C正确；因为x，y负相关，所以相关系数，剔除偏离经验回归直线最大的一个异常点后，变大，但r变小，D错误．故选AC．
【参考答案】AC
10．【考点定位】考查正态分布．
【考核目标】考查运算求解能力．
【解题思路】由可得A正确；，B错误；由，可得C正确；，D正确．故选ACD．
【参考答案】ACD
11．【考点定位】考查立体几何与空间向量．
【考核目标】考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力．
【解题思路】对于A，如图所示，四边形ABCD是边长为2的菱形，所以，又，所以，又E为BC的中点，所以，，故A正确；对于B，以A为原点，AE，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由，，，，得，，设平面ACG的法向量，则，即，取，得，因为，，设平面AEF的法向量，则，即，取，得，所以平面ACG与平面AEF夹角的余弦值为，故B正确；对于C，，因为M，N分别在直线，BC上，所以可设，，所以，，因为平面，平面，平面，所以，，即，，解得，，所以，，，故C正确；对于D，当时，点F到平面的距离最大，因为平面与直线CD交于点H，设，则，，由，得，，故D错误．故选ABC．
【参考答案】ABC
12．【考点定位】考查排列组合．
【考核目标】考查运算求解能力，解决问题能力．
【解题思路】讲义类图书与试卷类图书至少各选1本的选择方法种数为．
【参考答案】70
13．【考点定位】考查二项分布的均值与方差．
【考核目标】考查运算求解能力，解决问题能力．
【解题思路】因为，所以，，，由，得，所以，，由，得，即，解得，所以，．
【参考答案】
14．【考点定位】考查概率与数列的综合．
【考核目标】考查运算求解能力，抽象概括能力，推理论证能力，解决问题能力．
【解题思路】由题意，得，，，由，设，则，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，，所以．
【参考答案】（2分） （3分）
15．【考点定位】考查二项式定理．
【考核目标】考查运算求解能力．
【解题思路】第（1）问通过赋值法求系数和；第（2）问通过二项式定理的通项求参数值．
【参考答案】解：（1）在中，取，得，
2分
取，得， 4分
以上两式相减，得． 6分
（2）的通项为， 8分
若，则， 10分
所以，解得或． 13分
16．【考点定位】考查全概率与条件概率．
【考核目标】考查运算求解能力，解决问题能力．
【解题思路】第（1）问通过全概率公式求概率；第（2）问通过条件概率公式求概率．
【参考答案】解：记“任取1名中小学生是肥胖学生”，“学生为小学生”，“学生为初中生”，“学生为高中生”． 1分
则，且，，两两互斥， 2分
由题意得，，， 3分
，，． 5分
（1）由全概率公式，得，
即随机抽取1名学生，该学生为肥胖学生的概率为0.025． 8分
（2）“抽取的学生是肥胖学生且为高中生”，
则， 11分
所以，
即在抽取的学生是肥胖学生的条件下，该学生为高中生的概率为0.24． 15分
17．【考点定位】考查独立性检验，线性回归中相关系数．
【考核目标】考查运算求解能力，数据处理能力，解决问题能力．
【解题思路】第（1）问先求，再通过独立性检验判断分类变量是否有关联；第（2）问通过给出的经验回归方程求相关系数，再判断．
【参考答案】解：（1）列联表如下：
3分
零假设“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”无关联， 4分
因为， 6分
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05． 8分
（2）由x的取值依次为1，2，3，4，5，得，， 10分
因为经验回归方程为，
所以，
所以， 12分
所以． 14分
因为，所以该经验回归方程有价值． 15分
18．【考点定位】考查离散型随机变量的分布列．
【考核目标】考查运算求解能力，数据处理能力，解决问题能力．
【解题思路】第（1）问先求随机变量的分布列，再求期望；第（2）问通过随机变量的期望求总收入，再判断总收入是否增加．
【参考答案】解：（1）由题意得X的取值可以是10，15，20，35，40，65，70，90． 1分
，，
，，
，，
，， 5分
所以X的分布列为
7分
． 9分
（2）①假设不举行抽奖活动，该景区在五一期间客流量为n人，则门票收入为120n元， 10分
举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入为， 12分
所以举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入减少了． 13分
②每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，
则期望值为． 14分
不举行抽奖活动，该景区在五一期间总收入为， 15分
举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入为， 16分
所以举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入增加了． 17分
19．【考点定位】考查数列中新概念问题．
【考核目标】考查运算求解能力，抽象概括能力，推理论证能力，解决问题能力．
【解题思路】第（1）问通过子二代数列的概念求数列的前8项和；第（2）问通过子二代数列的概念和递增数列，以及子二代数列中共有项判断出，从而证明出是等差数列；第（3）问通过构造子数列，证明互不相等，从而得到子二代数列的项数的最大值为．
【参考答案】（1）解：由题意，得， 1分
所以数列的前8项依次为：2，4，6，8，12，14，16，24， 2分
因为，
所以数列的前8项和为86． 4分
（2）证明：因为是递增数列，且共有项，
所以， 5分
所以，，，…，这个数互不相等，且都是中的项， 6分
同理，， 7分
所以，，，…，，这个数互不相等，且都是中的项，
又中共有项，所以，，…，， 9分
所以，
所以是等差数列． 10分
（3）解：因为，当时，的结果共有个， 11分
设，则， 12分
若存在，，，使得，则，
所以， 14分
若，设，则，
是偶数，是奇数，矛盾，
所以，， 16分
所以的4950个结果可以互不相等，
所以的项数的最大值为4950． 17分X
0
1
P
q
3q
年龄不超过40岁
年龄超过40岁
合计
是微短剧消费者
30
45
不是微短剧消费者
合计
100
200
年份代码x
1
2
3
4
5
市场规模y
9.4
36.8
101.7
373.9
m
年龄不超过40岁
年龄超过40岁
合计
是微短剧消费者
30
15
45
不是微短剧消费者
70
85
155
合计
100
100
200
X
10
15
20
35
40
65
70
90
P