2024濮阳新高中创新联盟TOP20名校高一下学期5月调研考试数学含解析

这是一份2024濮阳新高中创新联盟TOP20名校高一下学期5月调研考试数学含解析，共13页。

数 学
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．B．C．或D．或
2．在中，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（ ）
A．9B．13C．15D．18
4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
5．在中，内角，，的对边分别为，，，则“”是“为直角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
6．已知圆锥的母线长度为6，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为，则此圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．为了测量、两岛屿之间的距离，一艘测量船在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶48海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿之间的距离为（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
8．如图，已知正六边形的边长为6，以该正六边形的中心为圆心，2为半径作圆，点是圆上的一点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．复数在复平面内对应的点位于第一象限D．的共轭复数为
10．在正四棱台中，，且该四棱台的体积为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．该四棱台的表面积为32
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．直线与所成角的余弦值为
11．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则角的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______．
13．已知复数满足，则______．
14．已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球的球面上，，点为棱的中点，点是侧面内的一点，且平面，则线段的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，是等边三角形，，点是棱的中点．
（1）设平面与平面的交线为，求证：；
（2）求证：平面平面．
17．（本小题满分15分）
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若点为的中点，，，求的周长．
18．（本小题满分17分）
如图，在中，，，点是线段的中点，点是线段上的一点，，与交于点，且，点是线段上的一点．
（1）求与的夹角；
（2）求的大小；
（3）求的取值范围．
19．（本小题满分17分）
如图，在三棱柱中，是等边三角形，，，平面平面，点，，分别为棱，，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的正切值．
新高中创新联盟TOP二十名校高一年级5月调研考试・数学
参考答案、提示及评分细则
1．A 因为复数是纯虚数，所以解得．故选A．
2．B 在中，若，，，由正弦定理得：．故选B．
3．C 因为，，，所以，，又因为，，三点共线，所以，即，所以解得，．故选C．
4．D 若，，则或，故A错误；若，，，则与可能平行，可能相交，可能异面，故B错误；若，，，则与可能平行，可能相交，故C错误；两条平行直线，其中一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直，故D正确．故选D．
5．A 因为，由正弦定理可得，所以，所以，所以，因为，，所以，，则，为直角三角形，但为直角三角形时不一定是，所以“”是“为直角三角形”的充分不必要条件．故选A．
6．B 设圆锥的顶点为，记点是底面圆周上的一点，作出圆锥侧面展开图如图所示：
又蚂蚁爬行的最短路程为，故，又，所以，所以．设圆锥底面半径为，高为，则，解得，所以，所以圆锥的体积．故选B．
7．D 根据题意画出图形，如图所示：
由题意知，，，所以，在中，由正弦定理得：解得，又，，所以，，又，在中，由余弦定理得：，解得，所以、两岛屿之间的距离为海里．故选D．
8．B 以为坐标原点，所在的直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则，，设，所以，，所以，又，所以，即的取值范围是．故选B．
9．AC 因为复数满足，所以，故A正确；，故B错误；复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C正确；的共轨复数为，故D错误．故选AC．
10．ACD 设该四棱台的高为，所以，解得，记上、下底面的中心分别，，连接，，，如图所示，则平面．在直角梯形中，，，，取中点，连接，如图所示，则，，，，故A正确；在梯形中，，，所以梯形的面积为，所以该四棱台的表面积为，故B错误；易得平面，则是直线与平面所成的角，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，故C正确；连接，，如图所示，易得，所以为直线与所成的角或补角．在中，易得，，，由余弦定理得，所以直线与所成角的余弦值为，故D正确．故选ACD．
11．ACD 因为是锐角三角形，所以，所以，所以，所以，同理可得，所以，故A正确；因为是锐角三角形，所以，所以，所以，又，，所以，故B错误；因为是锐角三角形，所以，所以，所以，所以，又，所以，，所以，故C正确；因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，又，所以角的最大值为，故D正确．故选ACD．
12． 因为向量，且，那么，所以向量在向量上的投影向量的坐标为．
13． 设，，所以，又，所以，，，所以，又，所以．
14． 设正三棱柱的外接球的半径为，的外接圆的半径为，所以，解得，又，解得，又，即，解得．取的中点，取的中点，连接，，，如图所示，所以，又平面，平面，所以平面，又为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又点是侧面内一点，且平面，所以在线段上．所以当时，此时线段取得最小值，所以，即线段的最小值为．
15．解：（1）因为，，解得，，
所以，，
又，所以，
解得．
（2）由（1）知，又，
所以，
解得．
16．证明：（1）因为，平面，平面，所以平面，
又平面平面，平面，所以．
（2）取的中点，连接，，如图所示．在中，，点是的中点，所以．
因为是等边三角形，点是的中点，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以．
又，，平面，所以平面，
又平面，所以．
因为是等边三角形，点是棱的中点，所以，又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
17．解：（1）因为，由正弦定理得，所以，所以，所以，所以，
又，所以，所以，
又，所以．
（2）因为点为的中点，所以，
所以，
即，
解得或（舍）．
在中，由余弦定理得，
即，所以，
所以的周长．
18．解：（1）设与的夹角为，
由题意知，，
所以
，
解得，又，所以，即与的夹角为．
（2）设，所以，又，，三点共线，所以．
又，，，三点共线，所以，解得，，
所以，
所以
．
（3）设，，所以，，
所以
，
所以当时，有最小值，最小值为；
当时，有最大值，最大值为16，
所以的取值范围是．
19．（1）证明：取的中点，连接，，如图所示．因为是棱的中点，是的中点，所以，．因为点，分别为棱，的中点，所以，，又，，所以，，又平面，平面，所以平面．
在平行四边形中，是的中点，是的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．
又，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面．
（2）证明：连接，如图所示．因为是等边三角形，是的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
又，，所以，又，平面，所以平面．
（3）解：在平面内，过点作直线的垂线，垂足为，连接，如图所示．
由（2）易得平面，又平面，所以，．
又，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以二面角的平面角为．
在中，，，，所以．
在中，，，，所以，
即二面角的正切值是．